Ejercicios · Examen Parcial 2: Mecánica
6 ejercicios resueltos paso a paso.
Examen Parcial 2: Mecánica
1.
Una partícula se mueve en el plano horizontal según la ley vectorial paramétrica \( \vec{r}(t) = (b t^2)\hat{i} + (c t^3)\hat{j} \), con constantes \( b = 3 \text{ m/s}^2 \) y \( c = 1 \text{ m/s}^3 \)
a) Determina los vectores velocidad \( \vec{v}(t) \) y aceleración \( \vec{a}(t) \), evaluando sus módulos en el instante \( t = 1 \text{ s} \)
b) Calcula en \( t = 1 \text{ s} \) las componentes intrínsecas: aceleración tangencial \( a_t \) y aceleración normal \( a_n \)
c) Deduce el radio de curvatura \( \rho \) de la trayectoria en dicho instante.
Trayectoria paramétrica y vectores intrínsecos
a) Determina los vectores velocidad \( \vec{v}(t) \) y aceleración \( \vec{a}(t) \), evaluando sus módulos en el instante \( t = 1 \text{ s} \)
b) Calcula en \( t = 1 \text{ s} \) las componentes intrínsecas: aceleración tangencial \( a_t \) y aceleración normal \( a_n \)
c) Deduce el radio de curvatura \( \rho \) de la trayectoria en dicho instante.
2.
Un rotor circular gira inicialmente a una velocidad angular \( \omega_0 = 20 \text{ rad/s} \). A partir de \( t = 0 \), un freno magnético introduce una aceleración angular retardatriz lineal \( \alpha(t) = -\alpha_0 \left(1 - \frac{t}{\tau}\right) \), con \( \alpha_0 = 4 \text{ rad/s}^2 \) y constante de amortiguamiento \( \tau = 10 \text{ s} \), actuando en el intervalo \( t \in [0, \tau] \)
a) Deduce por integración la expresión de la velocidad angular \( \omega(t) \) y calcula su valor en el instante final \( t = \tau = 10 \text{ s} \)
b) Obtén la ley del ángulo girado \( \theta(t) \) y calcula el número total de vueltas completadas durante los 10 segundos de frenado.
Cinemática rotacional con aceleración lineal
a) Deduce por integración la expresión de la velocidad angular \( \omega(t) \) y calcula su valor en el instante final \( t = \tau = 10 \text{ s} \)
b) Obtén la ley del ángulo girado \( \theta(t) \) y calcula el número total de vueltas completadas durante los 10 segundos de frenado.
3.
Una partícula de masa \( m = 3 \text{ kg} \) se mueve sobre el eje OX sometida a una fuerza unidimensional variable por tramos: en \( x \in [0, 4] \text{ m} \), presenta un perfil triangular que arranca en 0, alcanza un pico de \( +15 \text{ N} \) en \( x = 2 \text{ m} \) y vuelve a 0 en \( x = 4 \text{ m} \); en \( x \in [4, 5] \text{ m} \), la fuerza es nula; y en \( x \in [5, 9] \text{ m} \), ejerce una fuerza resistente constante de \( -8 \text{ N} \)
a) Calcula el trabajo total realizado por la fuerza en el trayecto desde \( x = 0 \) hasta \( x = 9 \text{ m} \)
b) Si la velocidad en el origen era \( v_0 = 2 \text{ m/s} \), calcula la rapidez de la partícula en \( x = 9 \text{ m} \)
Perfil de fuerza unidimensional F(x)
a) Calcula el trabajo total realizado por la fuerza en el trayecto desde \( x = 0 \) hasta \( x = 9 \text{ m} \)
b) Si la velocidad en el origen era \( v_0 = 2 \text{ m/s} \), calcula la rapidez de la partícula en \( x = 9 \text{ m} \)
4.
