Representad gráficamente cómo varía la energía de un fotón en función de \(\nu \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la relación teórica entre la energía del fotón y la frecuencia. A continuación analizaremos el tipo de función matemática que resulta. Para terminar describiremos la forma de su gráfica.
Representad gráficamente cómo varía la energía de un fotón en función de \(\lambda \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la relación teórica entre la energía del fotón y la longitud de onda. A continuación analizaremos el tipo de función matemática que resulta. Para terminar describiremos la forma de su gráfica.
Representad gráficamente cómo varía la energía de un fotón en función de \( 1/\lambda \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la relación teórica entre la energía del fotón y el inverso de la longitud de onda. A continuación analizaremos el tipo de función matemática que resulta. Para terminar describiremos la forma de su gráfica.
Representad gráficamente cómo varía la energía de un fotón en función de su velocidad.
Para resolver este apartado empezaremos por recordar qué valor toma la velocidad de un fotón según la teoría electromagnética. A continuación analizaremos si la energía depende de dicha velocidad. Para terminar describiremos la forma de su gráfica.
Los rayos X emitidos por el \(\text{Cu} \) tienen una longitud de onda de \( 1, 58 \cdot 10^{-8} \text{ cm} \) Calculad la frecuencia, el número de ondas y la energía de esta radiación.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la frecuencia a partir de la relación entre la velocidad de la luz y la longitud de onda. A continuación obtendremos el número de ondas como el inverso de la longitud de onda. Para terminar calcularemos la energía del fotón mediante la ecuación de Planck.
Un electrón es sometido a una diferencia de potencial de \( 50000 \text{ V} \) Calculad la longitud de onda de la radiación monocromática que se originaría si toda la energía cinética del electrón se irradiara en forma de fotón al chocar con un anticátodo.
Para resolver este apartado empezaremos por igualar la energía cinética del electrón a la energía del fotón emitido. A continuación escribiremos la energía del fotón en función de su longitud de onda. Para terminar despejaremos y calcularemos la longitud de onda.
Una luz monocromática de \(\lambda = 450 \text{ nm} \) arranca electrones de la superficie pulida de un metal con una energía cinética de \( 7, 63 \cdot 10^{-20} \text{ J} \) ¿Cuál es el valor máximo de la longitud de onda de una radiación capaz de producir efecto fotoeléctrico en este metal?
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la energía del fotón incidente mediante la ecuación de Planck. A continuación obtendremos la función trabajo del metal restando la energía cinética de los electrones. Para terminar calcularemos la longitud de onda máxima a partir de la función trabajo.
Cuando una luz de \(\lambda = 2, 54 \cdot 10^{-5} \text{ cm} \) incide sobre una superficie pulida de Cu hay que aplicar un potencial de \( 0, 59 \text{ V} \) para detener la emisión de electrones. ¿Cuál es la longitud de onda umbral para el Cu?
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la energía cinética máxima de los electrones a partir del potencial de frenado. A continuación obtendremos la función trabajo del cobre con la ecuación fotoeléctrica de Einstein. Para terminar calcularemos la longitud de onda umbral correspondiente a esa función trabajo.
Se quiere determinar la posición de un electrón con velocidad de \( 1 \cdot 10^6 \text{ m/s} \) mediante un haz de luz verde de frecuencia \( 6 \cdot 10^{14} \text{ s}^{-1} \) Comparad la energía relativa de un fotón de esta luz con la energía del electrón que se pretende localizar.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la energía de un fotón de la luz verde mediante la ecuación de Planck. A continuación calcularemos la energía cinética del electrón. Para terminar compararemos ambas energías y extraeremos la conclusión física.
Determinad la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve con una velocidad de \( 7, 00 \cdot 10^5 \text{ m/s} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la hipótesis de De Broglie sobre la dualidad onda-corpúsculo. A continuación escribiremos la expresión de la longitud de onda asociada a una partícula material. Para terminar sustituiremos los datos del electrón y calcularemos la longitud de onda.
Un electrón se mueve con una velocidad de \( 1, 0 \cdot 10^6 \text{ m/s} \) Si se determina su posición con una incertidumbre de \( 0, 001 \text{ nm} \) es decir, del orden de un \( 1\% \) de un radio atómico típico, ¿cuál sería la incertidumbre de su cantidad de movimiento? Comparad esta incertidumbre con la cantidad de movimiento del electrón.
