Ejercicios · 1.6 Sistemas de ecuaciones lineales

Para resolver el sistema propuesto empezaremos por sustituir el valor del parámetro en las ecuaciones dadas. A continuación construiremos la matriz ampliada asociada al sistema y aplicaremos el método de Gauss realizando operaciones por filas para triangularla. Para terminar obtendremos el valor de cada incógnita sustituyendo hacia atrás desde la última ecuación.

Para resolver este apartado empezaremos por sustituir el valor del parámetro dado en el sistema original para obtener el sistema de ecuaciones numérico. A continuación escribiremos la matriz ampliada asociada a dicho sistema y aplicaremos el método de Gauss para estudiar su rango, ya que no presenta parámetros. Para terminar deduciremos la compatibilidad del sistema mediante el teorema de Rouché-Frobenius y resolveremos el sistema resultante en función de un parámetro.

Para resolver el ejercicio empezaremos por construir la matriz ampliada del sistema de ecuaciones resultante del producto matricial. Como todas las matrices son exclusivamente numéricas, a continuación aplicaremos el método de Gauss para escalonar la matriz ampliada y estudiar así el rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada. Para terminar, aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius para clasificar el sistema y determinar si tiene o no solución, indicando su cantidad.

Para resolver el sistema empezaremos por sustituir el valor de lambda. A continuación simplificaremos y resolveremos.

Para clasificar el sistema empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes. A continuación hallaremos los valores críticos de m. Para terminar discutiremos cada caso.

Para resolver el sistema empezaremos por sustituir lambda = 0. A continuación despejaremos las variables.

Para resolver el sistema empezaremos por sustituir lambda = - 2. A continuación estudiaremos la compatibilidad por Gauss.

Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el valor del parámetro en el sistema de ecuaciones original para obtener el sistema particular numérico. A continuación simplificaremos las ecuaciones resultantes eliminando los términos nulos y evaluando si obtenemos alguna ecuación trivial. Para terminar analizaremos el número de incógnitas y ecuaciones válidas, lo que nos indicará que estamos ante un sistema compatible indeterminado, y parametrizaremos una de las variables para expresar la solución general en función de un parámetro real.

Para discutir el sistema empezaremos por calcular el determinante. A continuación analizaremos los casos.

Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el parámetro \(\lambda \) por su valor igual a uno en el sistema de ecuaciones. A continuación escribiremos la matriz ampliada del sistema y aplicaremos el método de Gauss para triangularla, dado que al tratarse de un sistema puramente numérico sin parámetros estamos obligados a estudiar su rango por este método. Para terminar, analizaremos los rangos aplicando el teorema de Rouché-Frobenius y resolveremos el sistema compatible indeterminado resultante introduciendo un parámetro.

Para discutir este sistema de ecuaciones empezaremos por plantearlo en forma matricial, definiendo la matriz de coeficientes y la matriz ampliada. A continuación calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes y lo igualaremos a cero para hallar los valores críticos del parámetro. Para terminar, analizaremos el rango de las matrices para cada uno de los casos generados, utilizando el método de Gauss cuando las matrices numéricas carezcan de parámetros, y aplicaremos el Teorema de Rouché-Frobenius para determinar la compatibilidad del sistema.

Para resolver este problema empezaremos por sustituir el valor numérico del parámetro dado en el enunciado para obtener el sistema de ecuaciones asociado. A continuación convertiremos dicho sistema en su matriz ampliada de coeficientes. Para terminar, dado que es un sistema numérico sin parámetros, estudiaremos y resolveremos el sistema escalonando la matriz obligatoriamente por el método de Gauss.

Para resolver el sistema empezaremos por sustituir alfa = 1. A continuación aplicaremos el método de sustitución.

Para resolver el sistema para el valor concreto lambda igual a cero, sustituimos dicho valor en las tres ecuaciones y obtenemos un sistema numérico sin parámetros. A continuación aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius para comprobar el tipo de sistema: calculamos el rango de la matriz de coeficientes A y el rango de la matriz ampliada A* y los comparamos con el número de incógnitas (tres). Si ambos rangos coinciden entre sí e igualan al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y tiene solución única; si ambos rangos coinciden pero son menores que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado; y si los rangos difieren, el sistema es incompatible. Una vez determinado el tipo de sistema, procedemos a resolverlo mediante el método de sustitución.

