La figura muestra la gráfica de una función \( f \) impar (simétrica respecto al origen de coordenadas) definida en \( [-3, 3]\) La parte de la gráfica correspondiente a \( x > 0 \) consta de un segmento constante en \( y = 1 \) para \( x \in (0, 1) \) y de un segmento que une los puntos \( (1, 2) \) y \( (3, 3) \)
a) Calcula \( f(0) \)
b) Completa la gráfica de \( f \) para \( x < 0 \)
c) Calcula \( f'(x) \) en los puntos donde exista.
3-8-02.png — Gráfica de la función impar f(x)
Para resolver este apartado empezaremos por usar la propiedad de que la función es impar, lo que implica que su gráfica pasa por el origen. A continuación confirmaremos que la función está definida en cero. Para terminar daremos el valor.
Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Esboza la gráfica de f.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio y la simetría de la función. A continuación calcularemos los límites en los puntos no pertenecientes al dominio y en el infinito para encontrar asíntotas. Luego obtendremos la primera y segunda derivada para estudiar el crecimiento, decrecimiento, extremos relativos y concavidad. Para terminar esbozaremos la gráfica utilizando toda la información recabada.
Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = \(\frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}. Esboza \) la gráfica de f.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el dominio y las intersecciones con los ejes. A continuación estudiaremos las asíntotas, la derivada primera para determinar intervalos de crecimiento y extremos, y la derivada segunda para la concavidad y puntos de inflexión. Para terminar esbozaremos la gráfica con toda la información obtenida.
Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x|x - 4|\) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la función a trozos eliminando el valor absoluto. A continuación analizaremos el comportamiento de cada rama: intersecciones, extremos y límites en el infinito. Para terminar estudiaremos la continuidad y derivabilidad en el punto de unión y esbozaremos la gráfica.
Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por
\( f(x)=\begin{cases} 1+\alpha x & \text{si } x < 0 \\ e^{-x} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}\)
Haz un esbozo de la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la continuidad y la derivabilidad de la función en el punto de corte \( x=0 \) A continuación estudiaremos el comportamiento de cada rama en función del parámetro \(\alpha \) Para terminar realizaremos un esbozo cualitativo de la gráfica para los tres casos posibles: \(\alpha > 0 \), \(\alpha = 0 \) y \(\alpha < 0 \)
Dada la función \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( g(x) = 2x + |x^2 - 1|\) Esboza la gráfica de \( g \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la expresión del valor absoluto para escribir la función por tramos. A continuación calcularemos los puntos característicos: interceptos, vértices, continuidad y derivabilidad. Para terminar esbozaremos la gráfica representando los tramos correspondientes.
Sea \( f \) la función definida, para \( x \neq 2 \) y \( x \neq -2 \) por \( f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 4}\) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio y las intersecciones con los ejes coordenados. A continuación calcularemos las asíntotas verticales y horizontales estudiando los límites laterales en los puntos no pertenecientes al dominio y en el infinito. Para terminar analizaremos la monotonía y la concavidad mediante la derivada primera y la segunda derivada, para finalmente esbozar la gráfica de la función.
Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x(x-3)^2 \). Haz un esbozo de la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio y los puntos de corte con los ejes. A continuación analizaremos las asíntotas. Luego calcularemos la primera derivada para estudiar el crecimiento y los extremos. Después calcularemos la segunda derivada para determinar la concavidad y los puntos de inflexión. Para terminar esbozaremos la gráfica representando los puntos característicos.
Sea \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) la función definida por \( f(x)=x|x-2|\). Haz un esbozo de la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por reescribir la función en forma de función a trozos eliminando el valor absoluto. A continuación calcularemos los puntos característicos: intersecciones con los ejes, puntos críticos, y analizaremos la concavidad en cada intervalo. Para terminar esbozaremos la gráfica uniendo los tramos correspondientes.
Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2 - x|x|\) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la función definiéndola por tramos según el valor absoluto. A continuación calcularemos los puntos característicos: intersecciones con los ejes, comportamiento asintótico, derivada y concavidad. Para terminar esbozaremos la gráfica basándonos en toda la información obtenida.
Se consideran las funciones \( f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = \sqrt{3x}\) y \( g(x) = \frac{1}{3}x^2 \)
Haz un esbozo de sus gráficas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el dominio, la imagen y los puntos de corte con los ejes de ambas funciones. A continuación estudiaremos su monotonía y concavidad. Para terminar trazaremos un esbozo de sus gráficas y mostraremos una representación gráfica.
Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por: \( f(x) = x^2 + |x|\); \( g(x) = 2 \)
Determina los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \). Esboza dichas gráficas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por encontrar los puntos de corte igualando las dos funciones y resolviendo la ecuación resultante considerando la definición del valor absoluto. A continuación analizaremos la forma de la gráfica de \( f \) para poder esbozar ambas funciones. Para terminar representaremos gráficamente las dos funciones y marcaremos los puntos de corte.
Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por: \( f(x) = 2 - x^2 \) y \( g(x) = |x|\) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la función f, determinando su vértice, intersecciones con los ejes y concavidad. A continuación analizaremos la función g, identificando su vértice y las dos semirrectas que la forman. Para terminar buscaremos los puntos de intersección entre ambas gráficas y esbozaremos el conjunto en un mismo sistema de ejes.
Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) para \( x \neq 1 \) Esboza la gráfica de \( f \) indicando sus puntos de corte con los ejes coordenados.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio y los puntos de corte con los ejes. A continuación analizaremos las asíntotas verticales y horizontales calculando los límites correspondientes, incluyendo los límites laterales en la asíntota vertical. Para terminar estudiaremos la monotonicidad y la concavidad mediante las derivadas primera y segunda para esbozar la gráfica e inyectar su representación.
Considera la función definida por \( f(x) = -x + \frac{4}{x^2}\) para \( x \neq 0 \)
Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por determinar el dominio y las asíntotas de la función. A continuación calcularemos los puntos de corte con los ejes y estudiaremos la primera y segunda derivada para obtener los intervalos de monotonía, extremos y concavidad. Para terminar esbozaremos la gráfica resumiendo toda la información.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = \(\frac{x}{x^2+1}. Esboza \) la gráfica de f.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio, las intersecciones con los ejes y la simetría de la función. A continuación calcularemos las asíntotas, la primera derivada para estudiar el crecimiento y los extremos, y la segunda derivada para analizar la concavidad y los puntos de inflexión. Para terminar esbozaremos la gráfica representando todos estos elementos.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por f(x) = x^2 \(\cdot e^{-x^2}. Esboza \) la gráfica de f.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el dominio, simetría, límites en el infinito y puntos de corte con los ejes. A continuación calcularemos la primera derivada para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. Luego calcularemos la segunda derivada para estudiar la concavidad y hallar los puntos de inflexión. Para terminar esbozaremos la gráfica con toda la información obtenida.
Una partícula parte de reposo y al cabo de \( t \) segundos, su velocidad viene dada por la función \( v(t) = t \cdot (4 - t) \) metros/segundo (recuerda que la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo).
Esboza la gráfica de la función espacio con respecto al tiempo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar la función espacio integrando la velocidad. A continuación determinaremos las características principales de la función espacio (dominio, intersecciones, máximos, concavidad). Para terminar esbozaremos la gráfica.
Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = 6x - x^2 \) y \( g(x) = x^2 - 2x \). Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de corte entre las dos funciones. A continuación analizaremos las características de cada parábola para esbozar sus gráficas. Para terminar representaremos ambas funciones en los mismos ejes.
Sean \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por: \( f(x)=\operatorname{sen} x \) y \( g(x)=\cos x \) respectivamente. Realiza un esbozo de las gráficas de \( f \) y \( g \) en el intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}]\)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento de la función seno en el intervalo dado calculando su derivada y sus valores en los extremos. A continuación estudiaremos la función coseno de manera análoga. Para terminar determinaremos su punto de intersección y esbozaremos ambas gráficas conjuntamente.
