Ejercicios · 4.16 Teorema de Bayes

Para elegir entre tres candidatos \( A \), \( B \) y \( C \) se idean tres concursos. Concurso 1: extraer una papeleta con un nombre de una bolsa con los tres nombres. Concurso 2: en una bolsa hay dos bolas blancas y una negra; \( A \) extrae primero y si es negra gana, si no pasa el turno a \( B \) que extrae de las dos restantes y si es negra gana, si no el empleo es para \( C \). Concurso 3: \( A \) y \( B \) juegan a cara y cruz, el vencedor juega con \( C \) a cara y cruz y el ganador de esta segunda ronda logra el empleo. Demostrar si los sorteos son justos o no, entendiendo que un sorteo es justo si los tres candidatos tienen la misma probabilidad de ganar, y opinar si \( A \), \( B \) o \( C \) tienen razón en sus reclamaciones.

Para elegir entre tres candidatos se idearon tres concursos: el concurso 1 y el concurso 2 son justos, con probabilidad un tercio de victoria para cada candidato, y en el concurso 3 el candidato \( C \) gana con probabilidad un medio. El concurso se eligió lanzando dos dados no trucados, uno azul y otro rojo:
si la puntuación del azul es mayor que la del rojo se escoge el concurso 1, si la del rojo es superior a la del azul se escoge el concurso 2, y si hay empate se escoge el concurso

3. Si finalmente \( C \) fue elegida para el trabajo, calcular qué concurso es más probable que se realizara.

Sobre los alumnos de un instituto se conoce que la probabilidad de salir aprobado en la lista provisional es de \( 0, 7 \). La probabilidad de que un alumno suspendido en la lista provisional reclame es de \( 0, 45 \), mientras que dicha probabilidad es solo de \( 0, 1 \) para los alumnos aprobados en dicha lista. Calcular la probabilidad de que un alumno que reclama esté aprobado en la lista provisional.

Sobre los alumnos de un instituto, la probabilidad de que un alumno reclame es \( 0, 205 \). Antonio, Beatriz y Carlos son tres amigos que se han presentado al examen. Calcular la probabilidad de que los tres se comporten igual respecto a la reclamación, es decir, que reclamen los tres o que no reclame ninguno.

Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Una persona lanza dos veces una moneda equilibrada y seguidamente introduce la mano en la urna para extraer tantas bolas como caras se han obtenido. Calcular la probabilidad de obtener exactamente una bola negra, sin importar si también se obtiene alguna blanca o no.

De una urna con 3 bolas blancas y 2 negras se elige una bola al azar, se mira su color y se devuelve a la urna, añadiendo además otra bola de ese mismo color. Seguidamente se vuelve a extraer otra bola, que resultó blanca. Calcular la probabilidad de que la primera bola fuese blanca también.

Al iniciarse una sesión de bolsa hay disponibles 4 títulos de la empresa \( A \), 3 títulos de la empresa \( B \) y 2 de la empresa \( C \). Un operador elige al azar un título entre los 9 y compra todos los títulos de la empresa a la que corresponde el título elegido. Posteriormente llega un segundo operador y compra dos títulos al azar entre los que han quedado disponibles. Calcular la probabilidad de que este segundo operador adquiera dos títulos de la empresa \( A \)

A lo largo de una sesión de bolsa siempre hay una pausa normal, pero a veces hay además una pausa extra, con probabilidad \( 0, 4 \). Cuando se hace una pausa, tanto extra como normal, existe una probabilidad \( 0, 7 \) de que un operador aproveche para tomarse un café. Si se sabe que cierto día el operador no tomó ningún café, calcular la probabilidad de que ese día hubiera pausa extra en la sesión.

Un operador acude a su oficina un día cualquiera con probabilidad \( 0, 68 \), pero dicha probabilidad es de \( 0, 85 \) los días en que no ha habido pausa extra en la sesión. Sabiendo que cierto día no acude a la oficina, calcular la probabilidad de que ese día solo haya habido la pausa ordinaria en la sesión. Si consideramos una semana con cinco días laborables, calcular la probabilidad de que alguno de esos cinco días no acuda a la oficina.

