Ejercicios · Tema 1: Cinemática

La posición de una partícula móvil respecto del origen de coordenadas viene dada por \( \vec{r}(t) = \left(3t^4 + 2t + \dfrac{10}{t+3}\right) \vec{e}_x \) (unidades del sistema internacional). ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando \( t = 0 \)? ¿Y cuando \( t = 2 \, \text{s} \)? ¿Y cuando \( t = 7 \, \text{s} \)? Calcula la aceleración de la partícula.

La posición de una partícula móvil viene dada por \( \vec{r}(t) = 6t \, \vec{e}_x - 3t^2 \, \vec{e}_y + \dfrac{t^3}{2} \, \vec{e}_z \) (unidades del sistema internacional). Encuentra su velocidad y su aceleración.

Una partícula parte del reposo en el punto \( x_0 = 2 \, \text{m} \) y se mueve con una aceleración dada por \( a(t) = 4t + 4t^3 \) (unidades del sistema internacional). Encuentra la velocidad y la posición de la partícula en función del tiempo (considera el movimiento rectilíneo).

Dado el gráfico de la velocidad de un objeto en función del tiempo de la figura (formado por tramos rectilíneos), dibuja los gráficos de la posición y de la aceleración en función del tiempo. Argumenta tu respuesta.

Un proyectil puntual de masa \( m \) se lanza desde el origen de coordenadas de un sistema inercial de referencia, con velocidad inicial \( v_0 \) y con un ángulo de salida \( \varphi \) con el eje horizontal. El proyectil está sometido a una aceleración gravitatoria constante ( \( g \) ) y a un rozamiento con el aire, que le comunica una aceleración proporcional a su velocidad, \( \vec{a}_r = -K \vec{v} \)
(
a) Encuentra las componentes \( v_x \) y \( v_y \) del vector velocidad del proyectil en función del tiempo. Estudia el caso particular de que \( t \to \infty \). ¿Qué podemos decir del movimiento de la partícula en este caso?
(
b) Escribe las ecuaciones paramétricas \( x(t) \) e \( y(t) \) de la trayectoria recorrida por el proyectil.

Una lagartija, inicialmente en reposo, cae al vacío desde el tejado de un rascacielos. Si, además del peso, la lagartija experimenta un rozamiento que le comunica una aceleración proporcional a su velocidad, en sentido contrario, \( \vec{a}_r = -K \vec{v} \), ¿qué velocidad llevará al cabo de \( 1 \) segundo? ¿Y al cabo de \( 10 \) segundos? ¿Y cuando lleve un tiempo inmemorial \( t \to \infty \) cayendo? ¿Cuál será la máxima velocidad que podrá alcanzar? (Considera el movimiento unidimensional y \( k = 1 \) en unidades del sistema internacional. Toma \( g = 9, 8 \, \text{m/s}^2 \).. )

Después de parar el motor de una canoa, esta tiene una aceleración en sentido opuesto a su velocidad y directamente proporcional al cuadrado de esta. Encuentra:
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a) La velocidad de la canoa en función del tiempo.
(
b) La distancia recorrida en un tiempo \( t \)
(
c) La velocidad de la canoa después de haber recorrido una distancia \( x \)
(
d) Representa las gráficas del movimiento.
Aplicación numérica: considera que cuando se para el motor de la canoa su velocidad es de \( 20 \, \text{m/s} \) y que al cabo de \( 15 \, \text{s} \) esta velocidad se ha reducido a la mitad. Determina el valor de la constante de proporcionalidad que liga la aceleración con el cuadrado de la velocidad.