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la cantidad de movimiento del electrón a partir de su masa y su velocidad. A continuación aplicaremos el principio de incertidumbre de Heisenberg para obtener la incertidumbre en la cantidad de movimiento. Para terminar compararemos ambos valores.
Una pelota de béisbol de \( 200 \text{ g} \) se mueve a una velocidad de \( 100 \text{ km/h} \) Si se puede determinar su posición con un error del orden de la longitud de onda de la luz utilizada, \( 5000 \text{\AA} \) ¿cuál será la incertidumbre en la medida de la cantidad de movimiento de la pelota?
Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la cantidad de movimiento de la pelota convirtiendo las unidades al sistema internacional. A continuación aplicaremos el principio de incertidumbre de Heisenberg con la incertidumbre de posición dada. Para terminar compararemos la incertidumbre obtenida con el valor de la cantidad de movimiento.
Calculad el valor propio que corresponde a las funciones propias de los operadores que se indican: \(\hat{O}_1 = \frac{d^2}{dx^2} \) \(\psi_1 = 5\cos 4x \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la ecuación de valores propios. A continuación derivaremos dos veces la función dada. Para terminar compararemos el resultado con la función original para leer el valor propio.
Calculad el valor propio que corresponde a las funciones propias de los operadores que se indican: \(\hat{O}_2 = \frac{d}{dx} \) \(\psi_2 = 2e^{kx} \)
Para resolver este apartado empezaremos por aplicar el operador derivada a la función exponencial. A continuación simplificaremos el resultado con la regla de la cadena. Para terminar leeremos el valor propio por comparación directa.
¿Es la función \(\operatorname{sen} x \) función propia del operador \(\hat{O} = \frac{d}{dx} \)
Para resolver este apartado empezaremos por aplicar el operador derivada a la función seno. A continuación comprobaremos si el resultado es un múltiplo constante de la función original. Para terminar concluiremos si es o no función propia.
¿Es la función \(\operatorname{sen} x \) función propia del operador \(\hat{O}^2 = \frac{d^2}{dx^2} \)
Para resolver este apartado empezaremos por aplicar dos veces el operador derivada. A continuación simplificaremos el resultado. Para terminar identificaremos el valor propio por comparación.
Demostrad que \( e^{ax} \) es función propia del operador \(\hat{O} = \frac{d}{dx} \) e indicad el valor propio.
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar el operador a la función exponencial. A continuación simplificaremos el resultado usando la regla de la cadena. Para terminar identificaremos el valor propio por comparación.
Comprobad que la función de onda que describe una partícula en un pozo de potencial unidimensional es función propia del operador de la energía (hamiltoniano). ¿Cuál es el valor propio de la energía?
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir el hamiltoniano dentro del pozo y la función de onda. A continuación aplicaremos el hamiltoniano a la función. Para terminar identificaremos el valor propio de la energía por comparación.
Una partícula de masa \( m \) en un pozo de potencial unidimensional de longitud \( a \) está en un estado en el cual la probabilidad de encontrar la partícula es máxima para \( x = \frac{a}{8} \) \( x = \frac{3a}{8} \) \( x = \frac{5a}{8} \) y \( x = \frac{7a}{8} \) Escribid la función de onda de este estado.
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la densidad de probabilidad del pozo. A continuación impondremos la condición de máximo. Para terminar deduciremos el número cuántico y la función de onda.
Una partícula de masa \( m \) en un pozo de potencial unidimensional de longitud \( a \) está en un estado en el cual la probabilidad de encontrar la partícula es máxima para \( x = \frac{a}{8} \) \( x = \frac{3a}{8} \) \( x = \frac{5a}{8} \) y \( x = \frac{7a}{8} \) ¿Para qué valores de \( x \) la probabilidad es nula?
Para resolver este apartado empezaremos por imponer que la densidad de probabilidad se anule. A continuación despejaremos las posiciones. Para terminar listaremos las que caen dentro del pozo.
Una partícula de masa \( m \) en un pozo de potencial unidimensional de longitud \( a \) está en un estado en el cual la probabilidad de encontrar la partícula es máxima para \( x = \frac{a}{8} \) \( x = \frac{3a}{8} \) \( x = \frac{5a}{8} \) y \( x = \frac{7a}{8} \) ¿Cuál es la energía de este estado si la del estado fundamental es \( 2\cdot 10^{-20}\ \text{J} \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la ley de escala de la energía con el número cuántico. A continuación listaremos los datos. Para terminar sustituiremos y calcularemos.