En una ciudad existen 2 establecimientos que distribuyen teléfonos móviles, \( A \) y \( B \). Que un móvil sea adquirido en el establecimiento \( A \) tiene una probabilidad de \( 0, 65 \); entre los individuos que se compraron el móvil en \( A \) solo el 70 por ciento compran los accesorios y cupones en \( A \). Si el móvil fue comprado en \( B \) la probabilidad de la compra de accesorios y cupones en \( B \) es de \( 0, 85 \). Calcular qué porcentaje de accesorios o cupones son comprados en \( A \) y qué porcentaje en \( B \). Razonar si es lógico que estos porcentajes sumen 100 por ciento.

En una ciudad existen 2 establecimientos que distribuyen teléfonos móviles, \( A \) y \( B \). Que un móvil sea adquirido en el establecimiento \( A \) tiene una probabilidad de \( 0, 65 \);
si el móvil fue comprado en \( B \) la probabilidad de la compra de accesorios y cupones en \( B \) es de \( 0, 85 \). Calcular la proporción de personas que compraron el móvil en \( B \) pero compran un accesorio o cupón en la tienda \( A \)

En dos mercados de valores \( M_1 \) y \( M_2 \) se compran y venden acciones de tipo \( A \) y \( B \). En \( M_1 \) la proporción de acciones del tipo \( A \) es un tercio, mientras que en \( M_2 \) es tres quintos. Un accionista lanza simultáneamente 4 monedas y si sale más de una cara elige el mercado \( M_1 \); en otro caso elige \( M_2 \). Una vez seleccionado el mercado, decide comprar al azar una acción. Determinar qué es más probable: comprar una acción del tipo \( A \) o del tipo \( B \)

En dos mercados de valores \( M_1 \) y \( M_2 \) las proporciones de acciones del tipo \( A \) son un tercio y tres quintos respectivamente. Un accionista elige el mercado \( M_1 \) con probabilidad once dieciseisavos y el mercado \( M_2 \) con probabilidad cinco dieciseisavos. Se compran al azar dos acciones en un mismo mercado, y se sabe que al menos una de ellas es del tipo \( A \). Calcular la probabilidad de que la otra acción comprada sea también de este tipo.

En dos mercados de valores \( M_1 \) y \( M_2 \) las proporciones de acciones del tipo \( A \) son un tercio y tres quintos respectivamente. Un accionista elige el mercado \( M_1 \) con probabilidad once dieciseisavos y el mercado \( M_2 \) con probabilidad cinco dieciseisavos. Si las dos acciones que compra en el mismo mercado son del tipo \( A \), calcular la probabilidad de que esté comprando en cada uno de los dos mercados.

En una empresa con un gran número de empleados, el 80 por ciento son hombres y el 20 por ciento son mujeres. Entre los hombres empleados, el 10 por ciento cuenta con formación de post-grado, el 30 por ciento son solo graduados y el 60 por ciento tiene solo formación secundaria. Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar sea un hombre que cuenta únicamente con formación secundaria.

En una empresa con un gran número de empleados, el 80 por ciento son hombres y el 20 por ciento son mujeres. Entre los hombres empleados, el 10 por ciento cuenta con formación de post-grado; entre las mujeres empleadas, el 15 por ciento tiene formación de post-grado. Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar tenga formación de post-grado.

En una empresa con un gran número de empleados, el 80 por ciento son hombres y el 20 por ciento son mujeres. Entre los hombres empleados, el 10 por ciento cuenta con formación de post-grado; entre las mujeres empleadas, el 15 por ciento tiene formación de post-grado. Calcular la probabilidad de que un empleado con formación de post-grado sea un hombre.

En una empresa con un gran número de empleados, el 80 por ciento son hombres y el 20 por ciento son mujeres. Entre los hombres empleados, el 10 por ciento cuenta con formación de post-grado; entre las mujeres empleadas, el 15 por ciento tiene formación de post-grado. Calcular la probabilidad de que un empleado que no tenga formación de post-grado sea una mujer.