Mirando por una ventana que tiene \( 2 \, \text{m} \) de altura vemos pasar cayendo una pelota, que tarda \( 0, 25 \, \text{s} \) en pasar por delante de la ventana. Si la pelota se ha dejado caer desde el tejado del edificio, ¿qué distancia hay entre la parte superior de la ventana y el tejado? (Toma \( g = 9, 8 \, \text{m/s}^2 \).. )

Desde una altura de \( 30 \, \text{m} \) se deja caer una piedra en el mismo instante en que otra piedra se lanza hacia arriba desde el suelo. Si las piedras se encuentran a una altura de \( 15 \, \text{m} \), ¿cuál ha sido la velocidad con que se ha lanzado la segunda piedra? ¿Cuál es la velocidad de cada piedra en el momento de encontrarse? (Toma \( g = 9, 8 \, \text{m/s}^2 \).. )

Dejamos caer (inicialmente en reposo) una piedra en un pozo.
(
a) Si oímos el sonido del chapoteo unos \( 2, 40 \, \text{s} \) más tarde, ¿a qué distancia se encuentra la superficie del agua de la boca del pozo? La velocidad del sonido en el aire (a temperatura ambiente) es de unos \( 336 \, \text{m/s} \). (Toma \( g = 9, 8 \, \text{m/s}^2 \).. )
(
b) Si se desprecia el tiempo que tarda el sonido en propagarse, ¿qué porcentaje de error introducimos en el cálculo inicial?

Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de \( 200 \, \text{m/s} \) que forma un ángulo de \( 30^{\circ} \) con la horizontal. ¿Hasta qué altura llegará? ¿A qué distancia del punto de partida llegará al suelo? (Toma \( g = 9, 8 \, \text{m/s}^2 \).. )

Una pelota resbala por un tejado que forma un ángulo de \( 30^{\circ} \) con la horizontal y, al llegar a su extremo, lleva una velocidad de \( 10 \, \text{m/s} \). La altura del edificio es de \( 60 \, \text{m} \), y la anchura de la calle donde cae es de \( 30 \, \text{m} \). Calcula:
(
a) Las ecuaciones del movimiento de la pelota durante su caída.
(b) ¿Llegará la pelota directamente al suelo o chocará antes con la pared del edificio de enfrente?
(c) ¿Qué tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Cuál es su velocidad en ese instante?
(d) ¿En qué posición se encuentra la pelota cuando su velocidad forma un ángulo de \( 45^{\circ} \) con la horizontal?
(Toma \( g = 9, 8 \, \text{m/s}^2 \).. )

Un cañón dispara una bala con una velocidad inicial de \( 400 \, \text{m/s} \) y un ángulo de \( 47^{\circ} \). Esta bala alcanza a un pájaro que se encuentra a \( 400 \, \text{m} \) de altura. ¿Qué tiempo ha tardado el proyectil en alcanzar al pájaro? ¿A qué distancia horizontal máxima puede estar el pájaro del cañón? (Toma \( g = 9, 8 \, \text{m/s}^2 \).. )

Desde la base de una montaña de pendiente constante \( \alpha \), se dispara un proyectil con una velocidad de módulo \( v_0 \) que forma un ángulo \( \theta \) (con \( \theta > \alpha \) ) con la horizontal. Demuestra que el alcance \( R \) del lanzamiento, medido a lo largo de la pendiente de la montaña, viene dado por la siguiente expresión: \( R = \dfrac{2v_0^2 \cos\theta \, \text{sen}(\theta - \alpha)}{g(\cos\alpha)^2} \)

En un terreno llano se lanza verticalmente una pelota hacia arriba, con una velocidad inicial de \( 10 \, \text{m/s} \). El viento produce una fuerza horizontal constante sobre la pelota que es igual a la quinta parte de su peso. Se pide:
(
a) La distancia \( L \) entre el punto en que la pelota toca tierra y el de su lanzamiento.
(
b) La velocidad de la pelota en el punto más alto de su trayectoria.
(
c) La altura máxima a la que llega la pelota.
(
d) La velocidad de la pelota en el momento en que llega a tierra.
(
e) El ángulo que forma la velocidad de la pelota con el eje horizontal en el momento en que llega a tierra.
(Toma \( g = 9, 8 \, \text{m/s}^2 \).. )

Un volante gira alrededor de su eje a \( 300 \, \text{rpm} \). Un freno lo para en \( 20 \, \text{s} \). Calcula su aceleración angular (supuesta constante) y el número de vueltas que da hasta que se para. Si el volante tiene \( 10 \, \text{cm} \) de radio, encuentra las componentes tangencial y normal de la aceleración en un punto de la periferia del volante en el instante en que la rueda ha dado \( 40 \) vueltas. Encuentra también la aceleración resultante en ese momento.

