Ejercicios · 2.9 Paralelismo, perpendicularidad y posición relativa
21 ejercicios resueltos paso a paso.
2.9 Paralelismo, perpendicularidad y posición relativa
1.
Considera la recta \( r \) definida por \(\frac{x-1}{\alpha} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2} \) y el plano \(\pi \) de ecuación \( 2x - y + \beta z = 0 \)
Determina \(\alpha \) y \(\beta \) sabiendo que la recta \( r \) es perpendicular al plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector director de la recta y el vector normal del plano. A continuación impondremos la condición de perpendicularidad partido por la recta y el plano, que equivale a que ambos vectores sean paralelos. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones resultante para hallar alfa y beta.
Considera el plano \(\pi \) y la recta \( r \). Calcula \( m \) en el caso en el que la recta \( r \) …
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el vector director de la recta y el vector normal del plano. A continuación usaremos la condición de perpendicularidad partido por recta y plano, que implica que estos vectores son paralelos. Para terminar igualaremos las componentes para obtener m y n.
Considera el plano \(\pi \) y la recta \( r \)
Calcula \( m \) es perpendicular al plano \( \pi \). Apartado a
Para resolver este apartado empezaremos por identificar el vector normal del plano y el vector director de la recta. A continuación impondremos la condición de perpendicularidad partido por la recta y el plano, que exige que el vector director de la recta sea paralelo al vector normal del plano. Para terminar resolveremos la ecuación resultante para hallar el valor de m.
Sean los vectores \( \vec{u} = (1, -1, 0) \) y \( \vec{w} = (1+\alpha, 2\alpha, 2-3\alpha) alfa \) para que \( \vec{w}\) y \( \vec{v}\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la condición de perpendicularidad mediante el producto escalar. A continuación calcularemos los productos escalares de w con u y con v, igualándolos a cero. Para terminar resolveremos las ecuaciones resultantes para encontrar alfa.
Se sabe que las rectas: \( r \equiv \begin{cases} x + y - z = 3 \\ x + 2y = 2 \end{cases}\) y \( s \equiv \begin{cases} ax + 6y = -6 \\ x - 2z = -2 \end{cases}\) son paralelas. Calcula \( a \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los vectores directores de las rectas r y s mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que las definen. A continuación igualaremos las componentes de los vectores directores para que sean proporcionales, ya que las rectas son paralelas. Para terminar resolveremos la ecuación resultante para obtener el valor de a.
Se considera la recta \( r \) definida por \( mx = y = z + 2 \) (con \( m \neq 0 \), y la recta \( s \) definida por \( \frac{x-4}{4} = y - 1 = \frac{z}{2}\)
Deduce razonadamente si existe algún valor de \( m \) para el que \( r \) y \( s \) son paralelas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener los vectores directores de ambas rectas a partir de sus ecuaciones simétricas. A continuación igualaremos las componentes de los vectores directores para hallar la proporcionalidad. Para terminar concluiremos si existe algún valor de m que satisfaga la condición de paralelismo.
Considera la recta \( r \equiv x - 2 = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{2}\) así como la recta \( s \) determinada por el punto \( P(1, 2, 3) \) y el vector director \( \vec{v} = (1 + a, -a, 3a) \) Calcula \( a \) para que las rectas \( r \) y \( s \) sean perpendiculares.
Para resolver este apartado empezaremos por extraer el vector director de la recta r. A continuación calcularemos el producto escalar entre los vectores directores de r y s e igualaremos a cero. Para terminar resolveremos la ecuación resultante para hallar el valor de a.
Sea \( r \) la recta que pasa por el punto \((1, 0, 0) \) y tiene como vector dirección \((a, 2a, 1) \) y sea \( s \) la recta dada por: \( s \equiv \begin{cases} -2x+y=-2 \\ -ax+z=0 \end{cases}\). Calcula los valores de \( a \) para los que \( r \) y \( s \) son paralelas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta s mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación igualaremos las componentes de los vectores directores de r y s para encontrar los valores de a que los hacen proporcionales. Para terminar resolveremos la ecuación resultante y daremos los valores de a.
Considera las rectas \( r \) y \( s \) dadas por \( r \equiv x-2 = y-2 = z \) y \( s \equiv \begin{cases} x = 4+t \\ y = 4+t \\ z = mt \end{cases}\). Determina \( m \) para que \( r \) y \( s \) sean paralelas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por obtener los vectores directores de ambas rectas a partir de sus ecuaciones. A continuación impondremos la condición de paralelismo, que requiere que los vectores directores sean proporcionales. Para terminar resolveremos el sistema resultante para hallar el valor de m.
Considera las rectas \( r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{m} = z \) y \( s \equiv \begin{cases} x+nz = -2 \\ y-z = -3 \end{cases}\). Halla los valores de \( m \) y \( n \) para los que \( r \) y \( s \) se corten perpendicularmente.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir las ecuaciones paramétricas de ambas rectas e identificar sus vectores directores y puntos. A continuación impondremos la condición de perpendicularidad entre los vectores directores y la condición de intersección entre las rectas. Para terminar resolveremos el sistema de ecuaciones resultante para hallar eme y ene.
Considera los puntos \( A = (0, 3, -1) \) y \( B = (0, 1, a) \) y el plano \(\pi \) de ecuación \( x - y + z = 0 \). Determina \( a \) sabiendo que la recta que pasa por \( A \) y por \( B \) es paralela al plano \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director de la recta que pasa por A y B. A continuación utilizaremos la condición de paralelismo entre una recta y un plano, que exige que el vector director de la recta sea ortogonal al vector normal del plano. Para terminar igualaremos el producto escalar a cero y despejaremos el valor de a.