Sean \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) las funciones definidas mediante \( f(x)=|x(x-2)|\) y \( g(x)=x+4 \). Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
Para resolver este apartado empezaremos por expresar la función f a trozos eliminando el valor absoluto. A continuación analizaremos el comportamiento de cada tramo de f y de la recta g. Para terminar esbozaremos ambas gráficas sobre los mismos ejes e mostraremos la representación gráfica.
Sean \( f \) y \( g \) las funciones definidas por \( f(x)=2-x \) y \( g(x)=\frac{2}{x+1}\) para \( x\neq-1 \). Calcula los puntos de corte entre las gráficas de \( f \) y \( g \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por igualar las dos funciones para encontrar las abscisas de los puntos de corte. A continuación resolveremos la ecuación resultante descartando los valores que no pertenezcan al dominio. Para terminar calcularemos las ordenadas correspondientes y escribiremos los puntos de corte.
Sean \( f \) y \( g \) las funciones definidas por \( f(x)=2-x \) y \( g(x)=\frac{2}{x+1}\) para \( x\neq-1 \). Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) sobre los mismos ejes.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la función f determinando su dominio, intersecciones con los ejes y comportamiento asintótico. A continuación analizaremos la función g de manera análoga prestando especial atención a su asíntota vertical y horizontal. Para terminar esbozaremos ambas gráficas en el mismo sistema de coordenadas indicando los puntos característicos y las asíntotas.
Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas respectivamente por \( f(x) = \frac{|x|}{2}\) y \( g(x) = \frac{1}{1+x^2}\) Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar las funciones y sus dominios. A continuación calcularemos los puntos de corte resolviendo la ecuación \( f(x) \) = \( g(x) \) considerando el valor absoluto. Para terminar esbozaremos las gráficas indicando los puntos de corte encontrados.
Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = |\ln(x)|\) para \( x > 0 \) Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con la recta \( y = 1 \)
Para resolver este apartado empezaremos por igualar la función al valor
1. A continuación resolveremos la ecuación resultante considerando la definición del valor absoluto. Para terminar obtendremos los puntos de corte.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = |x^2-4|\) Haz un esbozo de la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la expresión interior del valor absoluto para determinar los intervalos de definición por tramos. A continuación escribiremos la función definida a tramos y estudiaremos cada tramo por separado hallando sus vértices e intersecciones con los ejes. Para terminar comprobaremos la continuidad y derivabilidad en los puntos de unión y esbozaremos la gráfica completa.
Considera la región limitada por las curvas \( y = x^2 \) e \( y = -x^2 + 4x \) Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte de ambas curvas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar los puntos de corte igualando ambas funciones. A continuación determinaremos qué curva está por encima en el intervalo definido por los puntos de corte. Para terminar esbozaremos la región y la representaremos gráficamente.
Considera la región limitada por la gráfica de la función dada por \( f(x) = \sqrt{2x-2}\) para \( x \ge 1 \) la recta \( y=x-5 \) y el eje de abscisas. Esboza la gráfica de la región dada, hallando los puntos de corte entre la gráfica de \( f \) y las rectas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el punto de corte de la función f con el eje de abscisas. A continuación determinaremos los puntos de corte de f con la recta y = x -
5. Luego hallaremos el corte de la recta con el eje de abscisas. Para terminar describiremos la región y esbozaremos su gráfica.
Considera la función \( f: \left(-\frac{e}{2}, +\infty\right)\to\mathbb{R}\) definida por \( f(x)=\ln(2x+e) \), donde \(\ln \) denota logaritmo neperiano. Haz un esbozo de la gráfica de \( f \) calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de la función y sus asíntotas. A continuación calcularemos los puntos de corte con los ejes coordenados. Para terminar analizaremos la monotonía y concavidad para realizar el esbozo de la gráfica.