Una partícula de masa \( m \) en un pozo de potencial unidimensional de longitud \( a \) está en un estado en el cual la probabilidad de encontrar la partícula es máxima para \( x = \frac{a}{8} \) \( x = \frac{3a}{8} \) \( x = \frac{5a}{8} \) y \( x = \frac{7a}{8} \) ¿Qué energía hace falta para excitar el sistema al nivel inmediatamente superior?
Para resolver este apartado empezaremos por identificar el nivel inmediatamente superior. A continuación restaremos ambas energías. Para terminar calcularemos el valor numérico.
Una partícula de masa \( m \) en un pozo de potencial unidimensional de longitud \( a \) está en un estado en el cual la probabilidad de encontrar la partícula es máxima para \( x = \frac{a}{8} \) \( x = \frac{3a}{8} \) \( x = \frac{5a}{8} \) y \( x = \frac{7a}{8} \) ¿A qué región del espectro pertenece la radiación capaz de producir esta excitación?
Para resolver este apartado empezaremos por relacionar la energía de la transición con la longitud de onda. A continuación sustituiremos los datos. Para terminar identificaremos la región del espectro.
Una partícula de masa \( m \) en un pozo de potencial unidimensional de longitud \( a \) está en un estado en el cual la probabilidad de encontrar la partícula es máxima para \( x = \frac{a}{8} \) \( x = \frac{3a}{8} \) \( x = \frac{5a}{8} \) y \( x = \frac{7a}{8} \) ¿Cuál sería la energía del sistema si la longitud del pozo se duplicara?
Para resolver este apartado empezaremos por recordar cómo depende la energía de la longitud del pozo. A continuación aplicaremos el cambio de longitud. Para terminar calcularemos la nueva energía.
Una partícula de masa \( m \) en un pozo de potencial unidimensional de longitud \( a \) está en un estado en el cual la probabilidad de encontrar la partícula es máxima para \( x = \frac{a}{8} \) \( x = \frac{3a}{8} \) \( x = \frac{5a}{8} \) y \( x = \frac{7a}{8} \) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la partícula entre \( 0 \) y \(\frac{a}{4} \)
Para resolver este apartado empezaremos por plantear la integral de probabilidad. A continuación haremos el cambio de variable. Para terminar evaluaremos la integral.
Un objeto macroscópico de masa \( 1\ \text{g} \) se mueve a la velocidad de \( 1\ \text{cm/s} \) en un pozo de potencial de \( 1\ \text{cm} \) de largo: Encontrad el número cuántico \( n \) correspondiente a la función de onda de este objeto.
Para resolver este apartado empezaremos por igualar la energía cinética clásica a la energía cuantizada del pozo. A continuación despejaremos el número cuántico. Para terminar sustituiremos los datos y calcularemos.
Un objeto macroscópico de masa \( 1\ \text{g} \) se mueve a la velocidad de \( 1\ \text{cm/s} \) en un pozo de potencial de \( 1\ \text{cm} \) de largo: ¿Cuántos nodos tiene su función de onda?
Para resolver este apartado empezaremos por contar los ceros interiores de la función de onda. A continuación aplicaremos el resultado al número cuántico hallado. Para terminar daremos el valor aproximado.
Un electrón se encuentra confinado en una caja unidimensional de \( 2\ \text{nm} \) de longitud. Calculad el número de niveles de energía comprendidos entre \( 1\ \text{eV} \) y \( 5\ \text{eV} \) ( \( 1\ \text{eV} = 1, 602\cdot 10^{-19}\ \text{J} \) ).
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la energía cuantizada de la partícula en la caja. A continuación calcularemos la energía del nivel fundamental con los datos. Para terminar contaremos cuántos niveles quedan entre 1 y \( 5 \text{ eV} \)
Una partícula en una caja unidimensional de longitud \( a \) está en el estado cuántico de \( n = 1 \) A partir de la función de onda correspondiente, calculad el valor medio de \( p_x \) entre \( x = 0 \) y \( x = a \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la fórmula del valor medio y la función de onda del estado fundamental. A continuación construiremos el integrando con el operador momento. Para terminar calcularemos la integral entre cero y a.