David es un experto con la honda, y por eso se mantiene alejado de Goliat preparado para atacar. La honda consiste en una cuerda de longitud \( R \) que sostiene una piedra de masa \( m \) en uno de sus extremos. David hace girar la piedra (inicialmente en reposo en un plano vertical y dirigida verticalmente hacia abajo) con una aceleración angular constante \( \alpha \), completando 5 vueltas y, justo después, la lanza cuando la cuerda forma un ángulo \( \theta \) respecto de la vertical, de manera que la piedra sale disparada formando un ángulo de \( 30^{\circ} \) respecto de la horizontal y describiendo un tiro parabólico con rozamiento.
a) ¿Cuál es la aceleración tangencial, \( \vec{a}_t \), y la aceleración centrípeta, \( \vec{a}_n \), cuando la piedra ha hecho exactamente dos vueltas completas? ¿Cuál es la velocidad inicial \( \vec{v}_0 \) con la que sale disparada la piedra? Nota que debes dar tanto el módulo como la dirección de las magnitudes que se piden.
b) ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en alcanzar la altura máxima si el rozamiento con el aire provoca que la piedra esté sometida a una aceleración \( \vec{a}_r = -k\vec{v} \)?
c) ¿Cuál es la altura máxima?
Datos: \( m = 0, 5 \, \text{kg} \), \( R = 50 \, \text{cm} \), \( k = 1 \, \text{s}^{-1} \), \( \alpha = 30 \, \text{rad/s}^2 \). (Toma \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \).. )

En el patio de la universidad hay un ventilador de juguete inicialmente en reposo. De repente, un golpe de viento de \( 9 \) segundos acelera el ventilador hasta obtener una velocidad angular \( \omega_f \)
a) Suponiendo que la aceleración angular \( \alpha \) ejercida por el aire es constante, ¿cuál es la aceleración tangencial, \( \vec{a}_t \), y la aceleración centrípeta, \( \vec{a}_n \), del punto \( P \) situado a una distancia \( r \) del centro en la dirección vertical (ver dibujo) después de realizar 3 vueltas? ¿Cuál es la velocidad \( \vec{v} \) del punto \( P \) en el instante \( t \)? Nota que debes dar tanto el módulo como la dirección de las magnitudes que se piden.
b) En realidad, la aceleración angular no es constante sino que depende de \( \omega \) siguiendo la expresión \( \alpha = \dfrac{k}{\omega} \). ¿Cuál es el valor de la constante \( k \)? ¿Cuál es el módulo de la aceleración lineal del punto \( P \) en el instante \( t \)?
c) ¿Cuántas vueltas ha realizado el ventilador en el instante \( t \)? ¿Qué error (en %) se produce si realizamos el mismo cálculo pero suponiendo que la aceleración es constante?
Datos: \( \omega_f = 18 \, \text{rad/s} \), \( r = 5 \, \text{cm} \), \( t = 4 \, \text{s} \)