Un carro de masa puntual \( m \) desciende por una pista sin rozamiento que desemboca en un rizo vertical de radio \( R \)
a) Demuestra analíticamente que la fuerza normal ejercida por la vía sobre el carro en el ángulo \( \theta \) medido respecto a la vertical descendente viene dada por \( N(\theta) = mg(3\cos\theta - 2) + \frac{m v_0^2}{R} \), donde \( v_0 \) es la velocidad en el punto más bajo.
b) Deduce la altura mínima de partida \( h_{\text{mín}} \) sobre la base para que el móvil corone el rizo sin despegarse en el cenit.
Dinámica del rizo vertical (Loop-the-loop)
a) Demuestra analíticamente que la fuerza normal ejercida por la vía sobre el carro en el ángulo \( \theta \) medido respecto a la vertical descendente viene dada por \( N(\theta) = mg(3\cos\theta - 2) + \frac{m v_0^2}{R} \), donde \( v_0 \) es la velocidad en el punto más bajo.
b) Deduce la altura mínima de partida \( h_{\text{mín}} \) sobre la base para que el móvil corone el rizo sin despegarse en el cenit.
5.
Un dron de exploración situado en el borde de un acantilado a \( h = 180 \text{ m} \) sobre el mar proyecta una cápsula con velocidad \( v_0 = 25 \text{ m/s} \) inclinada \( 37^\circ \) sobre la horizontal ( \( \sin 37^\circ = 0, 6 \), \( \cos 37^\circ = 0, 8 \), \( g = 9, 8 \text{ m/s}^2 \) ).
a) Despreciando el aire, calcula el tiempo de vuelo hasta el agua y el alcance horizontal.
b) En vuelo horizontal, el móvil sufre resistencia lineal \( a_x = -\gamma v_x \) con \( \gamma = 0, 2 \text{ s}^{-1} \). Deduce \( v_x(t) \) e integra para hallar el alcance asintótico máximo.
c) En caída vertical, la cápsula activa un retrocohete expulsando masa a razón constante \( \frac{dM}{dt} = -0, 2 M_0 \) a velocidad de escape \( u_{\text{rel}} = 120 \text{ m/s} \) hacia abajo. Deduce la ley de aceleración vertical instantánea.
Balística inclinada y propulsión
a) Despreciando el aire, calcula el tiempo de vuelo hasta el agua y el alcance horizontal.
b) En vuelo horizontal, el móvil sufre resistencia lineal \( a_x = -\gamma v_x \) con \( \gamma = 0, 2 \text{ s}^{-1} \). Deduce \( v_x(t) \) e integra para hallar el alcance asintótico máximo.
c) En caída vertical, la cápsula activa un retrocohete expulsando masa a razón constante \( \frac{dM}{dt} = -0, 2 M_0 \) a velocidad de escape \( u_{\text{rel}} = 120 \text{ m/s} \) hacia abajo. Deduce la ley de aceleración vertical instantánea.
6.
Un sistema en cuña está formado por un plano izquierdo a \( \alpha = 30^\circ \) sobre el que se apoya un bloque \( m_1 = 4 \text{ kg} \) anclado a un resorte de constante \( k = 120 \text{ N/m} \), y un plano derecho a \( \beta = 45^\circ \) sobre el que descansa un bloque \( m_2 = 6 \text{ kg} \), conectados mediante cable y polea de vértice. Coeficiente de rozamiento dinámico \( \mu_c = 0, 15 \) en ambos planos ( \( g = 9, 8 \text{ m/s}^2 \) ).
a) Deduce la elongación estática de equilibrio del muelle en ausencia de rozamiento.
b) Con rozamiento, si el sistema se suelta desde el reposo con el muelle estirado \( x_0 = 0, 2 \text{ m} \), calcula la aceleración inicial de los bloques.
c) Calcula el trabajo del rozamiento y la velocidad alcanzada al pasar por la posición indeformada del muelle.
Sistema acoplado en cuña de doble plano
a) Deduce la elongación estática de equilibrio del muelle en ausencia de rozamiento.
b) Con rozamiento, si el sistema se suelta desde el reposo con el muelle estirado \( x_0 = 0, 2 \text{ m} \), calcula la aceleración inicial de los bloques.
c) Calcula el trabajo del rozamiento y la velocidad alcanzada al pasar por la posición indeformada del muelle.