Ejercicios · Bloque 5: Modelos de probabilidad

Supón que vas a jugar un juego de dados cuyo resultado solo depende de la suma obtenida al lanzar dos dados.
Tu rival insiste en jugar con unos dados que tienen los puntos sobre las caras según se indica en la figura: el primer dado tiene las caras 1, 2, 2, 3, 3 y 4, y el segundo dado tiene las caras 1, 3, 4, 5, 6 y

8.
Su argumento es que la distribución de probabilidad de la suma con estos dados es la misma que si se usaran unos dados corrientes, y que con estos dados no se corre el riesgo de que alguien subrepticiamente los cambie por dados desbalanceados.
¿Tiene razón?
Verifica matemáticamente que la suma obtenida con estos dados tiene la misma distribución de probabilidad que la suma obtenida con dos dados corrientes.

Supongamos que el número de individuos que llegan a la cola del cine, por unidad de tiempo, se distribuye según una distribución de Poisson de media \( 5, 2 \)
Calcula la probabilidad de que lleguen más de cinco individuos en una unidad de tiempo.

Supongamos que el número de individuos que llegan a la cola del cine, por unidad de tiempo, se distribuye según una distribución de Poisson de media \( 5, 2 \)
Calcula la probabilidad de que el número de individuos que llegan a la cola del cine en una unidad de tiempo esté comprendido entre dos y ocho, ambos inclusive.

Una central telefónica recibe un promedio de 60 llamadas por hora.
Calcula la probabilidad de que, durante los 30 segundos que falta la telefonista, no haya llamadas telefónicas.

En una determinada zona geográfica se pretende introducir un nuevo producto del que es razonable esperar sea demandado por el \( 40\% \) de los habitantes de dicha zona.
Determina la probabilidad de que, consultados 10 de estos habitantes tomados al azar, dicho producto sea demandado por tres o más de ellos.

En una determinada zona geográfica se pretende introducir un nuevo producto del que es razonable esperar sea demandado por el \( 40\% \) de los habitantes de dicha zona.
Determina la probabilidad de que, consultados 10 de estos habitantes tomados al azar, dicho producto sea demandado por cinco o más de ellos.

En una máquina calculadora electrónica se sabe que fallan de media dos transistores en una hora.
Los fallos de los transistores siguen una distribución de Poisson.
La máquina de calcular no funciona cuando se le estropean dos o más transistores.
¿Qué probabilidad tiene una operación de tres horas de ser llevada a cabo?

Las erratas de impresión de una página de cierta edición siguen una distribución de Poisson, y hay dos erratas de media por página.
En una revista de 20 páginas, calcula la probabilidad de que en una o más páginas se encuentren más de 5 erratas.

Supongamos que lanzamos al aire una moneda mal construida, de modo que la probabilidad de obtener cara es \( \frac{1}{3} \)
Calcula la probabilidad de obtener 5 cruces antes de la primera cara.

Supongamos que lanzamos al aire una moneda mal construida, de modo que la probabilidad de obtener cara es \( \frac{1}{3} \)
Calcula la probabilidad de que el número de cruces antes de la primera cara sea menor que siete, sabiendo que dicho número es mayor que dos.

Calcula la probabilidad de que una mujer tenga cuatro hijos antes de tener una hija, suponiendo que los nacimientos no son múltiples, que hay independencia y que la probabilidad de que nazca niña es de \( 0, 51 \) en cada nacimiento.

Se lanza al azar un dado no trucado tantas veces como sea necesario para obtener un

6.
Dado que no sale en la primera tirada, ¿cuál es la probabilidad de que sean necesarias más de 4 tiradas?

Una empresa de gestión de cobros por teléfono llama repetidas veces a clientes morosos hasta lograr contactar con el acreedor.
Un estudio indica que el número de llamadas realizadas hasta contactar con el acreedor por primera vez es una variable aleatoria con esperanza
6.
Determina qué modelo probabilístico es el más adecuado para modelizar dicha variable aleatoria e identifica los parámetros del modelo si los hubiese.

Una empresa de gestión de cobros por teléfono llama repetidas veces a clientes morosos hasta lograr contactar con el acreedor.
Un estudio indica que el número de llamadas realizadas hasta contactar con el acreedor por primera vez es una variable aleatoria con esperanza
6.
Se considera que un acreedor es de dudoso cobro si tras cinco llamadas ha sido imposible hablar con él.
Calcula la probabilidad de que un acreedor sea de dudoso cobro.