Si \(\psi \) es la función de onda normalizada de una partícula confinada en un pozo de potencial unidimensional \( 0 < x < a \) indicad, sin hacer cálculos, los valores de las siguientes expresiones: \(\int_0^a \psi^2\, dx \)
Para resolver este apartado empezaremos por recordar la condición de normalización. A continuación la aplicaremos a la integral pedida. Para terminar daremos su valor.
Si \(\psi \) es la función de onda normalizada de una partícula confinada en un pozo de potencial unidimensional \( 0 < x < a \) indicad, sin hacer cálculos, los valores de las siguientes expresiones: \(\int_{-\infty}^{\infty} \psi^2\, dx \)
Para resolver este apartado empezaremos por recordar dónde se anula la función de onda. A continuación extenderemos la integral a todo el espacio. Para terminar daremos su valor.
Si \(\psi \) es la función de onda normalizada de una partícula confinada en un pozo de potencial unidimensional \( 0 < x < a \) indicad, sin hacer cálculos, los valores de las siguientes expresiones: \(\int_0^{a/2} \psi^2\, dx \)
Para resolver este apartado empezaremos por usar la simetría de la densidad de probabilidad. A continuación repartiremos la probabilidad total entre ambas mitades. Para terminar daremos su valor.
Si \(\psi \) es la función de onda normalizada de una partícula confinada en un pozo de potencial unidimensional \( 0 < x < a \) indicad, sin hacer cálculos, los valores de las siguientes expresiones: \(\int_0^{a/4} \psi^2\, dx \)
Para resolver este apartado empezaremos por analizar la simetría en cuartos de pozo. A continuación veremos cuándo se cumple. Para terminar daremos su valor.
Si \(\psi \) es la función de onda normalizada de una partícula confinada en un pozo de potencial unidimensional \( 0 < x < a \) indicad, sin hacer cálculos, los valores de las siguientes expresiones: \(\int_{-\infty}^{a} \psi^2\, dx \)
Para resolver este apartado empezaremos por separar la integral en regiones. A continuación anularemos las contribuciones fuera del pozo. Para terminar daremos su valor.
Calculad la frecuencia de la radiación emitida cuando el ion \(\text{Mg}^+ \) recupera su electrón, si el primer potencial de ionización de este elemento es \( 1, 221 \cdot 10^{-18} \text{ J/átomo} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por relacionar la energía de ionización con la energía del fotón emitido en la recombinación. A continuación escribiremos la energía del fotón según la ecuación de Planck. Para terminar despejaremos y calcularemos la frecuencia.
Calculad la energía liberada cuando el electrón de un átomo de hidrógeno cae del quinto nivel de energía hasta el segundo.
Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la expresión de Bohr para la diferencia de energía entre dos niveles del átomo de hidrógeno. A continuación identificaremos los niveles inicial y final de la transición y calcularemos la energía en electronvoltios. Para terminar convertiremos el resultado a julios.
Calculad la energía, en eV, liberada en la transición del electrón de un átomo de hidrógeno desde el nivel \( n = 3 \) al nivel \( n = 1 \)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la expresión de Bohr para la diferencia de energía entre dos niveles. A continuación identificaremos los niveles inicial y final de la transición. Para terminar sustituiremos los valores y calcularemos la energía en electronvoltios.
Calculad la longitud de onda de la radiación emitida en esta transición.
Para resolver este apartado empezaremos por igualar la energía de la transición a la energía del fotón emitido. A continuación expresaremos la energía del fotón en función de su longitud de onda. Para terminar despejaremos y calcularemos la longitud de onda.
Calculad las longitudes de onda de todas las series espectrales que se podrían observar después de excitar átomos de hidrógeno con una energía de \( 12, 1 \text{ eV} \) ¿A qué región del espectro pertenecen cada una de estas radiaciones?
Para resolver este apartado empezaremos por determinar hasta qué nivel puede excitarse el electrón con la energía disponible. A continuación enumeraremos todas las transiciones descendentes posibles desde ese nivel. Para terminar calcularemos la longitud de onda de cada transición y la clasificaremos por región espectral.
La línea de longitud de onda más grande de una de las series espectrales del átomo de hidrógeno es de \( 6563 \text{\AA} \) Determinad de qué serie se trata.
Para resolver este ejercicio empezaremos por convertir la longitud de onda a nanómetros para identificar la región espectral. A continuación recordaremos que la línea de mayor longitud de onda de cada serie corresponde a la transición de menor energía. Para terminar compararemos con las líneas características de las series del hidrógeno.
