Ejercicios · 1.3 Rango de una matriz

Obtén un vector no nulo \( v = (a, b, c) \) de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango \( 2 \) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & b \\ 1 & 1 & c \end{pmatrix}\). \( B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & b \\ 3 & 1 & c \end{pmatrix}\)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 0 & a & 2 \\ a & -1 & a-2 \end{pmatrix}\) \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) y \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
Determina el rango de \( A \) en función del parámetro \( a \)

Sean \( A \) y \( B \) dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son \( |A| = \frac{1}{2}\) y \( |B| = -2 \) Halla el rango de \( B \)

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & -1 \\ 1 & \alpha & -1 \\ -1 & -1 & \alpha \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) Calcula el rango de \( A \) dependiendo de los valores \( \alpha \)

Considera las matrices \( A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & m \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{pmatrix}\) Encuentra el valor, o los valores, de \( m \) para los que \( A \) y \( B \) tienen el mismo rango.

Se define la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\). Determina cuántas líneas son linealmente independientes.

Sea \( M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 1 & 1 & m-1 \end{pmatrix}\) Determina los valores de \( m \) para que los vectores fila de \( M \) sean linealmente independientes.

Sea \( M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 1 & 1 & m-1 \end{pmatrix}\) Estudia el rango de \( M \) según los valores de \( m \)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} k & 1+k \\ 1-k & 0 \end{pmatrix}\)
Determina, si existen, los valores de \( k \) para que \( \text{Rango}(A) = 1 \)

Considera \( A = \begin{pmatrix} k & 0 & k \\ k+1 & k & 0 \\ 0 & k+1 & k+1 \end{pmatrix}\)
Discute el rango de \( A \) según los valores de \( k \)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & m^2 \\ m & m & m^2 \end{pmatrix}\) Halla los valores del parámetro \( m \) para los que el rango de \( A \) es menor que \( 3 \)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ a & 2 & 1 \end{pmatrix}\). ¿Para qué valores del parámetro \( a \) es invertible la matriz? Determina el rango de la matriz para cada valor de \( a \)

Sean los vectores \(\vec{u}=(1, -1, 3) \), \(\vec{v}=(1, 0, -1) \) y \(\vec{w}=(\lambda, 1, 0) \). Calcula los valores de \(\lambda \) que hacen que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) sean linealmente independientes.

Parece que el enunciado del ejercicio no se ha incluido en tu mensaje. Solo veo el marcador "" y la solución, pero falta el enunciado completo con las matrices o el sistema de ecuaciones. ¿Podrías reenviar el enunciado completo para que pueda revisar si tiene información superflua?

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \)
Estudia, según los valores de \(\lambda \) el rango de la matriz \( A - \lambda I \) siendo \( I \) la matriz identidad de orden tres.

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) se define la matriz \( M = A + (\lambda - 1)B \) Halla los valores de \( \lambda \) para los que la matriz \( M \) tiene rango menor que 3.

## Resolución
Paso 1: Calcular el determinante de la matriz A \(\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & m & 2 \\ m & 1 & m \\ 2 & m & 4 \end{vmatrix}\). Desarrollando por la primera fila: \(\det(A) = 1\cdot(4-m^2) - m\cdot(4m-2m) + 2\cdot(m^2-2) \) \(= 4-m^2 - 2m^2 + 2m^2 - 4 \) \(\boxed{\det(A) = -m^2}\)
Paso 2: Hallar los valores críticos \(\det(A) = 0 \implies -m^2 = 0 \implies m = 0 \)
Paso 3: Estudiar el caso \( m = 0 \). La matriz se convierte en: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}\). La **fila 3 es el doble de la fila 1**, por tanto: \(\text{rango}(A) = 2 < 3 \)
Paso 4: Condición de compatibilidad Para que el sistema sea **compatible indeterminado**, se necesita además que el rango de la matriz ampliada sea igual a

2. Esto exige: \( b_3 = 2\, b_1 \) Conclusión > **Para \( m = 0 \) **, el sistema es **compatible indeterminado** si se cumple \( b_3 = 2b_1 \). > > En ese caso, la solución general (con \( t \in \mathbb{R}\) ) es: > > \( x = b_1 - 2t, \quad y = b_2, \quad z = t \)

Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}\) Estudia, según los valores de \(\lambda \), el rango de la matriz \( A-\lambda I \), siendo \( I \) la matriz identidad de orden tres.

Considera \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{pmatrix}\), \( B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) y \( C = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Determina \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que \( A \cdot B = C \) y la matriz \( A \) tiene rango 2.

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
Calcula el rango de \( (A - 2I) \)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m+2 \\ 0 & 1 & m+1 \\ m & 0 & 5 \end{pmatrix}\). Estudia el rango de \( A \) según los valores de \( m \)

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m-1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\), \( B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ k \end{pmatrix}\) y \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)
Estudia el rango de \( A \) según los valores de \( m \)

Considera las matrices: \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & m & 1 \end{pmatrix}\) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ m & -1 \end{pmatrix}\). Estudia el rango de la matriz \( B \cdot A \) según los valores de \( m \)

Considera la matriz \( A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix}\) Calcula el rango de la matriz \( A \) dependiendo de los valores \( m \)

Considera la matriz: \( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\) Encuentra los posibles valores de \( m \) para los que los vectores \( A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}\) y \( \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}\) son linealmente dependientes.

Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & k \\ k & 1 & 3 \\ 1 & 7 & k \end{pmatrix}\)
Estudia el rango de \( A \) en función de los valores del parámetro \( k \)