Para resolver este apartado empezaremos por despejar el producto de la matriz por el vector de incógnitas, restando el vector constante en los dos miembros de la igualdad. A continuación escribiremos el sistema lineal equivalente mediante su matriz ampliada y lo triangularizaremos aplicando el método de Gauss, estudiando así los rangos. Para terminar resolveremos el sistema escalonado mediante sustitución regresiva.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes para encontrar los valores críticos del parámetro que anulan dicho determinante. A continuación estudiaremos la matriz ampliada para cada uno de esos valores críticos calculando su rango. Para terminar aplicaremos el Teorema de Rouché-Frobenius para concluir para qué valor el rango de la matriz de coeficientes es estrictamente menor que el de la ampliada, lo que hace que el sistema sea incompatible.

Para hallar los valores de alfa empezaremos por imponer determinante nulo. A continuación estudiaremos cada caso por Gauss.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones lineales que modela el problema. A continuación lo resolveremos mediante el método de Gauss para determinar el rango de la matriz y la compatibilidad del sistema. Para terminar expresaremos la solución general y concluiremos si es posible deducir un precio único para cada artículo.

Para resolver este ejercicio empezaremos por definir las variables y escribir el sistema de ecuaciones. A continuación buscaremos la combinación lineal de las ecuaciones que nos dé la expresión del precio buscado. Para terminar calcularemos el valor numérico de dicha combinación.

Para resolver este apartado empezaremos por definir las variables y plantear el sistema de ecuaciones que modela el problema. A continuación sustituiremos el valor propuesto para el precio del zumo en el sistema y resolveremos para las demás incógnitas. Para terminar analizaremos si la solución obtenida es admisible en el contexto del problema.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que "tener al menos dos soluciones" en un sistema lineal equivale a tener infinitas soluciones, es decir, ser compatible indeterminado. A continuación hallaremos los valores de alfa que anulan el determinante de la matriz de coeficientes y comprobaremos para cuál de ellos los rangos de ambas matrices son iguales pero menores que el número de incógnitas. Para terminar, resolveremos el sistema parametrizado para ese valor concreto usando el método de resolución por menores o despeje directo.

Para resolver el ejercicio empezaremos por simplificar el sistema agrupando las variables y extraeremos las matrices asociadas. A continuación calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes para identificar los valores críticos del parámetro \( m \) Seguidamente comprobaremos para cuál de esos valores el sistema resulta compatible indeterminado aplicando el método de Gauss, ya que la matriz numérica resultante carecerá de parámetros. Para terminar resolveremos el sistema escalonado equivalente parametrizando una de las variables.

Para resolver el sistema empezaremos por calcular el determinante. A continuación hallaremos el valor del parámetro y resolveremos.

En este ejercicio se nos pide resolver el sistema de ecuaciones para el valor concreto k = 1. El sistema con k = 1 queda determinado por tres ecuaciones con tres incógnitas x, y, z. Para resolverlo, aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius: calcularemos el rango de la matriz de coeficientes A y el de la matriz ampliada A* para comprobar si el sistema es compatible y de qué tipo. Dado que el enunciado nos indica que para cierto valor de k el sistema es compatible indeterminado, al sustituir k = 1 verificaremos si ese valor es precisamente el que hace el sistema indeterminado, y en ese caso expresaremos la solución general en función de un parámetro libre.

Para resolver este ejercicio empezaremos por traducir las condiciones del problema a un sistema de ecuaciones lineales. A continuación resolveremos el sistema expresando todas las variables en función de una de ellas. Para terminar calcularemos los valores numéricos de los beneficios.

Para resolver este ejercicio empezaremos por definir las variables y plantear el sistema de ecuaciones lineales. A continuación escribiremos la matriz ampliada del sistema y la triangularizaremos aplicando el método de Gauss. Para terminar obtendremos los precios mediante sustitución hacia atrás.

Para expresar el vector como combinación lineal empezaremos por plantear el sistema. A continuación despejaremos las incógnitas.

Para resolver este ejercicio empezaremos por exigir que la posible solución dada verifique las tres ecuaciones del sistema, sustituyendo sus coordenadas en las incógnitas, lo que nos proporcionará los posibles valores del parámetro. A continuación calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes del sistema y exigiremos que sea distinto de cero, fundamentándonos en el Teorema de Rouché-Frobenius para garantizar que la solución sea única. Para terminar intersecaremos ambas condiciones para obtener el valor definitivo del parámetro que cumple todas las premisas del enunciado.

