📘 2º Bachillerato · Matemáticas II
1.6.10 Sistemas homogéneos
Sistemas de ecuaciones lineales con términos independientes nulos, solución trivial e infinitas soluciones según el determinante.
1. Propiedades de los Sistemas Homogéneos
Sistemas Homogéneos ($AX = 0$)
Todo sistema homogéneo es siempre compatible, ya que el vector nulo $X = (0, 0, \dots, 0)^t$ es siempre una solución (denominada solución trivial).
- Si $\text{rg}(A) = n$ (en sistemas cuadrados $|A| \neq 0$): SCD con la solución trivial como única solución.
- Si $\text{rg}(A) < n$ (en sistemas cuadrados $|A| = 0$): SCI con infinitas soluciones además de la trivial.
📌 Ejemplo Concreto de Sistema Homogéneo y Solución Trivial:
Consideremos el sistema homogéneo de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:
$$\begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ 4x - y = 0 \end{cases}$$
1. Determinante de coeficientes: $|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 12 = -14 \neq 0$.
2. Al ser $|A| \neq 0$, $\text{rg}(A) = 2 = n$ y el sistema es un SCD cuya única solución es la trivial: $(x, y) = (0, 0)$.
Si el determinante hubiera sido cero, el sistema admitiría infinitas soluciones distintas de la solución trivial.