Ejercicios · 2.8 Posición relativa de puntos, recta y planos
50 ejercicios resueltos paso a paso.
2.8 Posición relativa de puntos, recta y planos
1.
Sea \( r \) la recta de ecuación: \( r \equiv \begin{cases} x = 1 + a \cdot t \\ y = 1 - 2 \cdot t \\ z = 4 - t \end{cases}\) y \( s \) la recta de ecuación: \( s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}\). Calcula el valor de \( a \) sabiendo que las rectas \( r \) y \( s \) se cortan.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. A continuación igualaremos sus coordenadas para obtener un sistema de ecuaciones. Para terminar resolveremos el sistema para hallar el valor de a que hace que las rectas se corten.
Sea r la recta de ecuación \( \frac{x-5}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{-4}\) y s la recta dada por \( \begin{cases} x-y+z = 3 \\ -x+2y-z = 2 \end{cases}\) Determina la posición relativa de ambas rectas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector director y un punto de la recta r. A continuación obtendremos el vector director y un punto de la recta s a partir del sistema de ecuaciones de sus planos. Para terminar compararemos los vectores directores y resolveremos el sistema de ecuaciones paramétricas para determinar si las rectas se cortan, son paralelas o se cruzan.
Sea \( r \) la recta definida por \(\frac{x-2}{3} = \frac{y-k}{4} = \frac{z}{5}\) y \( s \) la recta definida por \(\frac{x+2}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{3}\)
Halla \( k \) sabiendo que las rectas \( r \) y \( s \) se cortan en un punto.
Para resolver este apartado empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. A continuación igualaremos las coordenadas para obtener un sistema de ecuaciones. Para terminar resolveremos el sistema y hallaremos el valor de k.
Considera las rectas \( r \) y \( s \) de ecuaciones:
\( r \equiv x-1 = y = 1-z \) y \( s \equiv \begin{cases} x-2y=-1 \\ y+z=1 \end{cases}\) Determina su punto de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la recta \( r \) en forma paramétrica. A continuación, escribiremos la recta \( s \) en forma paramétrica a partir de su sistema de ecuaciones. Para terminar, igualaremos las coordenadas paramétricas de ambas rectas para hallar el punto de corte.
Considera los planos \( \pi_1 \) \( \pi_2 \) y \( \pi_3 \) dados respectivamente por las ecuaciones
\( x+y=1 \) \( ay+z=0 \) y \( x+(1+a)y+az=a+1 \) ¿Cuánto ha de valer \( a \) para que no tengan ningún punto en común?
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de ecuaciones que representan los tres planos. A continuación calcularemos el determinante de la matriz de coeficientes para encontrar los valores de \( a \) que hacen que el sistema sea singular. Para terminar analizaremos la compatibilidad del sistema para cada uno de esos valores y determinaremos cuál de ellos hace que el sistema no tenga solución.
Considera los planos \( \pi_1 \) \( \pi_2 \) y \( \pi_3 \) dados respectivamente por las ecuaciones
\( x+y=1 \) \( ay+z=0 \) y \( x+(1+a)y+az=a+1 \) Para \( a=0 \) determina la posición relativa de los planos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir el valor a igual a cero en las ecuaciones de los tres planos. A continuación analizaremos las ecuaciones resultantes para identificar si hay planos coincidentes o paralelos. Para terminar determinaremos la intersección de los planos y concluiremos su posición relativa.
Dados el plano \(\pi \) de ecuación \( x + 2y - z = 0 \) y la recta \( r \) de ecuaciones \(\begin{cases} 3x - y = 5 \\ x + y - 4z = -13 \end{cases}\). Halla el punto de intersección del plano \(\pi \) y la recta \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que define la intersección. A continuación resolveremos el sistema mediante sustitución. Para terminar verificaremos que el punto obtenido pertenece tanto al plano como a la recta.
Sean \( r \) y \( s \) las rectas dadas por: \( r \equiv \begin{cases} x + y - z = 6 \\ x + z = 3 \end{cases}\) y \( s \equiv \frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 1}{6} = \frac{z}{2}\). Determina el punto de intersección de ambas rectas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir la ecuación simétrica de la recta s a su forma paramétrica. A continuación sustituiremos las coordenadas paramétricas en el sistema de ecuaciones que define la recta r. Para terminar resolveremos para el parámetro y obtendremos las coordenadas del punto de intersección.
