Ejercicios · Bloque 7: Estimación puntual y por intervalos
14 ejercicios resueltos paso a paso.
7.1 Concepto de estimador
1.
La duración aleatoria de las unidades producidas de un artículo se distribuye según una ley Normal, con desviación típica igual a \( 6 \) minutos.
Se toma aleatoriamente una muestra de \( 100 \) unidades, obteniéndose una media de \( 14, 35 \) minutos.
Construye un intervalo del \( 99\% \) de confianza para la duración media de las unidades producidas.
Se toma aleatoriamente una muestra de \( 100 \) unidades, obteniéndose una media de \( 14, 35 \) minutos.
Construye un intervalo del \( 99\% \) de confianza para la duración media de las unidades producidas.
2.
Una empresa A produce un artículo cuya demanda posee una desviación típica igual a \( 200 \) en tanto que otra empresa B se dedica a la obtención de otro artículo cuya demanda posee una desviación típica igual a \( 100 \)
Se observan las demandas de ambos artículos en \( 125 \) establecimientos, resultando que la demanda media del artículo de la empresa A es de \( 300 \) y la demanda media del artículo de la empresa B es de \( 250 \)
Construye un intervalo del \( 95\% \) de confianza para la diferencia de las demandas medias, si se supone que el modelo de probabilidad que rige la demanda de ambos artículos es Normal.
Se observan las demandas de ambos artículos en \( 125 \) establecimientos, resultando que la demanda media del artículo de la empresa A es de \( 300 \) y la demanda media del artículo de la empresa B es de \( 250 \)
Construye un intervalo del \( 95\% \) de confianza para la diferencia de las demandas medias, si se supone que el modelo de probabilidad que rige la demanda de ambos artículos es Normal.
7.2 Propiedades de los estimadores
3.
De una muestra de \( 26 \) embotelladoras automáticas se encontró que la media de botellas rellenadas por minuto era \( 71, 2 \) y su varianza \( 13, 4 \)
Suponiendo que la población es Normal, calcula un intervalo del \( 95\% \) de confianza para el número medio de botellas a rellenar.
Suponiendo que la población es Normal, calcula un intervalo del \( 95\% \) de confianza para el número medio de botellas a rellenar.
4.
El tiempo de producción de un cierto artículo se sabe que sigue una distribución Normal.
Se extrae una muestra aleatoria de \( 6 \) artículos, obteniéndose una varianza de \( 40 \)
Calcula un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la varianza de la población.
Se extrae una muestra aleatoria de \( 6 \) artículos, obteniéndose una varianza de \( 40 \)
Calcula un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la varianza de la población.
7.3 Métodos de obtención de estimadores
5.
Una planta eléctrica produce dos tipos diferentes de fusibles eléctricos, cuya característica principal es el intervalo de tiempo que pueden aguantar antes de quemarse cuando se les somete a una carga determinada.
Se llevó a cabo un programa de pruebas y se obtuvieron los siguientes datos muestrales:
Fusible tipo 1: \( 42, \ 45, \ 60, \ 72, \ 90 \) Fusible tipo 2: \( 69, \ 109, \ 113, \ 118, \ 153 \) Suponiendo que las poblaciones son Normales, obtén un intervalo del \( 95\% \) de confianza para \( \sigma_1^2/\sigma_2^2 \)
Se llevó a cabo un programa de pruebas y se obtuvieron los siguientes datos muestrales:
Fusible tipo 1: \( 42, \ 45, \ 60, \ 72, \ 90 \) Fusible tipo 2: \( 69, \ 109, \ 113, \ 118, \ 153 \) Suponiendo que las poblaciones son Normales, obtén un intervalo del \( 95\% \) de confianza para \( \sigma_1^2/\sigma_2^2 \)
7.4 Distribución de la media y varianza muestrales
6.