Una empresa de gestión de cobros por teléfono llama repetidas veces a clientes morosos hasta lograr contactar con el acreedor.
Un estudio indica que el número de llamadas realizadas hasta contactar con el acreedor por primera vez es una variable aleatoria con esperanza
6.
Se considera que un acreedor es de dudoso cobro si tras cinco llamadas ha sido imposible hablar con él.
A un agente de la empresa se le ha proporcionado una cartera con 12 clientes que no guardan relación entre ellos.
Calcula la probabilidad de que 4 de ellos sean de dudoso cobro.

Una empresa de gestión de cobros por teléfono llama repetidas veces a clientes morosos hasta lograr contactar con el acreedor.
Si consideramos que el montante de la deuda es una variable normal de media 1500 euros, y sabemos que el 97, 5% de los acreedores no superan los 1700 euros, calcula la varianza de esa variable.

Consideremos una urna con 8 bolas, de las cuales dos son blancas y el resto negras.
Extraemos al azar 5 bolas sin reemplazamiento.
¿Cuál es la probabilidad de que el número de bolas negras sea menor o igual a 3?

Una caja de 20 bombillas es sometida a un control de calidad.
La caja entera es rechazada si hay al menos una bombilla defectuosa en un lote de cinco elegidas aleatoriamente.
¿Cuál es la probabilidad de que una caja sea rechazada, si contiene el \( 5\% \) de las bombillas defectuosas?

Se arroja al azar una moneda no trucada al aire tantas veces como sea necesario para obtener 5 caras.
Calcula la probabilidad de que haya que lanzar la moneda 12 veces.

Se arroja al azar una moneda no trucada al aire tantas veces como sea necesario para obtener 5 caras.
Calcula la probabilidad de lanzarla al menos 9 veces.

Un mayorista vende sus productos a 10 almacenes diferentes.
Cada uno de ellos puede enviar una orden de pedido para el próximo día con probabilidad \( 0, 4 \) independientemente de las órdenes de los otros almacenistas.
Calcula el número medio de órdenes de pedido.

Un mayorista vende sus productos a 10 almacenes diferentes.
Cada uno de ellos puede enviar una orden de pedido para el próximo día con probabilidad \( 0, 4 \) independientemente de las órdenes de los otros almacenistas.
Calcula la probabilidad del número medio de órdenes.

El departamento de control de deudas de una empresa tiene estimado que, cuando le llega una deuda, la probabilidad de que su importe sea igual o superior a 150 euros es de 0, 23, la probabilidad de que su importe esté entre 50 y 150 euros es de 0, 59 y la probabilidad de que sea menor que 50 euros es de 0,
1
8.
Si se toma una muestra aleatoria de 20 deudores, calcula la probabilidad de observar 7 deudores con deuda mayor o igual que 150 euros, 8 deudores con deuda entre 50 y 150 euros y el resto con deudas inferiores a 50 euros.

El departamento de control de deudas de una empresa tiene estimado que, cuando le llega una deuda, la probabilidad de que su importe sea igual o superior a 150 euros es de 0, 23, la probabilidad de que su importe esté entre 50 y 150 euros es de 0, 59 y la probabilidad de que sea menor que 50 euros es de 0,
1
8.
Si se toma una muestra aleatoria de 20 deudores, calcula la probabilidad de que el número de deudores con deuda superior a 50 euros sea superior a 15.

El tiempo de funcionamiento (medido en horas y sus fracciones) sin fallo de un cierto aparato está distribuido según un modelo Exponencial de parámetro \( \lambda = 0, 01 \)
Halla la probabilidad de que el aparato funcione sin fallos más de 100 horas y el tiempo esperado de funcionamiento.

La cantidad aleatoria demandada durante un cierto tiempo por una empresa textil está acotada entre el valor nulo y una tonelada (1000 kilos), y la probabilidad de que sea menor o igual que una determinada cantidad es proporcional a dicha cantidad.
Determina la probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kilos.

La cantidad aleatoria demandada durante un cierto tiempo por una empresa textil está acotada entre el valor nulo y una tonelada (1000 kilos), y la probabilidad de que sea menor o igual que una determinada cantidad es proporcional a dicha cantidad.
Determina la probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900 kilos.

La cantidad aleatoria demandada durante un cierto tiempo por una empresa textil está acotada entre el valor nulo y una tonelada (1000 kilos), y la probabilidad de que sea menor o igual que una determinada cantidad es proporcional a dicha cantidad.
Determina la demanda media.