Dadas las rectas \( r \equiv \frac{x + 3}{-6} = \frac{y - 9}{4} = \frac{z - 8}{4}\) y \( s \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 9}{-2} = \frac{z - 8}{-2}\). Determina la posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \)
Para resolver este apartado empezaremos por extraer los vectores directores y un punto de cada recta a partir de sus ecuaciones canónicas. A continuación compararemos los vectores directores para determinar si son linealmente dependientes. Para terminar comprobaremos si las rectas comparten algún punto para distinguir entre paralelas y coincidentes.
Considera las rectas \( r \) y \( s \) dadas por \( r \equiv \begin{cases} x=2-3\lambda \\ y=3+5\lambda \\ z=\lambda \end{cases}\) y \( s \equiv \begin{cases} x+y-1=0 \\ z-5=0 \end{cases}\). Determina la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener los vectores directores de ambas rectas. A continuación comprobaremos si son paralelas. Para terminar igualaremos sus ecuaciones paramétricas para determinar si se cruzan o son oblicuas.
Considera el plano \(\pi \) de ecuación \( 2x+y-z+2=0 \) y la recta \( r \) de ecuación \(\frac{x-5}{-2}=y=\frac{z-6}{-3}\). Halla la posición relativa de \(\pi \) y \( r \)
Para resolver este apartado empezaremos por extraer el vector normal del plano y el vector director de la recta. A continuación calcularemos el producto escalar entre ambos vectores para determinar si son perpendiculares. Para terminar comprobaremos si un punto de la recta pertenece al plano.
Considera el plano \(\pi \) de ecuación \( mx + 5y + 2z = 0 \) y la recta \( r \) dada por \(\frac{x+1}{3} = \frac{y}{n} = \frac{z-1}{2}\). Calcula \( m \) y \( n \) en el caso en el que la recta \( r \) está contenida en el plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector director y un punto de la recta. A continuación impondremos la condición de ortogonalidad entre el vector director y el vector normal del plano. Para terminar sustituiremos el punto en la ecuación del plano y resolveremos el sistema resultante.
Considera el plano \(\pi \) de ecuación \( 6x-my+2z=1 \) y la recta \( r \) dada por \(\frac{x-1}{-3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+2}{-1}\)
b) ¿Existe algún valor de \( m \) para el que la recta \( r \) esté contenida en el plano \(\pi \)?
Para resolver este apartado empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta r. A continuación impondremos las condiciones de paralelismo y pertenencia de la recta al plano \(\pi \) Para terminar concluiremos si existe o no algún valor de m.
Considera los puntos \( A = (0, 3, -1) \) y \( B = (0, 1, a) \) y el plano \( \pi \) de ecuación \( x - y + z = 0 \) Halla el punto de corte del plano \( \pi \) con la recta que pasa por \( A \) y es perpendicular a dicho plano.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el vector normal del plano. A continuación escribiremos la ecuación paramétrica de la recta que pasa por A y es perpendicular al plano. Para terminar sustituiremos las coordenadas paramétricas en la ecuación del plano para hallar el parámetro y así obtener el punto de corte.
Sea \(\pi \) el plano determinado por los puntos \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 1, 0) \) y \( C(0, 0, \lambda) \), siendo \(\lambda \) un número real, y sea \( r \) la recta dada por \( r \equiv \left\{\begin{matrix} y - z = 3 \\ -x + 2y = 3 \end{matrix}\right.. \). Estudia la posición relativa de \( r \) y \(\pi \) según los valores de \(\lambda \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la ecuación del plano \(\pi \) a partir de los tres puntos dados. A continuación determinaremos la ecuación paramétrica de la recta r. Para terminar estudiaremos la posición relativa mediante el producto escalar del vector director de la recta y el vector normal del plano.
Considera las rectas \( r \) y \( s \) dadas por \( r \equiv x-2 = y-2 = z \) y \( s \equiv \begin{cases} x = 4+t \\ y = 4+t \\ z = mt \end{cases}\). Halla, si existe, un valor de \( m \) para el que ambas rectas sean la misma.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la recta \( r \) en forma paramétrica para obtener su vector director. A continuación compararemos los vectores directores de ambas rectas para imponer la condición de paralelismo. Para terminar comprobaremos si existe algún punto común cuando los vectores son proporcionales, determinando así si pueden ser la misma recta.