La compañía TMA ha determinado que un 5, 5 por ciento de los usuarios abandonan la compañía. Habiendo sufrido fallos de cobertura, la probabilidad de que un usuario abandone la compañía es del 10 por ciento. La probabilidad de que el cliente sufra fallos de cobertura es del 1 por ciento. Sabiendo que el cliente no ha sufrido fallos de cobertura, calcular la probabilidad de que abandone la compañía.

La compañía TMA ha determinado que un 5, 5 por ciento de los usuarios abandonan la compañía. Habiendo sufrido fallos de cobertura, la probabilidad de que un usuario abandone la compañía es del 10 por ciento. La probabilidad de que el cliente sufra fallos de cobertura es del 1 por ciento. De entre los clientes que abandonan la compañía, calcular la probabilidad de que hayan sufrido fallos de cobertura.

Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0, 1 por ciento. En cambio, cuando el cliente no tiene fondos, la probabilidad de que ponga la fecha errónea es 99 por ciento. El banco sabe que el 90 por ciento de los clientes tienen fondos. Calcular la probabilidad de que un cheque cualquiera tenga la fecha errónea.

Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0, 1 por ciento. En cambio, cuando el cliente no tiene fondos, la probabilidad de que ponga la fecha errónea es 99 por ciento. El banco sabe que el 90 por ciento de los clientes tienen fondos. Si se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada, calcular la probabilidad de que sea de un cliente sin fondos.

Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0, 1 por ciento. En cambio, cuando el cliente no tiene fondos, la probabilidad de que ponga la fecha errónea es 99 por ciento. El banco sabe que el 90 por ciento de los clientes tienen fondos. Calcular la probabilidad de que un cheque tenga la fecha errónea o no tenga fondo.

Dos equipos se juegan un título a los lanzamientos desde el punto de penalty, con un lanzamiento para cada equipo. El equipo \( B \) lanza primero con un jugador que tiene probabilidad \( 0, 8 \) de marcar. La probabilidad de que el lanzador del equipo \( A \) marque si \( B \) ha marcado es de 0, 72, y si \( B \) ha fallado asciende a 0,
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8. Obtener la probabilidad de que el jugador \( A \) marque su penalty.

Dos equipos se juegan un título a los lanzamientos desde el punto de penalty, con un lanzamiento para cada equipo. El equipo \( B \) lanza primero con probabilidad \( 0, 8 \) de marcar. La probabilidad de que el lanzador del equipo \( A \) marque si \( B \) ha marcado es de 0, 72, y si \( B \) ha fallado asciende a 0,
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8. Si sabemos que \( A \) ha marcado, calcular la probabilidad de que \( B \) haya fallado.

Dos equipos se juegan un título a los lanzamientos desde el punto de penalty, con un lanzamiento para cada equipo. El equipo \( B \) lanza primero con probabilidad \( 0, 8 \) de marcar. La probabilidad de que el lanzador del equipo \( A \) marque si \( B \) ha marcado es de 0, 72, y si \( B \) ha fallado asciende a 0,
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8. Si sabemos que \( A \) ha fallado, calcular la probabilidad de que \( B \) haya marcado.

Dos equipos se juegan un título a los lanzamientos desde el punto de penalty, con un lanzamiento para cada equipo y empate hasta el momento. El equipo \( B \) lanza primero con probabilidad \( 0, 8 \) de marcar. La probabilidad de que el lanzador del equipo \( A \) marque si \( B \) ha marcado es de 0, 72, y si \( B \) ha fallado asciende a 0,
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8. Calcular la probabilidad de que gane el partido el equipo \( B \)

Dos equipos se juegan un título a los lanzamientos desde el punto de penalty, con un lanzamiento para cada equipo y empate hasta el momento. El equipo \( B \) lanza primero con probabilidad \( 0, 8 \) de marcar. La probabilidad de que el lanzador del equipo \( A \) marque si \( B \) ha marcado es de 0, 72, y si \( B \) ha fallado asciende a 0,
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8. Calcular la probabilidad de que haya que lanzar penalties adicionales porque ambos jugadores hayan marcado o hayan fallado.