Un coche de alta gama puede pasar de \( 0 \) a \( 100 \, \text{km/h} \) en \( 3 \) segundos.
a) ¿Qué aceleración angular tienen los neumáticos si consideramos que la aceleración angular de las ruedas de radio \( R \) es constante? ¿Cuántas vueltas han dado las ruedas en \( 2 \) segundos después de arrancar? ¿Qué aceleración normal y tangencial tienen en ese instante de tiempo? Ayuda: considera que la aceleración del coche coincide con la aceleración tangencial de las ruedas.
b) Consideramos que la aceleración constante que permite pasar de \( 0 \) a \( 100 \, \text{km/h} \) en \( 3 \) segundos es la aceleración máxima del coche. Si el rozamiento con el aire provoca una aceleración contraria \( \vec{a}_r = -k\vec{v} \), ¿a qué velocidad irá el coche al pasar \( 6 \) segundos de haberse puesto en marcha e ir a aceleración máxima? ¿Cuál es la velocidad máxima que puede conseguir el vehículo?
Datos: \( R = 30 \, \text{cm} \); \( k = 0, 1 \, \text{s}^{-1} \). (Toma \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \).. )

Una partícula móvil se encuentra inicialmente en el origen de coordenadas, y su velocidad viene determinada por la ecuación \( \vec{v}(t) = 8t^3 \, \vec{e}_x + 6t^2 \, \vec{e}_y \) (unidades del sistema internacional). Encuentra la ecuación de su trayectoria y las componentes tangencial y normal de su aceleración.

Un móvil recorre con velocidad constante \( v \) una trayectoria circular de radio \( R \). Si se duplica \( v \), ¿cómo se ve afectada la aceleración \( a \) del móvil? Si se duplica \( R \), ¿cómo se ve afectada \( a \)? ¿Por qué es imposible que un móvil siga una trayectoria en forma de línea quebrada, haciendo cambios instantáneos en la dirección que sigue?

El esquiador de la figura llega al final de la pista con una velocidad de \( 45 \, \text{m/s} \). En una competición de salto, debe llegar a una distancia \( d = 90 \, \text{m} \) a lo largo de una pista inclinada \( 60^{\circ} \) respecto de la horizontal (descendente). Considera \( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)
a) ¿Cuál es el ángulo \( \alpha \) que debe formar el vector velocidad inicial con la horizontal? Ayuda: \( \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha \)
b) Calcula y dibuja las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante de tiempo \( T/2 \), donde \( T \) es el tiempo de vuelo.
c) ¿Qué velocidad horizontal tendrá el esquiador en \( T/2 \) si además de la gravedad experimenta una aceleración en la dirección horizontal \( a_x = -K v_x \) con \( K = 0, 1 \, \text{s}^{-1} \)?

El movimiento de dos partículas queda definido, respectivamente, por las ecuaciones \( \vec{r}_1 = 3t^2 \, \vec{e}_x + 5t \, \vec{e}_y + t^3 \, \vec{e}_z \) y \( \vec{r}_2 = t \, \vec{e}_x + t^2 \, \vec{e}_y \) (unidades del sistema internacional). Determina la velocidad y la aceleración relativas de la segunda partícula respecto de la primera. Aplícalo al caso en que \( t = 2 \, \text{s} \)

Un tren de carga circula con una velocidad constante de \( 30 \, \text{km/h} \). Un hombre, de pie sobre una plataforma del tren, lanza una pelota al aire con velocidad inicial de \( 45 \, \text{km/h} \) perpendicular a la plataforma y la recoge cuando vuelve a caer.
(a) ¿Cuáles son el módulo y la dirección de la velocidad inicial de la pelota, vistos por otro hombre que esté de pie y en reposo al costado de la vía?
(b) ¿Qué tiempo está en el aire la pelota para el hombre del tren? ¿Y para el del costado de la vía?
(c) ¿Qué distancia horizontal ha recorrido la pelota mientras se encuentra en el aire según el hombre del tren? ¿Y según el hombre de la vía?
(d) ¿Cuál es la velocidad mínima de la pelota durante su vuelo según el hombre del tren? ¿Y según el hombre de la vía?
(e) ¿Cuál es la aceleración de la pelota respecto del hombre del tren? ¿Y respecto del hombre de la vía?
(Toma \( g = 9, 8 \, \text{m/s}^2 \).. )