Considera las rectas \( r \) y \( s \) dadas por: \( r \equiv \begin{cases} x+y = z+4 \\ x+2y = 7 \end{cases}\) y \( s \equiv \begin{cases} x-2 = 0 \\ y+3 = 0 \end{cases}\). Estudia y determina la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar las rectas en forma paramétrica obteniendo sus vectores directores y puntos característicos. A continuación compararemos los vectores directores para descartar paralelismo. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones que iguala ambas rectas para comprobar si se cortan.
Sea \( r \) la recta que pasa por los puntos \( A(3, 6, 7) \) y \( B(7, 8, 3) \) y sea \( s \) la recta dada por \(\begin{cases} x-4y-z = -10 \\ 3x-4y+z = -2 \end{cases}\). Determina la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los vectores directores de ambas rectas. A continuación comprobaremos si son paralelas. Para terminar hallaremos un punto de la recta s y verificaremos si pertenece a la recta r para distinguir entre paralelas y coincidentes.
Considera las rectas \( r \equiv \frac{x+1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{3}\) y \( s \equiv \begin{cases} 2x-3y = -5 \\ y-2z = -1 \end{cases}\). Estudia y determina la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener los vectores directores y un punto de cada recta. A continuación comprobaremos si los vectores directores son linealmente dependientes para determinar si son paralelas. Para terminar, si no son paralelas, resolveremos el sistema de ecuaciones paramétricas para ver si se cortan o son cruzadas.
Considera la recta \( r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}\) y los planos \( \pi_1 \equiv x = 0 \) y \( \pi_2 \equiv y = 0 \) Determina la posición relativa de la recta \( r \) y la recta de intersección de los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar la recta de intersección de los planos π1 y π
2. A continuación escribiremos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. Para terminar compararemos sus vectores directores y resolveremos el sistema para ver si se intersectan, concluyendo así su posición relativa.
Considera las rectas \( r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y-k}{2} = \frac{z}{2}\) y \( s \equiv \frac{x+1}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-3}{1}\) Halla \( k \) sabiendo que ambas se cortan en un punto.
Para resolver este ejercicio empezaremos por parametrizar ambas rectas. A continuación igualaremos sus coordenadas para obtener un sistema de ecuaciones. Para terminar resolveremos el sistema y obtendremos el valor de k.
Siendo \( a \neq 0 \), considera las rectas
\( r \equiv x-1=y-2=\frac{z-1}{a} \quad \text{ y } \quad s \equiv \frac{x-3}{-a}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}\)
Estudia la posición relativa de ambas rectas según los valores de \( a \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. A continuación analizaremos si son paralelas mediante el producto vectorial de sus vectores directores. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones para determinar si se cortan o son cruzadas.
La recta \( r \equiv \frac{x+3}{2} = \frac{y+4}{2} = \frac{z-3}{3}\) y la recta \( s \), que pasa por los puntos \( P(1, 0, 2) \) y \( Q(a, 1, 0) \), se cortan en un punto. Calcula el valor de \( a \) y el punto de corte.
Para resolver el ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones vectoriales de las rectas r y s. A continuación igualaremos los vectores para obtener un sistema de ecuaciones que nos permita hallar los parámetros y el valor de a. Para terminar sustituiremos para obtener el punto de corte.
Considera las rectas \( r \equiv \frac{x-2}{-2} = y - 1 = \frac{z}{-2}\) y \( s \equiv \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2y + z = 2 \end{cases}\). Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este apartado empezaremos por convertir la recta r a su forma vectorial identificando un punto y un vector director. A continuación obtendremos el vector director y un punto de la recta s a partir de su representación como intersección de dos planos. Para terminar compararemos los vectores directores y comprobaremos si las rectas son coincidentes para determinar su posición relativa.
Considera las rectas \( r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases}\) y \( s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}\). Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \) según los valores de \( m \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el vector director y un punto de cada recta. A continuación sustituiremos las ecuaciones paramétricas de la recta r en las ecuaciones de los planos que definen la recta s. Para terminar analizaremos la compatibilidad del sistema resultante para clasificar la posición relativa en función del parámetro m.