Según el modelo de Bohr, ¿cuál es la velocidad de un electrón que se encuentra en el tercer nivel energético del átomo de hidrógeno?
Para resolver este ejercicio empezaremos por plantear las dos condiciones del modelo de Bohr: la igualdad entre la fuerza centrípeta y la atracción coulombiana, y la cuantización del momento angular. A continuación combinaremos ambas condiciones para despejar la velocidad en función del número cuántico. Para terminar sustituiremos los valores correspondientes al tercer nivel.
Calculad la energía de ionización del átomo de hidrógeno: En su estado fundamental.
Para resolver este apartado empezaremos por recordar que la energía de ionización es la energía necesaria para llevar el electrón hasta el infinito. A continuación aplicaremos la expresión de Bohr para la energía del nivel fundamental. Para terminar expresaremos el resultado en electronvoltios.
Calculad la energía de ionización del átomo de hidrógeno: Cuando el electrón está excitado al nivel \( n = 2 \)
Para resolver este apartado empezaremos por aplicar la fórmula general de la energía de ionización al nivel excitado. A continuación identificaremos el número cuántico correspondiente. Para terminar sustituiremos y calcularemos el resultado.
Calculad el valor propio que corresponde a las funciones propias de los operadores que se indican: \(\hat{O}_3 = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \) \(\psi_3 = \operatorname{sen} kx \operatorname{sen} ly \operatorname{sen} mz \)
Para resolver este apartado empezaremos por calcular cada derivada parcial segunda. A continuación sumaremos las tres contribuciones. Para terminar identificaremos el valor propio por comparación.
Calculad el valor propio que corresponde a las funciones propias de los operadores que se indican: \(\hat{O}_4 = -\frac{d^2}{dx^2} + x^2 \) \(\psi_4 = x e^{-x^2/2} \)
Para resolver este apartado empezaremos por aplicar el operador a la función. A continuación calcularemos sus derivadas primera y segunda con la regla del producto. Para terminar combinaremos los términos y leeremos el valor propio.
La función de onda y la energía de una partícula en un pozo de potencial bidimensional cuadrado vienen dadas por las expresiones: \(\psi(x, y) = \frac{2}{a}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi n_x x}{a}\right)\operatorname{sen}\left(\frac{\pi n_y y}{a}\right) \) y \( E = \frac{h^2}{8ma^2}(n_x^2+n_y^2) \) Comprobad que \(\psi \) es función propia del operador laplaciano: \(\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \)
Para resolver este apartado empezaremos por derivar dos veces parcialmente respecto de cada variable. A continuación sumaremos ambas derivadas parciales segundas. Para terminar comprobaremos que el resultado es proporcional a la función original.
La función de onda y la energía de una partícula en un pozo de potencial bidimensional cuadrado vienen dadas por las expresiones: \(\psi(x, y) = \frac{2}{a}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi n_x x}{a}\right)\operatorname{sen}\left(\frac{\pi n_y y}{a}\right) \) y \( E = \frac{h^2}{8ma^2}(n_x^2+n_y^2) \) ¿Cuál es su valor propio?
Para resolver este apartado empezaremos por escribir el resultado de aplicar el laplaciano a la función. A continuación lo compararemos con la ecuación de valores propios. Para terminar escribiremos el valor propio.
La función de onda y la energía de una partícula en un pozo de potencial bidimensional cuadrado vienen dadas por las expresiones: \(\psi(x, y) = \frac{2}{a}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi n_x x}{a}\right)\operatorname{sen}\left(\frac{\pi n_y y}{a}\right) \) y \( E = \frac{h^2}{8ma^2}(n_x^2+n_y^2) \) Calculad la velocidad de la partícula en su estado fundamental.
Para resolver este apartado empezaremos por hallar la energía del estado fundamental. A continuación la igualaremos a la energía cinética clásica. Para terminar despejaremos la velocidad.
Un electrón es sometido a una diferencia de potencial de \( 50000 \text{ V} \) Calculad la velocidad que alcanzará el electrón.
Para resolver este apartado empezaremos por calcular la energía cinética adquirida por el electrón a partir del trabajo eléctrico. A continuación relacionaremos esa energía con la velocidad mediante la expresión clásica de la energía cinética. Para terminar despejaremos y calcularemos la velocidad.