Con el fin de comparar el contenido medio de alquitrán por cigarrillo de dos marcas de tabaco, se tomaron dos muestras de \( 7 \) y \( 8 \) cigarrillos cada una, respectivamente, y se midió su contenido en alquitrán que expresado en mg dio los siguientes valores:
Marca 1: \( 20, \ 24, \ 23, \ 22, \ 20, \ 23, \ 22 \) Marca 2: \( 19, \ 22, \ 20, \ 18, \ 20, \ 22, \ 20, \ 20 \) Suponiendo que el contenido de alquitrán de las dos marcas es una población Normal, y que las varianzas poblacionales son iguales y desconocidas, encuentra un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales.
Toma \( \alpha = 0, 05 \)
Marca 1: \( 20, \ 24, \ 23, \ 22, \ 20, \ 23, \ 22 \) Marca 2: \( 19, \ 22, \ 20, \ 18, \ 20, \ 22, \ 20, \ 20 \) Suponiendo que el contenido de alquitrán de las dos marcas es una población Normal, y que las varianzas poblacionales son iguales y desconocidas, encuentra un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales.
Toma \( \alpha = 0, 05 \)
7.
Una central de productos lácteos recibe diariamente la leche de dos granjas, X e Y.
Deseando estudiar la calidad de los productos lácteos recibidos, se extraen dos muestras y se analiza el contenido de materia, con los siguientes resultados:
X: \( 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30; \ 0, 28; \ 0, 33; \ 0, 31; \ 0, 30; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30 \) Suponiendo que ambas poblaciones son Normales, determina un intervalo al \( 98\% \) de confianza para la desviación típica de la variable aleatoria X.
Deseando estudiar la calidad de los productos lácteos recibidos, se extraen dos muestras y se analiza el contenido de materia, con los siguientes resultados:
X: \( 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30; \ 0, 28; \ 0, 33; \ 0, 31; \ 0, 30; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30 \) Suponiendo que ambas poblaciones son Normales, determina un intervalo al \( 98\% \) de confianza para la desviación típica de la variable aleatoria X.
7.5 Intervalos de confianza: concepto
8.
Una central de productos lácteos recibe diariamente la leche de dos granjas, X e Y.
Deseando estudiar la calidad de los productos lácteos recibidos, se extraen dos muestras y se analiza el contenido de materia, con los siguientes resultados:
X: \( 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30; \ 0, 28; \ 0, 33; \ 0, 31; \ 0, 30; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30 \) Y: \( 0, 28; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 31; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 32; \ 0, 31; \ 0, 29; \ 0, 32; \ 0, 31; \ 0, 32; \ 0, 33; \ 0, 31 \) Suponiendo que ambas poblaciones son Normales, determina un intervalo al \( 98\% \) de confianza para el cociente de las varianzas de ambas variables aleatorias, \( \sigma_X^2/\sigma_Y^2 \)
Deseando estudiar la calidad de los productos lácteos recibidos, se extraen dos muestras y se analiza el contenido de materia, con los siguientes resultados:
X: \( 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30; \ 0, 28; \ 0, 33; \ 0, 31; \ 0, 30; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 30 \) Y: \( 0, 28; \ 0, 30; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 31; \ 0, 29; \ 0, 33; \ 0, 32; \ 0, 29; \ 0, 32; \ 0, 31; \ 0, 29; \ 0, 32; \ 0, 31; \ 0, 32; \ 0, 33; \ 0, 31 \) Suponiendo que ambas poblaciones son Normales, determina un intervalo al \( 98\% \) de confianza para el cociente de las varianzas de ambas variables aleatorias, \( \sigma_X^2/\sigma_Y^2 \)
9.
La vida media de un cierto tipo de lámparas se distribuye según una ley \( N(\mu_1, \sigma_1^2 = 20) \) y la de otro tipo según una \( N(\mu_2, \sigma_2^2 = 20) \)
Al tomar dos muestras de tamaño \( 20 \) y \( 15 \) se obtuvieron los valores \( \bar{x}_1 = 1500 \) y \( \bar{x}_2 = 1400 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para \( \mu_1 - \mu_2 \)
Al tomar dos muestras de tamaño \( 20 \) y \( 15 \) se obtuvieron los valores \( \bar{x}_1 = 1500 \) y \( \bar{x}_2 = 1400 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para \( \mu_1 - \mu_2 \)
7.6 Intervalos de confianza: casos prácticos
10.