El enunciado nos presenta un sistema inicial de dos ecuaciones con tres incógnitas ( \( x \), \( y \), \( z \) ), lo que significa que, en principio, es un sistema compatible indeterminado (con infinitas soluciones dependientes de un parámetro). El problema nos indica que, al añadir una tercera ecuación ( \( ax + y + 7z = 7 \) ), las soluciones no cambian, lo que implica que esta nueva ecuación no restringe más el sistema. Sin embargo, para encontrar una solución concreta y única, el ejercicio añade una condición final clave: la suma de las tres incógnitas debe ser igual a la unidad (es decir, \( x + y + z = 1 \) ). Esta restricción actúa en la práctica como una tercera ecuación independiente que nos permite transformar el sistema indeterminado en un sistema compatible determinado. Por lo tanto, la estrategia será resolver el sistema formado por las dos ecuaciones originales junto con esta nueva condición.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones lineales que relaciona los precios de los tipos base con los precios de las mezclas. A continuación resolveremos el sistema mediante el método de sustitución. Para terminar obtendremos el precio de cada tipo base.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones a partir de los datos del problema. A continuación resolveremos el sistema mediante sustitución. Para terminar obtendremos el número de espectadores de cada sala.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones que modela la situación. A continuación resolveremos el sistema para encontrar el valor de las incógnitas. Para terminar analizaremos la condición de que el número de botellas sea entero y positivo para concluir si es posible determinar la cantidad de cada tipo.

Para resolver este ejercicio empezaremos por definir las variables que representan el número de monedas de cada tipo. A continuación estableceremos el sistema de ecuaciones a partir de las condiciones dadas. Para terminar determinaremos si existe alguna combinación de monedas que satisfaga las restricciones y cuyo importe total redondeado sea 35 euros.

Para resolver este apartado empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones lineales que modela el problema definiendo las incógnitas. A continuación escribiremos la matriz ampliada del sistema y la resolveremos aplicando el método de Gauss. Para terminar obtendremos los valores de las incógnitas y comprobaremos que cumplen las condiciones del enunciado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones a partir de las condiciones del enunciado. A continuación resolveremos el sistema para hallar las incógnitas. Para terminar analizaremos si la solución es única o no.

Para resolver este ejercicio empezaremos por construir el nuevo sistema de ecuaciones añadiendo la tercera ecuación paramétrica. A continuación aplicaremos el Teorema de Rouché-Frobenius, calculando los determinantes para estudiar el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada en función del parámetro \(\lambda \) Para terminar, analizaremos el caso en el que el rango de la matriz de coeficientes sea distinto al de la ampliada para determinar si existe algún valor que haga el sistema incompatible.

Para resolver este ejercicio empezaremos por definir las variables que representan el dinero de cada hermano. A continuación estableceremos las ecuaciones a partir de las condiciones del problema. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones y obtendremos la cantidad de cada uno.

Para resolver este ejercicio empezaremos por definir las variables e incógnitas del problema y plantear el sistema de ecuaciones que modela la situación. A continuación aplicaremos la condición propuesta de que el número de billetes de 10 es el triple que el de 5 0. Para terminar resolveremos el sistema resultante y analizaremos si existe solución entera y no negativa que cumpla las condiciones.

Para resolver este apartado empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones a partir de las pistas. A continuación sustituiremos los valores dados n=4 y c=3a. Para terminar resolveremos el sistema lineal resultante.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones a partir de las condiciones del enunciado. A continuación resolveremos el sistema mediante sustitución. Para terminar obtendremos el número de seguidores de cada persona.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes y lo igualaremos a cero para encontrar los valores críticos del parámetro. A continuación aplicaremos el teorema de Rouché-Fröbenius para estudiar el rango en función de dichos valores, usando el método de Gauss para analizar los casos numéricos particulares. Para terminar resolveremos el sistema escalonado en los escenarios donde haya resultado ser compatible indeterminado.

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes para encontrar los valores críticos del parámetro. A continuación estudiaremos el caso general por Rouché-Fröbenius y los casos particulares usando el método de Gauss. Para terminar seleccionaremos los valores para los cuales el sistema no tiene infinitas soluciones.

Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar las ecuaciones del sistema. A continuación calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes para encontrar los valores críticos del parámetro. Para terminar estudiaremos y resolveremos cada caso particular empleando el método de Gauss cuando la matriz sea puramente numérica.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes y lo igualaremos a cero para encontrar los valores críticos del parámetro. A continuación, estudiaremos el rango del sistema usando el Teorema de Rouché-Fröbenius para los casos generales. Para terminar, analizaremos los casos particulares numéricos mediante el método de Gauss sobre la matriz ampliada.