Sean las funciones \( f, g: [0, \pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=\operatorname{sen} x \) y \( g(x)=\operatorname{sen} 2x \). Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar las funciones y esbozar sus gráficas en el intervalo dado. A continuación igualaremos las funciones para encontrar sus puntos de corte. Para terminar presentaremos las coordenadas de dichos puntos.
Considera las funciones \( f, g: [-\pi, \pi]\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=\cos(x) \) y \( g(x)=\operatorname{sen}(x) \). Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados y calcula sus puntos de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el comportamiento de las funciones coseno y seno en el intervalo dado para esbozar sus gráficas. A continuación calcularemos los puntos de corte igualando ambas funciones. Para terminar presentaremos las coordenadas de dichos puntos.
Sea \( f \) la función definida por: \( f(x) = \begin{cases} 2x+4 & \text{si } x < 0 \\ (x-2)^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}\) Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con el eje de abscisas y esboza la gráfica de la función.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los puntos de corte con el eje de abscisas resolviendo \( f(x) \) =0 en cada rama de la función por tramos comprobando las condiciones de dominio. A continuación analizaremos la continuidad y el comportamiento de cada rama en sus extremos. Para terminar esbozaremos la gráfica completa indicando los puntos relevantes.
Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = x^3 + 2 \) y \( g(x) = -x^2 + 2x + 2 \) Calcula los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \) Esboza sus gráficas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por igualar las dos funciones para encontrar los puntos de corte. A continuación analizaremos el comportamiento de cada función para esbozar sus gráficas. Para terminar representaremos gráficamente ambas funciones.
Considera las funciones \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x) = 5 - x^2 \) y \( g(x) = \frac{4}{x^2}\). Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar las dos funciones, determinando su dominio, asíntotas y puntos característicos. A continuación igualaremos las dos funciones para hallar sus puntos de corte. Para terminar describiremos el esbozo de las gráficas.
Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x \). Calcula los puntos de corte de la gráfica de \( f \) con los ejes de coordenadas y esboza dicha gráfica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los puntos de corte con los ejes de coordenadas. A continuación hallaremos los puntos críticos y el punto de inflexión para determinar la forma de la gráfica. Para terminar esbozaremos la gráfica indicando sus características principales.
Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=-e^x \) y \( g(x)=-e^{-x}\). Esboza las gráficas de dichas funciones.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la función f estudiando su dominio, intersecciones, límites, monotonicidad y concavidad. A continuación realizaremos el mismo análisis para la función g. Para terminar compararemos ambas funciones y esbozaremos sus gráficas en un mismo sistema de ejes.
Sea \( f \) la función definida como \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}\) para \( x \neq \pm 1 \). Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por determinar el dominio, la simetría, los cortes con los ejes y las asíntotas. A continuación calcularemos la primera y segunda derivada para estudiar el crecimiento, los extremos, la concavidad y los puntos de inflexión. Para terminar analizaremos el comportamiento cerca de las asíntotas verticales y esbozaremos la gráfica.
Sea una función impar cuya gráfica para \( x > 0 \) se conoce.
a) Halla el valor de \( f(0) \) para esta función.
b) Completa la gráfica de la función \( f \)
c) Calcula la derivada \( f'(x) \) de la función en los puntos donde exista.
3-8-173.png — Gráfica de la función impar f(x)
Para resolver este apartado empezaremos por recordar la definición de función impar. A continuación aplicaremos la definición al punto \( x = 0 \) Para terminar concluiremos el valor de \( f(0) \)
Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. A continuación calcularemos la primera y segunda derivada para estudiar el crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad y puntos de inflexión. Para terminar trazaremos un esbozo de la gráfica.