De una población Normal de media y varianza desconocidas se ha extraído una muestra de tamaño \( 5 \) obteniéndose los siguientes valores: \( 660, \ 460, \ 540, \ 580, \ 550 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la media.
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la media.
11.
De una población Normal de media y varianza desconocidas se ha extraído una muestra de tamaño \( 5 \) obteniéndose los siguientes valores: \( 660, \ 460, \ 540, \ 580, \ 550 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la varianza.
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la varianza.
12.
De una población Normal de media y varianza desconocidas se ha extraído una muestra de tamaño \( 5 \) obteniéndose los siguientes valores: \( 660, \ 460, \ 540, \ 580, \ 550 \)
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la desviación típica.
Obtén un intervalo del \( 90\% \) de confianza para la desviación típica.
13.
En un proceso en serie, una máquina embotelladora debe rellenar botellas de refresco con 2 litros de contenido en cada una.
Sin embargo, la máquina comete un error aleatorio que se puede suponer distribuido de forma normal.
Analizado el contenido de 16 botellas de refresco, se obtuvieron los siguientes datos sobre el error (en litros) cometido por la máquina: \( -0, 02; \ -0, 05; \ 0, 05; \ 0, 06; \ 0, 09; \ 0, 03; \ 0, 11; \ -0, 12; \ 0, 05; \ 0, 11; \ -0, 13; \ 0, 00; \ 0, 02; \ 0, 13; \ 0, 04; \ 0, 01 \)
Obtén un intervalo de confianza al 95% para la varianza de los errores.
Sin embargo, la máquina comete un error aleatorio que se puede suponer distribuido de forma normal.
Analizado el contenido de 16 botellas de refresco, se obtuvieron los siguientes datos sobre el error (en litros) cometido por la máquina: \( -0, 02; \ -0, 05; \ 0, 05; \ 0, 06; \ 0, 09; \ 0, 03; \ 0, 11; \ -0, 12; \ 0, 05; \ 0, 11; \ -0, 13; \ 0, 00; \ 0, 02; \ 0, 13; \ 0, 04; \ 0, 01 \)
Obtén un intervalo de confianza al 95% para la varianza de los errores.
7.7 Inferencia estadística
14.
La duración de las bombillas de 100 vatios que fabrica una empresa A sigue una distribución Normal, anunciando el fabricante en la publicidad que su vida media no es inferior a 800 horas.
Una organización de consumidores aplica un control de calidad a una muestra aleatoria de tamaño 10, obteniendo que la duración media de las bombillas de la muestra es de 781, 5 horas, con una cuasivarianza de 3069, 6 horas al cuadrado.
En una segunda parte del estudio se compararon las bombillas de la empresa A con las que fabrica una segunda empresa B, cuya vida también se supone Normal: una muestra de 8 bombillas de esta empresa B arrojó una duración media de 751, 5 horas con una varianza de 3500 horas al cuadrado.
Obtén un intervalo de confianza al 95% para el cociente entre las varianzas de la duración de las bombillas fabricadas por la primera y la segunda empresa.
Una organización de consumidores aplica un control de calidad a una muestra aleatoria de tamaño 10, obteniendo que la duración media de las bombillas de la muestra es de 781, 5 horas, con una cuasivarianza de 3069, 6 horas al cuadrado.
En una segunda parte del estudio se compararon las bombillas de la empresa A con las que fabrica una segunda empresa B, cuya vida también se supone Normal: una muestra de 8 bombillas de esta empresa B arrojó una duración media de 751, 5 horas con una varianza de 3500 horas al cuadrado.
Obtén un intervalo de confianza al 95% para el cociente entre las varianzas de la duración de las bombillas fabricadas por la primera y la segunda empresa.