Ejercicios · 2.11 Proyecciones y puntos simétricos
48 ejercicios resueltos paso a paso.
2.11 Proyecciones y puntos simétricos
1.
Dado el punto \( P(a, b, c) \) y el plano \(\pi: Ax+By+Cz+D=0 \), se pide calcular el punto simétrico \( P'\) del punto \( P \) respecto al plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar el método general: trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano, que es la proyección ortogonal del punto. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera los puntos \( A(1, -1, 2) \) \( B(1, 3, 0) \) y \( C(0, 0, 1) \) Halla el punto simétrico de \( A \) respecto de la recta que pasa por \( B \) y \( C \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener un vector director de la recta que pasa por \( B \) y \( C \) A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( A \) sobre dicha recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el plano \( \pi \equiv x - y + 2z = 3 \) y el punto \( A(-1, -4, 2) \) Halla el punto simétrico de \( A \) respecto de \( \pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el punto \( P(2, 0, 1) \) y la recta \( r \equiv \begin{cases} x+2y=6 \\ z=2 \end{cases}\) Calcula el punto simétrico de \( P \) respecto de la recta \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Sea el punto \( P(1, 0, -3) \) y la recta \( r \equiv \begin{cases} x - 2y - 1 = 0 \\ x + z = 0 \end{cases}\) Calcula las coordenadas del punto simétrico de P respecto de r.
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el punto \( P(3, 2, 0) \) y la recta \( r \equiv \begin{cases} x+y-z-3=0 \\ x+2z+1=0 \end{cases}\) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r.
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Para hallar el simétrico \( P'\) de \( P \) respecto de un plano \(\pi \): calcula la recta perpendicular a \(\pi \) por \( P \), halla la intersección \( M \) (proyección ortogonal) y aplica la fórmula del
punto medio: \( M = (P + P') / 2 \), de donde \( P' = 2M - P \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Halla el punto \( P'\) simétrico de \( P(-1, 3, 4) \) respecto al plano \(\pi \equiv 2x - 3y + z - 5 = 0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el plano \(\pi \) de ecuación \( 2x + 2y - z - 6 = 0 \) y el punto \( P(1, 0, -1) \)
Encuentra el punto simétrico de \( P \) respecto del plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera los puntos \( P(2, 3, 1) \) y \( Q(0, 1, 1) \). Halla la ecuación del plano \(\pi \) respecto del cual \( P \) y \( Q \) son simétricos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar que el plano de simetría es el plano mediador del segmento. A continuación hallaremos el punto medio del segmento y un vector normal del plano. Para terminar escribiremos la ecuación del plano.
Considera los puntos \( A(1, 0, 2) \), \( B(-1, 3, 1) \), \( C(2, 1, 2) \) y \( D(1, 0, 4) \). Halla el punto simétrico de \( D \) respecto del plano \( x-y-5z+9=0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera los puntos \( P(2, 3, 1) \) y \( Q(0, 1, 1) \). Sea \(\pi \) el plano respecto del cual \( P \) y \( Q \) son simétricos. Calcula la distancia de \( P \) a \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener la ecuación del plano de simetría. A continuación recordaremos la fórmula de la distancia de un punto a un plano. Para terminar sustituiremos los datos y operaremos.
Sean los puntos \( A(0, 1, 1) \), \( B(2, 1, 3) \), \( C(-1, 2, 0) \) y \( D(2, 1, m) \). Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos \( A \) y \( B \) son simétricos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar que el plano de simetría es el plano mediador del segmento. A continuación hallaremos el punto medio del segmento y un vector normal del plano. Para terminar escribiremos la ecuación del plano.
Considera los puntos \( A(1, 2, 1) \), \( B(-1, 0, 2) \) y \( C(3, 2, 0) \) y el plano \(\pi \) determinado por ellos. Sea \( r \) la recta que está contenida en \(\pi \) y tal que \( A \) y \( B \) son simétricos respecto de \( r \). Calcula la distancia de \( A \) a \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar qué recta cumple las condiciones. A continuación veremos dónde corta dicha recta al segmento que une los dos puntos. Para terminar calcularemos la distancia pedida.
Sea el plano \(\pi \equiv 2x + y - z + 8 = 0 \). Calcula la recta \( r'\), simétrica de la recta \( r \equiv \frac{x-2}{-2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-5}{1}\) respecto al plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar la posición relativa de la recta respecto del plano. A continuación hallaremos el punto de intersección y el simétrico de un punto de la recta. Para terminar escribiremos la recta que pasa por ambos puntos.