Sea f: \( \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = 2x + 4 \) si \( x \leq 0 \) y \( f(x) = (x-2)^2 \) si \( x > 0 \) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con el eje de abscisas y esboza dicha gráfica.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los puntos de corte con el eje de abscisas igualando cada rama de la función a cero. A continuación determinaremos el corte con el eje de ordenadas y analizaremos el comportamiento de cada rama, incluyendo la continuidad en el punto de unión. Para terminar esbozaremos la gráfica completa.
Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio, los interceptos con los ejes y los límites en el infinito para identificar asíntotas. A continuación calcularemos la primera derivada para estudiar la monotonía y los extremos relativos. Luego calcularemos la segunda derivada para analizar la concavidad y los puntos de inflexión. Para terminar construiremos una tabla de valores representativa y esbozaremos la gráfica.
Sabiendo que una función \( f \) es simétrica respecto al origen de coordenadas y conociendo su gráfica para \( x > 0 \) como la de la figura, halla el valor de \( f(0) \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la propiedad que define a una función simétrica respecto al origen (función impar). A continuación aplicaremos dicha propiedad al valor \( x = 0 \) Para terminar deduiremos el valor de \( f(0) \)
Sabiendo que una función \( f \) es simétrica respecto al origen de coordenadas y conociendo su gráfica para \( x > 0 \) como la de la figura, completa la gráfica de \( f \) para el semieje negativo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la propiedad de las funciones simétricas respecto al origen (funciones impares). A continuación analizaremos la gráfica dada para x >
0. Para terminar aplicaremos la simetría para obtener la gráfica en el semieje negativo y la representaremos.
Sean \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) las funciones definidas mediante \( f(x)=x^3+3x^2 \) y \( g(x)=x+3 \). Esboza las gráficas de \( f \) y de \( g \) calculando sus puntos de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular los puntos de corte entre ambas funciones igualando sus expresiones. A continuación analizaremos el comportamiento de la función cúbica \( f \) mediante su derivada para encontrar extremos e inflexión. Para terminar describiremos la recta \( g \) y esbozaremos ambas gráficas indicando los puntos característicos. Explicación: Para resolver este apartado empezaremos por hallar los puntos de corte resolviendo la ecuación \( f(x)=g(x) \) A continuación calcularemos los puntos característicos de la función \( f \): raíces, extremos e inflexión. Para terminar describiremos la recta \( g \) y esbozaremos ambas gráficas.
Considera las funciones \( f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definidas por \( f(x)=e^{x-1}\) y \( g(x)=e^{1-x}\). Esboza las gráficas de \( f \) y de \( g \) y determina su punto de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el dominio, el comportamiento asintótico y la monotonía de ambas funciones. A continuación igualaremos las dos funciones para hallar su punto de corte. Para terminar describiremos el esbozo de las gráficas e mostraremos la etiqueta de visualización.
Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por analizar el dominio, la simetría y los puntos de corte con los ejes. A continuación estudiaremos los límites en el infinito para determinar asíntotas horizontales. Luego calcularemos la primera derivada para hallar extremos relativos e intervalos de monotonía. Después calcularemos la segunda derivada para obtener puntos de inflexión y concavidad. Para terminar esbozaremos la gráfica resumiendo toda la información.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por: \( f(x) = \begin{cases} x|x| & \text{si } x \le 2 \\ 6 - x & \text{si } x > 2 \end{cases}\) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la expresión de la función a trozos. A continuación estudiaremos cada rama por separado, calculando puntos notables y límites. Para terminar esbozaremos la gráfica completa indicando su continuidad y comportamiento.
Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 \cdot e^{-x^2}\). Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar el dominio y la simetría de la función. A continuación calcularemos los límites en el infinito y buscaremos asíntotas. Luego estudiaremos la primera derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos relativos. Después analizaremos la segunda derivada para hallar la concavidad y puntos de inflexión. Para terminar esbozaremos la gráfica con la información obtenida.
Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x}\) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 2 \) Con los datos obtenidos de sus asíntotas y monotonía, esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de la función. A continuación calcularemos las asíntotas verticales y horizontales. Luego estudiaremos la monotonía mediante la derivada. Para terminar esbozaremos la gráfica basándonos en los datos obtenidos.
Sea \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función dada por \( g(x) = \frac{1}{4}x^3 - x^2 + x \) Esboza la gráfica de \( g \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el dominio y los puntos de corte con los ejes. A continuación obtendremos la primera y segunda derivada para estudiar el crecimiento, extremos, concavidad y puntos de inflexión. Para terminar analizaremos el comportamiento en el infinito y esbozaremos la gráfica.
Sean \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 - 1 \) y \( g(x) = 2x + 2 \) Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la función cuadrática f. A continuación analizaremos la función lineal g. Para terminar esbozaremos ambas gráficas indicando sus puntos característicos.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x|x - 1|\)
Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por reescribir la función como una función a trozos eliminando el valor absoluto. A continuación calcularemos los interceptos, los puntos críticos y el comportamiento en el infinito. Para terminar esbozaremos la gráfica combinando las dos ramas parabólicas.
Sean \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) las funciones definidas por \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) y \( g(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1 \) Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \) y halla su punto de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar las funciones f y g para esbozar sus gráficas. A continuación hallaremos el punto de corte igualando ambas funciones. Para terminar representaremos las gráficas mediante la etiqueta correspondiente.
Sea la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por f(x) = \(\begin{cases}\frac{1}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 3x - 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}. Esboza \) la gráfica de f.
Para resolver este apartado empezaremos por analizar la rama para x menor que cero. A continuación estudiaremos la rama para x mayor o igual que cero. Para terminar examinaremos la continuidad en el punto de unión y esbozaremos la gráfica completa.
Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x + e^{-x}\). Esboza la gráfica de f.
Para resolver este ejercicio empezaremos por estudiar el dominio, la simetría y los puntos de corte con los ejes. A continuación analizaremos las asíntotas calculando los límites en el infinito. Después estudiaremos la monotonía y la curvatura a partir de las derivadas primera y segunda. Para terminar reuniremos toda la información para esbozar la gráfica.
Sea f la función definida para \( x \neq 0 \) por \( f(x) =\frac{x^2+1}{x}\). Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por simplificar la expresión algebraica y determinar el dominio. A continuación estudiaremos las asíntotas verticales y oblicuas. Luego calcularemos la primera derivada para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Después obtendremos la segunda derivada para analizar la concavidad. Para terminar representaremos los elementos característicos y esbozaremos la gráfica.
Sean \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) y \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) las funciones definidas por: \( f(x) = 4 - 3|x|\) y \( g(x) = x^2 \). Esboza las gráficas de \( f \) y \( g \). Determina sus puntos de corte.
Para resolver este ejercicio empezaremos por analizar la función valor absoluto y la función cuadrática para esbozar sus gráficas. A continuación igualaremos ambas expresiones para hallar los puntos de corte, resolviendo las ecuaciones resultantes según el signo de la variable. Para terminar presentaremos las coordenadas de los puntos de intersección.
Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x) = \frac{x^2}{x+2}\)
a) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de \( f \)
c) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por buscar las asíntotas verticales estudiando los límites laterales en el punto que no pertenece al dominio. A continuación calcularemos la asíntota oblicua realizando la división polinómica o calculando los límites correspondientes. Para terminar escribiremos las ecuaciones de las asíntotas.
Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{9x-3}{x^2-2x}\) para \( x \neq 0 \) y \( x \neq 2 \)
a) Calcula las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \)
c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por identificar el dominio de la función para localizar los candidatos a asíntotas verticales. A continuación calcularemos los límites laterales en los puntos no pertenecientes al dominio para confirmar las asíntotas verticales. Para terminar calcularemos los límites en más y menos infinito para determinar la asíntota horizontal u oblicua.
Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\)
a) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los extremos relativos de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica.
c) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por estudiar la existencia de asíntotas verticales analizando la continuidad de la función. A continuación calcularemos los límites en más infinito y menos infinito para buscar asíntotas horizontales u oblicuas. Para terminar concluiremos cuáles son las asíntotas.
Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}\)
a) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \) y calcula sus extremos relativos (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
c) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por estudiar los límites en el infinito para buscar asíntotas horizontales. A continuación comprobaremos si existen asíntotas verticales u oblicuas. Para terminar concluiremos las asíntotas de la función.
Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \( f(x) = x^2 e^{-x^2}\)
Apartado a: Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
Apartado b: Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Apartado c: Esboza la gráfica de f.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular los límites de la función cuando x tiende a más y menos infinito para buscar asíntotas horizontales. A continuación verificaremos la inexistencia de asíntotas verticales u oblicuas. Para terminar concluiremos las asíntotas de la gráfica.
En una habitación se ha dejado una bebida caliente, su temperatura \( T(t) \) en grados Celsius se puede modelar por la función \( T(t) = \frac{90 + 20t}{t + 1}\) donde \( t \ge 0 \) representa el tiempo en segundos.
En relación a la función \( T(t) \) indica su dominio, intervalos de crecimiento e intervalos de concavidad, posibles extremos y posibles asíntotas. Esboza la gráfica de dicha función.
Para resolver este ejercicio empezaremos por determinar el dominio de la función. A continuación calcularemos la primera derivada para estudiar los intervalos de crecimiento y los posibles extremos. Luego calcularemos la segunda derivada para analizar la concavidad. Después buscaremos las asíntotas verticales y horizontales. Para terminar esbozaremos la gráfica de la función.
a) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de \( f \)
b) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función \( f \)
c) Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) la función definida por \( f(x) = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}\) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por estudiar el dominio de la función para descartar asíntotas verticales. A continuación calcularemos los límites en el infinito para determinar las asíntotas horizontales u oblicuas. Para terminar concluiremos las asíntotas existentes.
a) Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Halla, si existen, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f.
b) Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f.
c) Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f.
d) Sea \( f(x) = \frac{x^4 + 3}{x}\) para \( x \neq 0 \) Esboza la gráfica de f.
Para resolver este apartado empezaremos por determinar el dominio de la función. A continuación buscaremos los puntos de corte con los ejes coordenados. Para terminar estudiaremos las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.
Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Determina los extremos relativos de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica.
Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por: \( f(x) = (x+3) \cdot e^{-x}\) Esboza la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular los límites de la función cuando x tiende a más infinito y a menos infinito para buscar asíntotas horizontales. A continuación estudiaremos la existencia de asíntotas verticales u oblicuas. Para terminar concluiremos cuáles son las asíntotas.
a) Sea f la función definida para \( x \neq 1 \) por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) Halla las asíntotas de la gráfica de f.
b) Sea f la función definida para \( x \neq 1 \) por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
c) Sea f la función definida para \( x \neq 1 \) por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f.
d) Sea f la función definida para \( x \neq 1 \) por \( f(x) = \frac{e^x}{x-1}\) Esboza la gráfica de f.
Para resolver este apartado empezaremos por determinar el dominio de la función y buscar asíntotas verticales estudiando los límites laterales en el punto excluido. A continuación calcularemos los límites en el infinito para hallar asíntotas horizontales u oblicuas. Para terminar escribiremos las ecuaciones de las asíntotas encontradas.
Apartado a: Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Halla las asíntotas de la gráfica de \( f \)
Apartado b: Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de \( f \)
Apartado c: Sea \( f \) la función definida para \( x \neq -2 \) por \( f(x)=\frac{x^2}{x+2}\) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de \( f \)
Para resolver este apartado empezaremos por determinar el dominio de la función y buscar asíntotas verticales mediante los límites laterales. A continuación calcularemos la asíntota oblicua realizando la división polinómica y los límites en el infinito. Para terminar enunciaremos las ecuaciones de las asíntotas.