La cantidad aleatoria demandada durante un cierto tiempo por una empresa textil está acotada entre el valor nulo y una tonelada (1000 kilos), y la probabilidad de que sea menor o igual que una determinada cantidad es proporcional a dicha cantidad.
Determina la probabilidad de que la demanda coincida con la demanda media.

Una variable aleatoria \( X \) tiene una distribución Uniforme en el intervalo \( (0, 1) \)
Determina un valor \( A \) tal que, tomando al azar 4 valores de \( X \) la probabilidad de que al menos uno de los 4 valores sea superior a \( A \) resulte ser de \( 0, 95 \)

El tiempo (en miles de horas) que funciona una máquina se distribuye según un modelo Exponencial de parámetro \( 0, 5 \)
Calcula la probabilidad de que la máquina funcione al menos 1000 horas.

El tiempo (en miles de horas) que funciona una máquina se distribuye según un modelo Exponencial de parámetro \( 0, 5 \)
Calcula la probabilidad de que la máquina funcione entre 1500 y 3000 horas.

El tiempo (en miles de horas) que funciona una máquina se distribuye según un modelo Exponencial de parámetro \( 0, 5 \)
Calcula el tiempo esperado de funcionamiento.

El tiempo (en miles de horas) que funciona una máquina se distribuye según un modelo Exponencial de parámetro \( 0, 5 \)
Si la máquina lleva funcionando 1500 horas, calcula la probabilidad de que funcione menos de 3000 horas.

Una empresa dedicada a la selección de personal convoca una plaza de director.
Se presentan 90 personas, a las que se les aplica un test, agrupando los resultados en una escala que va del cero al diez.
La probabilidad de que un presentado cualquiera alcance una puntuación superior a 8 es de 0,
1
5.
Suponiendo que las puntuaciones siguen una distribución Normal de media 5, 5, calcula cuántos individuos se espera que obtengan más de 9, 5 puntos.

En una fábrica de bebidas carbónicas, la embotelladora automática llena las botellas (en litros) según una distribución Normal \( (1, 05; 0, 025^2) \)
Las botellas se consideran aceptables si contienen al menos un litro.
Calcula la probabilidad de que una botella sea defectuosa, la probabilidad de que en una caja de doce unidades tomada al azar haya al menos una botella defectuosa, y la probabilidad de rechazar una caja en el control de calidad (se extrae una muestra de cuatro botellas y la caja se rechaza si se encuentra al menos una defectuosa) sabiendo que la caja contiene tres botellas defectuosas.

Desde que se realiza un pedido, el tiempo de llegada (en días) se puede considerar distribuido según un modelo exponencial de parámetro 0,
1.
Calcula la probabilidad de que un pedido elegido al azar tarde más de 5 días y 8 horas.

Desde que se realiza un pedido, el tiempo de llegada (en días) se puede considerar distribuido según un modelo exponencial de parámetro 0,
1.
Si tres días después de realizar un pedido, éste no ha sido recibido, halla la probabilidad de que el pedido tarde más de 8 días y 8 horas.

Desde que se realiza un pedido, el tiempo de llegada (en días) se puede considerar distribuido según un modelo exponencial de parámetro 0,
1.
El gerente de la empresa decide que si entre los próximos 10 pedidos hay más de 8 que tardan más de 5 días y 8 horas, entonces considerará que la empresa distribuidora es informal.
Calcula la probabilidad de que la distribuidora sea informal.

Desde que se realiza un pedido, el tiempo de llegada (en días) se puede considerar distribuido según un modelo exponencial de parámetro 0,
1.
El gerente de la empresa decide que si entre los próximos 10 pedidos hay más de 8 que tardan más de 5 días y 8 horas, entonces considerará que la empresa distribuidora es informal.
Sabiendo que ciertamente la empresa distribuidora es informal, calcula la probabilidad de que exactamente los 10 pedidos tarden más de 5 días y 8 horas.

Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente cuatro artículos que ofrece a los precios \( p_1 \) \( p_2 \) \( p_3 \) y \( p_4 \) de forma que el 40% de las unidades vendidas lo son al precio \( p_1 \) el 30% lo son al precio \( p_2 \) el 10% lo son al precio \( p_3 \) y el resto al precio \( p_4 \)
Si un día determinado se venden 8 unidades, determina la probabilidad de que una unidad sea del artículo de precio \( p_1 \) dos del precio \( p_2 \) dos del precio \( p_3 \) y tres del precio \( p_4 \)

Un establecimiento comercial dispone a la venta diariamente cuatro artículos que ofrece a los precios \( p_1 \) \( p_2 \) \( p_3 \) y \( p_4 \) de forma que el 40% de las unidades vendidas lo son al precio \( p_1 \) el 30% lo son al precio \( p_2 \) el 10% lo son al precio \( p_3 \) y el resto al precio \( p_4 \)
Si un día determinado se venden 8 unidades, determina la probabilidad de que tres unidades sean del precio \( p_2 \)

Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan los cinco individuos.

Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan al menos tres individuos.

Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, vivan sólo dos individuos.

Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad tomado al azar viva 30 años más es de \( \frac{3}{5} \)
Calcula la probabilidad de que, dentro de 30 años, viva al menos un individuo.

En un taller hay 10 máquinas iguales.
Se ha visto que una máquina tomada al azar está averiada un día de cada cinco.
Calcula la probabilidad de que en un día haya más de 4 máquinas averiadas.

Se sabe que la probabilidad de que un dardo impacte en una diana es 0,
4. Si se lanzan 9 dardos, determina qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de dardos que dan en la diana.

En un laboratorio de análisis clínicos, el 5% de las muestras que llegan no cumplen las condiciones requeridas para obtener resultados concluyentes en el análisis. Si se eligen 5 muestras, calcula la probabilidad de que de todas las muestras se puedan obtener resultados concluyentes.

En un laboratorio de análisis clínicos, el 5% de las muestras que llegan no cumplen las condiciones requeridas para obtener resultados concluyentes en el análisis. Si se eligen 5 muestras, calcula la media y la desviación típica de la distribución.

En un centro de fertilidad, cada intento de inseminación in vitro para cualquier pareja tiene un porcentaje de éxito del 30 %. Esta semana han acudido 10 parejas para realizar el tratamiento. Nos preguntamos por el número de ellas que consiguen tener hijos. ¿De qué tipo de distribución se trata? Calcular su media y su desviación.

En un centro de fertilidad, cada intento de inseminación in vitro para cualquier pareja tiene un porcentaje de éxito del 30 %. Esta semana han acudido 10 parejas para realizar el tratamiento. Nos preguntamos por el número de ellas que consiguen tener hijos. ¿Qué probabilidad hay de que ninguna pareja conciba? ¿y de que alguna conciba?

La variedad de naranjas Navel se suele dedicar a naranja de mesa por su tamaño y aspecto. Pero aquellas que no cumplen con los estándares de calidad exigidos, son utilizadas para hacer zumo. En una finca, una de cada tres naranjas de la variedad Navel recolectadas se destina a hacer zumo. Si se elige un cargamento de 90 naranjas de esa finca, calcula la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 que se destinen a hacer zumo.

La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 6 meses es del 20 %. Si en un acuario tenemos 15 peces de esta especie nacidos este mes, halla la probabilidad de que al menos 2 de ellos sigan vivos dentro de 6 meses.

La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 6 meses es del 20 %. Si en un tanque de una piscifactoría hay 300 peces de esta especie nacidos este mismo mes, halla la probabilidad de que al cabo de 6 meses hayan sobrevivido al menos 50 de ellos.

La longitud de una barra de vidrio producida en un proceso de fabricación automático puede suponerse una variable aleatoria con distribución Normal.
El comprador exige que la longitud de las barras esté comprendida entre 50 y 52 cm.
Se sabe que el 1, 5% de las barras tiene una longitud inferior a 50 cm y que el 2, 5% la tienen superior a 52 cm.
Calcula la media y la varianza de esta variable aleatoria.

Sea \( X \) una variable aleatoria con distribución Normal de media \( \mu \) y desviación típica \( \sigma \) tal que \( P(X \le 89) = 0, 9 \) y \( P(X \le 94) = 0, 95 \)
Halla los valores de la media y la desviación típica.

Una empresa dedicada a la selección de personal convoca una plaza de director.
Se presentan 90 personas, a las que se les aplica un test, agrupando los resultados en una escala que va del cero al diez.
La probabilidad de que un presentado cualquiera alcance una puntuación superior a 8 es de 0,
1
5.
Suponiendo que las puntuaciones siguen una distribución Normal de media 5, 5, calcula la desviación típica.

Una empresa dedicada a la selección de personal convoca una plaza de director.
Se presentan 90 personas, a las que se les aplica un test, agrupando los resultados en una escala que va del cero al diez.
La probabilidad de que un presentado cualquiera alcance una puntuación superior a 8 es de 0,
1
5.
Suponiendo que las puntuaciones siguen una distribución Normal de media 5, 5, calcula cuántos individuos se espera que obtengan menos de seis puntos.