La compañía Nerdflis ofrece servicios de televisión online con dos tipos de clientes: el 30 por ciento son del tipo \( A \). Para un cliente del tipo \( A \), la probabilidad de que sufra algún incidente es de \( 0, 05 \) e, si la emisión es solicitada por un cliente del tipo \( B \), hay incidentes en un 10 por ciento de los casos. Calcular la probabilidad de sufrir algún incidente.

La compañía Nerdflis ofrece servicios de televisión online con dos tipos de clientes: el 30 por ciento son del tipo \( A \). Para un cliente del tipo \( A \), la probabilidad de que sufra algún incidente es de \( 0, 05 \) e, si la emisión es solicitada por un cliente del tipo \( B \), hay incidentes en un 10 por ciento de los casos. Sabiendo que un cliente ha sufrido incidentes, calcular la probabilidad de que sea del tipo \( B \)

Un trabajador acude a su trabajo el 85 por ciento de los días en coche y el resto de los días en autobús. Yendo en coche llega puntualmente el 90 por ciento de los días, pero yendo en autobús llega tarde el 23 por ciento de los días. Considerando al azar un día, calcular la probabilidad de que no llegue puntual.

Un trabajador acude a su trabajo el 85 por ciento de los días en coche y el resto de los días en autobús. Yendo en coche llega tarde el 10 por ciento de los días, pero yendo en autobús llega tarde el 23 por ciento de los días. Sabiendo que llegó tarde, calcular la probabilidad de que haya ido en coche.

Un trabajador acude a su trabajo el 85 por ciento de los días en coche y el resto de los días en autobús. Yendo en coche llega tarde el 10 por ciento de los días, pero yendo en autobús llega tarde el 23 por ciento de los días, de modo que la probabilidad de llegar tarde un día cualquiera es \( 0, 1195 \). En una semana con 5 días laborables, calcular la probabilidad de que llegue tarde al menos uno.

En unos grandes almacenes, la probabilidad de que un trabajador cumpla con los objetivos que se le marcaron en el año es de 0, 65, la de cobrar el complemento de productividad es de 0, 4, y cuando un trabajador no ha cumplido con los objetivos la probabilidad de que cobre el complemento es de 0,
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2. Si no se ha cobrado el complemento, calcular la probabilidad de que no se haya cumplido con los objetivos.

En unos grandes almacenes, la probabilidad de que un trabajador cumpla con los objetivos que se le marcaron en el año es de 0, 65, la de cobrar el complemento de productividad es de 0, 4, y cuando un trabajador no ha cumplido con los objetivos la probabilidad de que cobre el complemento es de 0,
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2. Si se cumple con los objetivos, calcular la probabilidad de cobrar el complemento.

En unos grandes almacenes, la probabilidad de que un trabajador cobre el complemento de productividad es de 0,
4. En una sección hay 3 trabajadores. Calcular la probabilidad de que ninguno de ellos cobre el complemento.

En unos grandes almacenes, la probabilidad de que un trabajador cobre el complemento de productividad es de 0,
4. En una sección hay 3 trabajadores. Calcular la probabilidad de que el número de los que cobran sea exactamente dos.

De los 500 alumnos matriculados en el segundo curso de un cierto Grado, 300 son mujeres y 200 son hombres. Se sabe que aprueban Estadística el 32 por ciento de las mujeres y el 38 por ciento de los hombres. Calcular la probabilidad de que, tomando al azar un alumno, apruebe la asignatura de Estadística.

De los 500 alumnos matriculados en el segundo curso de un cierto Grado se sabe que, de los que aprueban Matemáticas, el 48 por ciento aprueban Estadística, mientras que solo el 23 por ciento de los que suspenden Matemáticas aprueban Estadística. Además, la probabilidad de aprobar Estadística es \( 0, 344 \). Calcular la probabilidad de que, tomando al azar un alumno, apruebe la asignatura de Matemáticas.

De los 500 alumnos matriculados en el segundo curso de un cierto Grado se sabe que, de los que aprueban Matemáticas, el 48 por ciento aprueban Estadística. Además, la probabilidad de aprobar Matemáticas es \( 0, 456 \). Calcular la probabilidad de que, tomando al azar un alumno, apruebe las dos asignaturas, Estadística y Matemáticas.