Sea \( r \) la recta que pasa por el punto \( P(2, -2, -1) \) con vector director \(\vec{v}=(k, 3+k, -2k) \) y sea \(\pi \) el plano de ecuación \(-x+2y+2z-1=0 \). Calcula el valor de \( k \) para que \( r \) sea paralela a \(\pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el vector normal del plano a partir de su ecuación general. A continuación impondremos la condición de paralelismo entre la recta y el plano mediante el producto escalar del vector director y el vector normal. Para terminar resolveremos la ecuación resultante para obtener el valor de k.
Sea \( r \) la recta que pasa por el punto \( P(2, -2, -1) \) con vector director \( \vec{v}=(k, 3+k, -2k) \) y sea \( \pi \) el plano de ecuación \( -x+2y+2z-1=0 \) Calcula el valor de \( k \) para que \( r \) sea perpendicular a \( \pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el vector normal del plano. A continuación igualaremos el vector director de la recta a un múltiplo escalar del vector normal, ya que la perpendicularidad entre recta y plano exige que sean paralelos. Para terminar resolveremos el sistema resultante para hallar \( k \)
Se considera la recta \( r \) definida por \( mx = y = z + 2 \) (con \( m \neq 0 \), y la recta \( s \) definida por \( \frac{x-4}{4} = y - 1 = \frac{z}{2}\)
Halla el valor de \( m \) para el que \( r \) y \( s \) son perpendiculares.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los vectores directores de ambas rectas. A continuación impondremos la condición de perpendicularidad mediante el producto escalar de los vectores directores. Para terminar despejaremos el valor del parámetro m.
Considera el plano \( \pi \) definido por \( 2x-y+nz=0 \) y la recta \( r \) dada por \( \frac{x-1}{m} = \frac{y}{4} = \frac{z-1}{2}\) con \( m \neq 0 \)
Calcula \( m \) y \( n \) para que la recta \( r \) sea perpendicular al plano \( \pi \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar el vector normal del plano y el vector director de la recta. A continuación impondremos la condición de perpendicularidad, que exige que ambos vectores sean paralelos. Para terminar resolveremos el sistema resultante para hallar m y n y comprobaremos la condición m ≠ 0.
Considera los puntos: \( A(1, 0, 3) \) \( B(3, -1, 0) \) \( C(0, -1, 2) \) y \( D(a, b, -1) \) Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que la recta que pasa por \( A \) y \( B \) corta perpendicularmente a la recta que pasa por \( C \) y \( D \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los vectores directores de las rectas que pasan por A y B, y por C y D. A continuación impondremos la condición de perpendicularidad entre los vectores directores. Para terminar igualaremos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas para imponer que se cortan y resolveremos el sistema resultante.
Considera el plano \( \pi \equiv 2x + y - z + 7 = 0 \) y la recta \( r \) dada por las ecuaciones paramétricas: \( x = 1 + \lambda \) \( y = 1 + \lambda \) \( z = 1 + 3\lambda \) ¿Hay algún plano paralelo a \( \pi \) que contenga a la recta \( r \). En caso afirmativo determina sus ecuaciones.
Para resolver este apartado empezaremos por determinar el vector director de la recta y el vector normal del plano. A continuación comprobaremos si el vector director es ortogonal al vector normal, condición necesaria para que la recta sea paralela al plano. Para terminar buscaremos el valor de D que hace que un punto de la recta pertenezca al plano, determinando así la ecuación del plano buscado.
Considera la recta \( r \equiv \begin{cases} x+y+2=0 \\ -y+z+5=0 \end{cases}\) y el plano \( \pi \equiv 2x+y-mz=1 \) Calcula \( m \) sabiendo que \( r \) y \( \pi \) son paralelos.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de la recta r mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen. A continuación obtendremos el vector normal del plano \(\pi \) Para terminar igualaremos a cero el producto escalar entre ambos vectores, ya que la recta y el plano son paralelos si y solo si el vector director de la recta es ortogonal al vector normal del plano.
Considera el plano \(\pi \equiv x-y+az=0 \) y la recta \( r \equiv \begin{cases} 4x-3y+4z=1 \\ 3x-2y+z=0 \end{cases}\). Halla \( a \) sabiendo que \(\pi \) es paralelo a \( r \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el vector director de la recta r. A continuación calcularemos el vector normal del plano \(\pi \) Para terminar impondremos la condición de paralelismo entre la recta y el plano para hallar el valor de a.
Considera la recta \( r \equiv \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \end{cases}\) y el plano \(\pi \equiv mx - y - 2z = 5 \). Halla \( m \) para que \( r \) y \(\pi \) sean paralelos.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el vector director de la recta r mediante el producto vectorial de las normales de los planos que la definen. A continuación obtendremos el vector normal del plano \(\pi \) Para terminar impondremos la condición de paralelismo igualando a cero el producto escalar entre ambos vectores y despejaremos el valor de m, verificando finalmente que la recta no está contenida en el plano.
Sea la recta \( r \) dada por \(\begin{cases} 2x + y - mz = 2 \\ x - y - z = -m \end{cases}\) y el plano \(\pi \) definido por \( x + my - z = 1 \)
¿Existe algún valor de \( m \) para el que \(\pi \) y \( r \) son paralelos?
Para resolver este apartado empezaremos por calcular el vector director de la recta r mediante el producto vectorial de las normales de los planos que la definen. A continuación obtendremos el vector normal del plano \(\pi \) Para terminar igualaremos a cero el producto escalar entre ambos vectores y analizaremos los valores de m obtenidos para determinar si la recta es paralela al plano o está contenida en él.