Se sabe que los puntos \( A(1, 0, -1) \) \( B(3, 2, 1) \) y \( C(-7, 1, 5) \) son vértices consecutivos de un paralelogramo \( ABCD \) Halla el área del paralelogramo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar que el área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los vectores que determinan dos lados consecutivos. A continuación calcularemos dichos vectores y su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante.
Sea el punto \( A \) de coordenadas \( A=(-1, \; 2, \; 4) \) y el punto \( B \) de coordenadas \( B=(a + 2, \; a + 1, \; 1) \) con \( a = 3 \), y el punto \( C \) de coordenadas \( C=(a + 1, \; 4, \; 2) \). Calcula el área del triángulo determinado por los tres puntos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos \( A(1, 1, 0) \) y \( C(0, 2, 1) \). Halla el área de dicho triángulo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Considera los puntos \( B(-1, 0, -1) \) y la recta \( r \) Siendo \( D(1, -1, -2) \) y \( D \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Considera el punto \( A(-1, 1, -3) \) y el punto \( B(2, 1, 1) \). Calcula el área del triángulo cuyos vértices son \( A \), \( B \) y \( C \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Sean los puntos \( A(3, -1, 1) \) y \( C(-2, -2, 1) \), \( B \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Calcula el área del triángulo de vértices \( A(1, 1, 2) \) \( B(1, 0, -1) \) y \( C(1, -3, 2) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Considera los puntos \( A(1, 0, -2) \) y \( B(-2, 3, 1) \) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta de ecuación \( -x = y-1 \) \( = z \) ¿Depende el resultado de la elección concreta del punto C?
Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar el punto \( C \) sobre la recta. A continuación calcularemos el producto vectorial \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) Para terminar estudiaremos si el módulo depende del parámetro.
Dados los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\), y los puntos \( A(1, 2, -1) \), \( B(4, 0, 2) \) y \( C(-1, 3, 1) \):
1. Calcula el área del paralelogramo que determinan los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\)
2. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos \( A \), \( B \) y \( C \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores \(\vec{u} \) y \(\vec{v} \) A continuación calcularemos su producto vectorial y su módulo. Para terminar obtendremos el área del paralelogramo y la del triángulo.
Dados los puntos \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 0, 1) \) y \( P(1, -1, 1) \), y la recta \( r \) definida por \(\begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ z = 0 \end{cases}\). Calcula el área del triángulo \( ABP \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Sean \( A(-3, 4, 0) \), \( B(3, 6, 3) \) y \( C(-1, 2, 1) \) los vértices de un triángulo. Calcula el área del triángulo \( ABC \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Sean los puntos \( A(0, 1, 1) \), \( B(2, 1, 3) \), \( C(-1, 2, 0) \) y \( D(2, 1, m) \). Calcula el área del triángulo \( A \), \( B \) y \( C \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante y aplicaremos la fórmula del área del triángulo.
Los puntos \( A(0, 1, 1) \) y \( B(2, 1, 3) \) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice es un punto de la recta \( r \) dada por \(\begin{cases} 2x + y = 0 \\ z = 0 \end{cases}\). Calcula las coordenadas de los posibles puntos \( D \) de \( r \) para que el triángulo \( ABD \) tenga un área igual a \(\sqrt{2}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar los puntos de la recta \( r \) A continuación expresaremos el área del triángulo \( ABD \) en función del parámetro. Para terminar impondremos que el área sea raíz cuadrada de dos y resolveremos la ecuación.
Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos \( A(2, -1) \) \( B(5, 3) \) y \( C(0, 4) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores que determinan dos lados del triángulo. A continuación calcularemos el determinante formado por ambos vectores. Para terminar aplicaremos la fórmula del área del triángulo en el plano.
Los puntos \( A(3, 3, 5) \) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice \( C \) está en la recta de ecuaciones \( \frac{x-6}{-1} = \frac{y-1}{2} = z \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar el vértice \( C \) sobre la recta. A continuación impondremos que el ángulo en \( B \) sea recto para hallar \( C \) Para terminar calcularemos el vértice \( D \) con la relación del paralelogramo.
Considera los vectores \( \vec{u}=(1, a, 2) \) y \( \vec{v}=(-2, 1, a) \) Calcula \( a \) para que el vector \( (\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v}\) sea ortogonal a \( \vec{u}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar dos propiedades clave: el producto vectorial de dos vectores es ortogonal a ambos, y dos vectores son ortogonales si y solo si su producto escalar es cero. A continuación aplicaremos estas propiedades a la condición del enunciado para simplificarla. Para terminar calcularemos el producto escalar que queda e igualaremos a cero para hallar \( a \)
Dados los puntos \( O(0, 0, 0) \) \( A(2, -1, 0) \) \( B(3, 0, x) \) y \( C(-x, 1, -1) \) los vectores \( \overrightarrow{OA}\) \( \overrightarrow{OB}\) y \( \overrightarrow{OC}\) determinan un paralelepípedo. Para \( x = 1 \) halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices \( O, A \) y \( B \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener los vectores que determinan la cara para \( x = 1 \) A continuación calcularemos su producto vectorial. Para terminar hallaremos el área de la cara como el módulo del producto vectorial.
Los puntos \( A(1, 1, 1) \), \( B(2, 2, 2) \) y \( C(1, 3, 3) \) son vértices consecutivos del paralelogramo \( ABCD \). Calcula el área del paralelogramo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores de dos lados adyacentes del paralelogramo. A continuación calcularemos el producto vectorial de dichos vectores. Para terminar hallaremos el módulo del vector resultante, que nos dará el área.
Considera A(1, 0, 1), B(-1, 0, 2) y O(0, 0, 0), y la recta r \equiv \(\begin{cases} x=-1-\lambda \\ y=\lambda \\ z=2 \end{cases}\). Determina el área del triángulo de vértices A, B y O.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular los vectores OA y OB. A continuación calcularemos el producto vectorial de estos vectores. Para terminar hallaremos el módulo del producto vectorial y lo dividiremos entre dos para obtener el área del triángulo.
Dados los puntos \( A(2, 1, 1) \) y \( B(0, 0, 1) \) halla los puntos \( C \) en el eje \( OX \) tales que el área del triángulo de vértices \( A, B \) y \( C \) es \( 2 \)
Para resolver este apartado empezaremos por definir el punto C en el eje OX. A continuación calcularemos los vectores AB y AC. Para terminar hallaremos el producto vectorial, su magnitud y resolveremos la ecuación del área.
Sean los puntos \( A(1, 0, -1) \) y \( B(2, -1, 3) \) Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos \( ABCD \) sabiendo que la recta determinada por los vértices \( C \) y \( D \) pasa por el origen de coordenadas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector \( \vec{AB} \) A continuación deduciremos que la recta \( CD \) pasa por el origen y es paralela a \( \vec{AB} \), por lo que el área del paralelogramo es igual al producto de la longitud de \( \vec{AB} \) por la distancia desde \( A \) a la recta \( CD \) Para terminar calcularemos el producto vectorial \( \vec{A} \times \vec{AB} \) y su módulo, que nos da directamente el área.