Una máquina produce unas piezas cuya longitud en milímetros es una variable aleatoria que puede considerarse Normal \( (17; 2, 2^2) \)
Las piezas son consideradas defectuosas si su longitud es a lo sumo 14 mm.
Las piezas se almacenan en paquetes de 120 unidades.
Calcula la probabilidad de que un paquete contenga cuatro piezas defectuosas.

El ingreso bruto mensual (en cientos de euros) que una empresa abona a un trabajador en concepto de deshoras sigue una distribución normal de media 2 y desviación típica 0,
2
5.
Si se considera que unos ingresos en deshoras por encima de 250 euros son excesivos, calcula la probabilidad de que un trabajador elegido al azar tenga unos ingresos excesivos en deshoras.

El ingreso bruto mensual (en cientos de euros) que una empresa abona a un trabajador en concepto de deshoras sigue una distribución normal de media 2 y desviación típica 0,
2
5.
Si se considera que unos ingresos en deshoras por encima de 250 euros son excesivos y los trabajadores trabajan en grupos de 10 personas, suponiendo que los ingresos de los trabajadores son independientes entre sí, calcula la probabilidad de que en un grupo haya al menos una persona con unos ingresos excesivos.

El ingreso bruto mensual (en cientos de euros) que una empresa abona a un trabajador en concepto de deshoras sigue una distribución normal de media 2 y desviación típica 0,
2
5.
Si se considera que unos ingresos en deshoras por encima de 250 euros son excesivos, y sabiendo que en un grupo concreto hay tres personas con ingresos por deshoras excesivos, calcula la probabilidad de que al extraer una muestra de cuatro personas se encuentre al menos una con ingresos excesivos por deshoras.

La altura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media \( 175 \) cm y desviación típica \( 4 \) cm.
Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 170 cm.

La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media de \( 40 \) años.
Se sabe además que el \( 2, 28\\% \) de los habitantes de esa ciudad tiene más de 60 años.
Si la edad de la población siguiera una distribución \( N(40, 10) \), calcula el porcentaje de habitantes con menos de 35 años.

Una variable aleatoria X sigue una distribución normal con media \( 20 \) Calcula la probabilidad de que X sea mayor que \( 21, 5 \)

El peso de una población de elefantes africanos macho sigue una distribución normal de media 6 toneladas y desviación típica 1500 kg. Calcule qué porcentaje de la población pesa entre 5 y 8 toneladas.

El peso de una población de elefantes africanos macho sigue una distribución normal de media 6 toneladas y desviación típica 1500 kg. Calcule la probabilidad de que un individuo elegido al azar pese exactamente 6 toneladas.

Estudios realizados en un cierto país demuestran que el consumo de gasolina en autos compactos está normalmente distribuido, con una media de 6 litros por cada 100 km y una desviación estándar de 1, 2 litros por cada 100 km. Calcula el porcentaje de autos compactos que gasta 7 o más litros cada 100 km.

Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media \( 13 \) mm y desviación típica \( 0'1 \) mm. Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre \( 12'9 \) mm y \( 13'15 \) mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El \( 15 \) de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas cuyos diámetros siguen una distribución normal de media \( 12'9 \) mm y desviación típica \( 0'2 \) mm. ¿Cuál es la probabilidad de que el \( 15 \) de julio la máquina elabore piezas con rodamiento óptimo?

El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de media \( 200 \) gramos y desviación típica desconocida. Si la desviación típica es de \( 50 \) gramos, calcula el porcentaje de manzanas que pesan entre \( 160 \) y \( 220 \) gramos.

La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente del río Guadalete es de \( 70 \) km/h. En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una distribución normal de media \( 64 \) km/h y desviación típica \( 4 \) km/h. Si el radar de control salta a partir de \( 72 \) km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan?

Un modelo de avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía aérea a la que pertenece ha decidido vender más billetes que asientos hay en el avión. La probabilidad de que un pasajero se presente en el aeropuerto el día del vuelo es del 95 %. Si ese día la compañía ha vendido 280 billetes, ¿cuál es la probabilidad de que ese día se presenten 270 pasajeros?

Una fábrica de baterías para móviles ha detectado que una de sus máquinas produce un 10 % de baterías defectuosas. Si se han seleccionado al azar y de forma independiente 6 baterías, ¿qué es más probable que ninguna sea defectuosa o que lo sean las seis?