Considera las rectas \( r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases}\) y \( s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}\). Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este apartado empezaremos por obtener los vectores directores y un punto de cada recta. A continuación comprobaremos si los vectores directores son linealmente dependientes para ver si son paralelas. En caso contrario, resolveremos el sistema de ecuaciones que iguala los puntos de ambas rectas para determinar si se cortan o son cruzadas.
Considera la recta \( r \equiv x - 2 = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{2}\) así como la recta \( s \) determinada por el punto \( P(1, 2, 3) \) y el vector director \( \vec{v} = (1 + a, -a, 3a) \) Calcula \( a \) para que las rectas \( r \) y \( s \) se corten.
Para resolver este apartado empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. A continuación igualaremos las coordenadas para obtener un sistema de ecuaciones. Para terminar resolveremos el sistema para hallar el valor de \( a \)
Considera las rectas \( r \equiv x = 1 - y = z \) y \( s \equiv \begin{cases} x + y - 3z = 4 \\ 3x - y + z = -2 \end{cases}\) Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones paramétricas de la recta r y la recta s. A continuación calcularemos los vectores directores de ambas rectas para comprobar si son paralelas. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones que iguala los puntos de ambas rectas para determinar si se cortan o son cruzadas.
Considera las rectas \( r \equiv x + 1 = y - a = -z \) y \( s \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases}\) Calcula \( a \) para que \( r \) y \( s \) se corten. Determina el punto de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las rectas en forma paramétrica. A continuación igualaremos las coordenadas para obtener un sistema de ecuaciones. Para terminar resolveremos el sistema para hallar el parámetro a y el punto de corte.
Sea el plano \( \pi \equiv x + y - z = 2 \) y la recta \( r \equiv x = \frac{y}{3} = z - 1 \) Calcula, si existe, el punto de intersección de \( r \) y \( \pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la recta en su forma paramétrica. A continuación sustituiremos las coordenadas paramétricas en la ecuación del plano para hallar el valor del parámetro. Para terminar obtendremos las coordenadas del punto de intersección.
Considera las rectas \( r \equiv \begin{cases} y=0 \\ 2x-z=0 \end{cases}\) y \( s \equiv \begin{cases} x+y+7=0 \\ z=0 \end{cases}\) Estudia la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener las ecuaciones vectoriales de cada recta para identificar sus vectores directores y un punto. A continuación comprobaremos si los vectores directores son linealmente dependientes para descartar que sean paralelas. Para terminar igualaremos las ecuaciones vectoriales y resolveremos el sistema resultante para determinar si se cortan o son cruzadas.
Considera las rectas \( r \equiv x=y+a=\frac{z+1}{2}\) y \( s \equiv \begin{cases} x-2y=3a \\ x+z=2 \end{cases}\) Calcula \( a \) para que las rectas se corten.
Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir las ecuaciones de las rectas a su forma paramétrica. A continuación igualaremos las coordenadas de ambas rectas para encontrar los parámetros de intersección. Para terminar resolveremos el sistema resultante para obtener el valor de a.
Considera el plano \( \pi \equiv x-2y+z-2=0 \) y la recta \( r \) de ecuación \( r \equiv \begin{cases} x=1+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=1 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}\) Estudia la posición relativa de \( \pi \) y \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por sustituir las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano. A continuación simplificaremos la expresión resultante para obtener una ecuación en \(\lambda \) Para terminar analizaremos el resultado para determinar la posición relativa.
Considera las rectas \( r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-k}{2}\) y \( s \equiv \frac{x+2}{-1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-1}{1}\). Determina \( k \) sabiendo que ambas se cortan en un punto.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas vectoriales de ambas rectas. A continuación igualaremos las coordenadas para obtener un sistema de ecuaciones lineales. Para terminar resolveremos el sistema para hallar el valor de k.
Sean las rectas \( r \equiv \frac{x+1}{4} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-2}{-1}\) y \( s \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -3 - 2\lambda \end{cases}\). Estudia la posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la recta \( r \) en forma paramétrica para identificar su vector director y un punto que pertenece a ella. A continuación obtendremos el vector director y un punto de la recta \( s \) directamente de sus ecuaciones paramétricas. Luego comprobaremos si los vectores directores son linealmente dependientes para descartar el paralelismo. Para terminar resolveremos el sistema que iguala las coordenadas de ambas rectas para determinar si se cortan o son cruzadas.