Para resolver el ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes asociada al sistema. Un sistema homogéneo siempre admite la solución trivial, por lo que, para que existan soluciones distintas, el determinante debe ser forzosamente nulo; usaremos esta condición para hallar el valor del parámetro \( a \) A continuación, al sustituir dicho valor, la matriz resultante dejará de tener parámetros, por lo que aplicaremos obligatoriamente el método de Gauss para estudiar su rango. Para terminar, resolveremos el sistema escalonado equivalente parametrizando una de las incógnitas.

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar que se trata de un sistema de ecuaciones homogéneo expresado en forma matricial. A continuación aplicaremos el Teorema de Rouché-Frobenius, razonando que, al ser homogéneo, siempre es compatible, y para tener infinitas soluciones el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo. Para terminar calcularemos dicho determinante, lo igualaremos a cero y hallaremos los valores buscados del parámetro.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones que relacionan los pesos de los tres tipos de objetos. A continuación resolveremos el sistema expresando dos incógnitas en función de la tercera. Para terminar analizaremos qué tipo de objeto puede tener un peso de 18 gramos dadas las restricciones de positividad.

Para resolver este ejercicio empezaremos por definir las variables e interpretar las condiciones del problema para plantear un sistema de ecuaciones lineales. A continuación resolveremos el sistema mediante el método de sustitución. Para terminar obtendremos el precio de cada artículo.

Para resolver este apartado empezaremos por traducir las condiciones del problema a un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. A continuación resolveremos el sistema aplicando sustitución. Para terminar analizaremos si la solución es única o depende de un parámetro.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones con las incógnitas que representan los importes sin impuestos. A continuación resolveremos el sistema para hallar los importes sin impuestos de cada bebida. Para terminar calcularemos los importes con impuestos aplicando los porcentajes correspondientes.

Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones con las incógnitas correspondientes a los precios de las prendas. A continuación resolveremos el sistema despejando las variables. Para terminar comprobaremos que los valores obtenidos satisfacen todas las condiciones del enunciado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por traducir las condiciones del enunciado a un sistema de ecuaciones lineales. A continuación sustituiremos la primera ecuación en la tercera para despejar directamente el beneficio de la empresa B. Para terminar hallaremos los beneficios de A y de C, y comprobaremos que cumplen todas las condiciones.

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación en forma matricial \( M \cdot X + C_1 = C_2 \) A continuación despejaremos el vector incógnita \( X \) y comprobaremos que la matriz de coeficientes tiene inversa calculando su determinante. Para terminar calcularemos el producto de la inversa por el vector de términos independientes.

Para resolver este ejercicio empezaremos por traducir las condiciones del enunciado a ecuaciones algebraicas. A continuación resolveremos el sistema de ecuaciones obtenido. Para terminar hallaremos los tres ángulos y comprobaremos el resultado.

Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el valor del parámetro y estudiar el rango de la matriz de coeficientes. A continuación comprobaremos la compatibilidad del sistema. Para terminar hallaremos todas las soluciones.

Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la compatibilidad del sistema en función de \( m \) A continuación resolveremos el sistema en cada caso compatible. Para terminar clasificaremos las soluciones obtenidas.

Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir los valores propuestos en cada ecuación del sistema. A continuación obtendremos las condiciones que debe verificar \( m \) Para terminar determinaremos los valores de \( m \) que cumplen todas las condiciones.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes en función de \( m \) A continuación determinaremos los valores de \( m \) que hacen el determinante distinto de cero. Para terminar elegiremos uno de dichos valores.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes en función de \(\lambda \) A continuación estudiaremos los casos en que el determinante se anula. Para terminar clasificaremos el sistema para cada valor del parámetro.

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el determinante de la matriz de coeficientes en función de \( m \) A continuación estudiaremos los casos en que el determinante se anula. Para terminar determinaremos si alguno de esos casos da un sistema incompatible.

Para resolver este ejercicio empezaremos por despejar una incógnita en la tercera ecuación. A continuación sustituiremos en las dos primeras ecuaciones. Para terminar comprobaremos que ambas conducen a la misma condición, válida para todo \( k \)

Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir el sistema como un sistema homogéneo. A continuación estudiaremos el rango de la matriz del sistema. Para terminar hallaremos todas las soluciones.

Para resolver este apartado empezaremos por transformar la ecuación matricial en un sistema homogéneo de la forma \( M \cdot X = 0 \), introduciendo la matriz identidad para poder extraer factor común el vector incógnita. A continuación calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollando por la primera fila, que es la que presenta mayor número de ceros. Para terminar impondremos que dicho determinante sea distinto de cero, condición necesaria y suficiente para que el sistema homogéneo sea compatible determinado, y obtendremos su única solución.