Considera el punto \( P(-3, 1, 6) \) y la recta \( r \) dada por \(\begin{cases} 2x - y - 5 = 0 \\ y - z + 2 = 0 \end{cases}\). Calcula las coordenadas del punto simétrico de \( P \) respecto de la recta \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el punto \( P(1, 0, 5) \) y la recta \( r \) dada por \(\begin{cases} y+2z=0 \\ x=1 \end{cases}\). Calcula la distancia de \( P \) a la recta \( r \) y el punto simétrico de \( P \) respecto a \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener un punto y un vector director de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar calcularemos la distancia y el punto simétrico a partir de dicha proyección.
Considera el punto \( A(1, -1, 1) \) y la recta \( r \) dada por \( \begin{cases} x=1+2\lambda \\ y=1-\lambda \\ z=1 \end{cases}\)
Calcula las coordenadas del punto simétrico de \( A \) respecto a \( r \)
Para resolver este apartado empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( A \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el punto \( P(1, -1, 0) \) y la recta \( r \) dada por \(\left\{\begin{matrix} x = 1 + 3t \\ y = -2 \\ z = t \end{matrix}\right.. \). Halla las coordenadas del punto simétrico de \( P \) respecto de \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera los puntos \( A(1, 3, -1) \) y \( B(3, -1, -1) \). Determina la ecuación del plano respecto del cual \( B \) es el simétrico de \( A \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar que el plano de simetría es el plano mediador del segmento. A continuación hallaremos el punto medio del segmento y un vector normal del plano. Para terminar escribiremos la ecuación del plano.
Considera el punto \( P(0, 1, 1) \) y la recta \( r \) dada por \(\left\{\begin{matrix} x - 2y = -5 \\ z = 2 \end{matrix}\right.. \). Halla las coordenadas del punto simétrico de \( P \) respecto de \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera los puntos \( P(1, 0, -1) \), \( Q(2, 1, 1) \) y la recta \( r \) dada por \( x-5 = y = \frac{z+2}{-2}\). Determina el punto simétrico de \( P \) respecto de \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el punto \( P(2, -1, 3) \) y el plano \(\pi \) de ecuación \( 3x+2y+z=5 \). Calcula el punto simétrico de \( P \) respecto de \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Se considera el plano \(\pi \) de ecuación \( x+2y+z=6 \). Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto de \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el origen. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Se sabe que los puntos \( A(-1, 2, 6) \) y \( B(1, 4, -2) \) son simétricos respecto de un plano \(\pi \). Calcula la distancia de \( A \) a \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la relación entre la distancia al plano de simetría y el segmento que une los puntos. A continuación calcularemos la longitud del segmento \( AB \) Para terminar obtendremos la distancia pedida.
Considera el punto \( A(0, 1, -2) \) y los planos \(\pi_1 \equiv 2x-y-z+5=0 \) y \(\pi_2 \equiv x+5y-6z-4=0 \). Halla el punto simétrico de \( A \) respecto de \(\pi_1 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el plano \(\pi \equiv 2x-y+z-3=0 \), la recta \( r \equiv \begin{cases} x=3+\lambda \\ y=1-2\lambda \\ z=-2-\lambda \end{cases}\) y el punto \( P(1, 1, 2) \). Calcula el punto simétrico de \( P \) respecto de la recta \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el punto \( P = (1, 2, 6) \) y el plano \(\pi \equiv 2x - y + z = 0 \). Halla el simétrico del punto \( P \) respecto al plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el punto \( P(1, 0, 1) \) y el plano \(\pi \equiv x - y + z + 1 = 0 \). Halla el simétrico del punto \( P \) respecto al plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
La recta perpendicular desde el punto \( A(1, 1, 0) \) a un cierto plano \(\pi \) corta a éste en el punto \( B(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \). Halla la distancia del punto \( A \) a su simétrico respecto a \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar qué representa el punto \( B \) A continuación recordaremos la relación entre la distancia al simétrico y la distancia al plano. Para terminar calcularemos la distancia pedida.