Considera la recta r definida por \( \begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 0 \end{cases}\) y la recta s que pasa por los puntos \( A(2, 1, 0) \) y \( B(1, 0, -1) \) Estudia la posición relativa de ambas rectas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar un vector director y un punto de la recta r a partir de sus ecuaciones cartesianas. A continuación determinaremos el vector director y un punto de la recta s usando los dos puntos dados. Para terminar comprobaremos si las rectas son paralelas, se cortan o son cruzadas resolviendo el sistema de ecuaciones paramétricas.
Sean la recta r definida por \( \begin{cases} x - y = -2 \\ x - z = -3 \end{cases}\) y la recta s definida por \( \begin{cases} x = 1 \\ 2y - z = -2 \end{cases}\) Estudia la posición relativa de r y s.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los vectores directores de ambas rectas mediante el producto vectorial de los vectores normales de sus planos definitorios. A continuación determinaremos un punto de cada recta. Luego comprobaremos si los vectores directores son proporcionales para descartar que sean paralelas. Para terminar resolveremos el sistema formado por las cuatro ecuaciones para ver si se intersectan.
Considera el punto \( P(1, 0, 0) \) la recta r definida por \( x - 3 = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{-2}\) y la recta s definida por \( (x, y, z) = (1, 1, 0) + \lambda(-1, 2, 0) \) Estudia la posición relativa de r y s.
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer los vectores directores y puntos de cada recta a partir de sus ecuaciones. A continuación comprobaremos si los vectores directores son linealmente dependientes para determinar si las rectas son paralelas. En caso de no ser paralelas, igualaremos sus ecuaciones paramétricas para ver si se intersectan. Para terminar concluiremos su posición relativa.
Sea \( r \) la recta dada por \(\frac{x+2}{2}=y+1=\frac{z-1}{-3}\) y sea \( s \) la recta dada por \(\begin{cases} x-y-3=0 \\ 3y-z+6=0 \end{cases}\). Determina la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir ambas rectas a forma paramétrica para obtener sus vectores directores y puntos característicos. A continuación comprobaremos si los vectores directores son paralelos. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones para determinar si se intersectan y concluiremos su posición relativa.
Sea \( r \) la recta que pasa por \( A(4, 3, 6) \) y \( B(-2, 0, 0) \) y sea \( s \) la recta dada por \(\left\{\begin{matrix} x = 2 + \lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{matrix}\right.. \). Determina la posición relativa de \( r \) y \( s \)
Para resolver este apartado empezaremos por hallar los vectores directores y ecuaciones paramétricas de ambas rectas. A continuación comprobaremos si son paralelas comparando sus vectores directores. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones para ver si se cortan y concluiremos su posición relativa.
Sea la recta \( r \) dada por \(\begin{cases} 2x + y - mz = 2 \\ x - y - z = -m \end{cases}\) y el plano \(\pi \) definido por \( x + my - z = 1 \)
¿Cuál es la posición relativa de la recta y el plano cuando \( m = 0 \)?
Para resolver este apartado empezaremos por sustituir m igual a cero en las ecuaciones de la recta y el plano. A continuación calcularemos el vector director de la recta y el vector normal del plano para comprobar si son paralelos. Para terminar resolveremos el sistema de las tres ecuaciones para hallar el punto de intersección.
Calcula \( a \) sabiendo que los planos \( ax + y - 7z = -5 \) y \( x + 2y + a^2 z = 8 \) se cortan en una recta que pasa por el punto \( A(0, 2, 1) \) pero que no pasa por el punto \( B(6, -3, 2) \)
Para resolver este apartado empezaremos por imponer que el punto A pertenece a ambos planos para obtener los posibles valores de a. A continuación comprobaremos cuál de esos valores hace que el punto B no pertenezca a la recta de intersección. Para terminar verificaremos que los planos efectivamente se cortan en una recta para el valor obtenido y concluiremos la solución.
Considera la recta \( r \) y el plano \( \pi \) siguientes: \( r \equiv \begin{cases} x + z - a = 0 \\ y - az - 1 = 0 \end{cases}\) \( \pi \equiv 2x - y = b \) Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que \( r \) está contenida en \( \pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por expresar la recta r en forma paramétrica. A continuación sustituiremos las coordenadas paramétricas en la ecuación del plano \(\pi \) Para terminar igualaremos los coeficientes del parámetro a cero y la parte constante a b para encontrar los valores de a y b.
Dado el plano \(\pi \equiv x - 2y + 1 = 0 \) y la recta \( r \equiv \begin{cases} x - 3y + z = 0 \\ x - y + az + 2 = 0 \end{cases}\) hallar el valor de \( a \) sabiendo que la recta está contenida en el plano.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director de la recta mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación impondremos la condición de paralelismo entre la recta y el plano igualando a cero el producto escalar del vector director con el vector normal del plano. Para terminar comprobaremos que con el valor obtenido la recta pertenece efectivamente al plano verificando que un punto de la recta satisface la ecuación del plano.
Considera la recta \( r \) definida por \(\frac{x-1}{\alpha} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2}\) y el plano \(\pi \) de ecuación \( 2x - y + \beta z = 0 \)
Determina \(\alpha \) y \(\beta \) sabiendo que la recta \( r \) está contenida en el plano \(\pi \)
Para resolver este apartado empezaremos por extraer el vector director y un punto de la recta. A continuación obtendremos el vector normal del plano e impondremos la condición de ortogonalidad. Para terminar sustituiremos el punto en la ecuación del plano y resolveremos el sistema para hallar alfa y beta.
Sea la recta \( r \) dada por \(\begin{cases} 2x + y - mz = 2 \\ x - y - z = -m \end{cases}\) y el plano \(\pi \) definido por \( x + my - z = 1 \)
¿Para qué valor de \( m \) está la recta contenida en el plano?
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta \( r \) a partir de las ecuaciones de los dos planos que la definen. A continuación impondremos la condición de paralelismo entre la recta \( r \) y el plano \(\pi \) mediante el producto escalar de su vector director y el vector normal del plano. Para terminar buscaremos un punto de la recta \( r \) y lo sustituiremos en la ecuación del plano \(\pi \) para obtener la condición de pertenencia, resolviendo el sistema de ecuaciones resultante para \( m \)
Considera el plano \( \pi \) definido por \( 2x-y+nz=0 \) y la recta \( r \) dada por \( \frac{x-1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2}\) con \( m \neq 0 \)
Calcula \( m \) y \( n \) para que la recta \( r \) esté contenida en el plano \( \pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por imponer que el punto de la recta pertenezca al plano. A continuación impondremos que el vector director de la recta sea ortogonal al vector normal del plano. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones resultante para hallar m y n.
Considera el plano \(\pi \equiv 2x + y - z + 2 = 0 \) y la recta \( r \) dada por \( r \equiv \frac{x-5}{-2} = y = \frac{z-6}{m}\). Halla la posición relativa de \( r \) y \(\pi \) según los valores del parámetro \( m \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la recta en forma paramétrica. A continuación sustituiremos sus coordenadas en la ecuación del plano. Para terminar analizaremos la ecuación resultante en función del parámetro m.
Considera los puntos \( A = (1, 0, -1) \) y \( B = (2, 1, 0) \) y la recta \( r \) dada por \(\begin{cases} x + y = 1 \\ x + z = 2 \end{cases}\). Sea el plano que es paralelo a \( r \) y pasa por \( A \) y \( B \). Determina si la recta que pasa por los puntos \( P = (1, 2, 1) \) y \( Q = (3, 4, 1) \) está contenida en dicho plano.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta r. A continuación calcularemos el vector AB y el vector normal del plano mediante el producto vectorial. Para terminar obtendremos la ecuación del plano y comprobaremos si la recta PQ cumple las condiciones de pertenencia.
Sea \( r \) la recta de ecuación: \( r \equiv \begin{cases} x = 1 + a \cdot t \\ y = 1 - 2 \cdot t \\ z = 4 - t \end{cases}\) y \( s \) la recta de ecuación: \( s \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{3}\). Sabiendo que las rectas \( r \) y \( s \) se cortan, calcula el punto de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. A continuación igualaremos sus coordenadas para obtener un sistema de ecuaciones con los parámetros y la incógnita a. Para terminar resolveremos el sistema y sustituiremos para hallar el punto de corte.