Sea el plano \( \pi \equiv x + y - z = 2 \) y la recta \( r \equiv x = \frac{y}{3} = z - 1 \) Dado el punto \( Q(2, 6, 3) \) halla su simétrico respecto del plano \( \pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Determina el punto simétrico de \( A(2, -4, -3) \) con respecto al plano que contiene a los puntos \( B(1, 1, 2) \) \( C(0, \frac{1}{3}, 1) \) y \( D(-3, 0, 3) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener la ecuación del plano que pasa por los tres puntos. A continuación trazaremos la recta perpendicular al plano que pasa por \( A \) y hallaremos su intersección con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Halla el punto simétrico de \( P(2, 2, 1) \) respecto de la recta \( r \equiv \begin{cases} x-2y+z=2 \\ y-z=1 \end{cases}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Halla el punto simétrico de \( Q(1, -1, -3) \) respecto del plano \( \pi \equiv x-2y+z+6=0 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el plano \(\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0 \). Calcula el punto simétrico de \( P(1, 0, 1) \) respecto de \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el plano \(\pi \equiv x + y + z + 1 = 0 \) y los puntos \( A(1, 2, 0) \) y \( B(3, 1, 0) \). Calcula el punto simétrico del punto \( A \) con respecto al plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Halla el punto simétrico de \( P(2, 1, -5) \) respecto de la recta \( r \) definida por \(\begin{cases} x - z = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera los puntos \( A(2, 0, 1) \), \( B(-1, 1, 2) \), \( C(2, 2, 1) \) y \( D(3, 1, 0) \)
Sea el plano \(\pi \) que contiene a los puntos \( B \), \( C \) y \( D \). Halla el punto simétrico de \( A \) respecto del plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener la ecuación del plano que pasa por los tres puntos. A continuación trazaremos la recta perpendicular al plano que pasa por \( A \) y hallaremos su intersección con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Halla el punto simétrico de \( P(1, 1, 1) \) respecto de la recta \( r \) de ecuación \( \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{-1}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Dado un punto \( P(2, 3, -1) \) y un plano \(\pi: x + y - z = 4 \), calcular el simétrico del punto \( P \) respecto al plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por trazar la recta perpendicular al plano que pasa por el punto. A continuación hallaremos la intersección de dicha recta con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Calcula la distancia del punto \( P(1, -3, 7) \) a su punto simétrico respecto de la recta definida por \( \begin{cases} 3x - y - z - 2 = 0 \\ x + y - z + 6 = 0 \end{cases}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la distancia al simétrico es el doble de la distancia a la recta. A continuación obtendremos un punto y el vector director de la recta. Para terminar calcularemos la distancia del punto a la recta mediante el producto vectorial.
Considera el punto \( P(1, 0, -2) \) y la recta \( r \) definida por \( \begin{cases} 2x - y = 5 \\ 2x + y - 4z = 7 \end{cases}\)
Halla la distancia entre el punto \( P \) y su simétrico \( Q \) respecto de la recta \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por observar que la distancia al simétrico es el doble de la distancia a la recta. A continuación obtendremos un punto y el vector director de la recta. Para terminar calcularemos la distancia del punto a la recta mediante el producto vectorial.
Considera el punto \( A(8, -1, 3) \) y la recta \( r \) dada por \(\frac{x+1}{2}=y-2=\frac{z-1}{3}\). Halla el punto simétrico de \( A \) respecto de \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( A \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Sea el punto \( P(1, 2, 3) \) y el plano \(\pi \): \( x + y - z = 0 \). Halla el simétrico \( P'\) de \( P \) respecto del plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar si el punto pertenece al plano. A continuación trazaremos la recta perpendicular al plano que pasa por el punto y hallaremos su intersección con el plano. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera el punto \( P(1, 0, -1) \) y la recta \( r \equiv \begin{cases} x-y+2z=5 \\ x-z=1 \end{cases}\). Determina el punto simétrico de \( P \) respecto de la recta \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta. A continuación hallaremos la proyección ortogonal de \( P \) sobre la recta. Para terminar aplicaremos la fórmula del punto medio para obtener el simétrico.
Considera la recta r de ecuaciones: \( x + y + z = 0 \) y \( x - y + z = 2 \) Calcula la proyección ortogonal del punto \( A(1, 2, 1) \) sobre la recta r.
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener un punto y el vector director de la recta. A continuación plantearemos la condición de ortogonalidad que caracteriza a la proyección. Para terminar hallaremos el punto de proyección.
Considera los puntos \( A(1, 2, 1) \), \( B(-1, 0, 2) \) y \( C(3, 2, 0) \) y el plano \(\pi \) determinado por ellos. Halla la ecuación de la recta \( r \) que está contenida en \(\pi \) y tal que \( A \) y \( B \) son simétricos respecto de \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la ecuación del plano \(\pi \) determinado por los puntos A, B y C. A continuación hallaremos el punto medio M del segmento AB y el plano mediatriz de AB. Para terminar, determinaremos la recta r como intersección del plano \(\pi \) con el plano mediatriz y escribiremos su ecuación.
Se sabe que los puntos \( A(-1, 2, 6) \) y \( B(1, 4, -2) \) son simétricos respecto de un plano \(\pi \). Determina la ecuación general del plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el punto medio del segmento AB, ya que el plano de simetría pasa por él. A continuación determinaremos el vector director del segmento AB, que será vector normal del plano. Para terminar escribiremos la ecuación general del plano usando la forma punto-normal y la simplificaremos.