Ejercicios · 35. Momento de inercia
4 ejercicios resueltos paso a paso.
35. Momento de inercia
1.
La molécula de metano ( \( \text{CH}_4 \) ) tiene cuatro átomos de hidrógeno localizados en los vértices de un tetraedro regular de lado \( 1, 4 \text{ nm} \) con el átomo de carbono en el centro. Calcula el momento de inercia de esta molécula respecto a un eje de rotación que pase a través del átomo de carbono y de uno de los átomos de hidrógeno.
2.
Dos masas \( M \) y \( m \) están conectadas por una varilla rígida de longitud \( L \) y masa despreciable. Demuestra que el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla es mínimo cuando el eje pasa por el centro de masas.
3.
Halla el momento de inercia de los siguientes cuerpos:
a) Un disco macizo uniforme de masa \( M \) y radio \( R \) respecto a un eje contenido en el plano del disco y que pase por su centro.
b) Un disco macizo uniforme de masa \( M \) y radio \( R \) respecto a un eje contenido en el plano del disco y tangente al disco.
c) Un cilindro hueco de masa \( M \) y radio \( R \) respecto a un eje perpendicular a las bases del cilindro y que pase por su centro.
d) Un cilindro macizo uniforme de masa \( M \) y radio \( R \) respecto a un eje perpendicular a las bases del cilindro y que pase por su centro.
e) Un disco macizo de masa \( M \) y radio \( R \) distribuida de forma que su densidad en función de la distancia al centro es \( \rho(r) = \rho_0\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \), respecto a su eje central perpendicular.
f) Un anillo semicircular homogéneo de radio externo \( R \), radio interno \( R/2 \) y masa \( M \), respecto a un eje perpendicular a su plano que pase por el punto central de los círculos.
a) Un disco macizo uniforme de masa \( M \) y radio \( R \) respecto a un eje contenido en el plano del disco y que pase por su centro.
b) Un disco macizo uniforme de masa \( M \) y radio \( R \) respecto a un eje contenido en el plano del disco y tangente al disco.
c) Un cilindro hueco de masa \( M \) y radio \( R \) respecto a un eje perpendicular a las bases del cilindro y que pase por su centro.
d) Un cilindro macizo uniforme de masa \( M \) y radio \( R \) respecto a un eje perpendicular a las bases del cilindro y que pase por su centro.
e) Un disco macizo de masa \( M \) y radio \( R \) distribuida de forma que su densidad en función de la distancia al centro es \( \rho(r) = \rho_0\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) \), respecto a su eje central perpendicular.
f) Un anillo semicircular homogéneo de radio externo \( R \), radio interno \( R/2 \) y masa \( M \), respecto a un eje perpendicular a su plano que pase por el punto central de los círculos.
4.
Una barra metálica unidimensional de masa \( M \) y longitud \( L \) tiene una densidad lineal no uniforme \( \lambda(x) = \lambda_0\left(1 + \frac{x^3}{L^3}\right) \), donde la coordenada \( x \) se mide desde el extremo izquierdo de la barra. Calcula el momento de inercia \( I \) respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa por el punto \( A \) situado en el extremo izquierdo ( \( x = 0 \) ) y respecto al eje perpendicular que pasa por el punto \( B \) situado en el extremo derecho ( \( x = L \) ). El centro de masas se encuentra a \( 44 \text{ cm} \) del punto \( B \), lo que confirma que \( B \) es el extremo derecho.
Datos: \( L = 1 \text{ m} \); \( M = 25 \text{ kg} \)
Datos: \( L = 1 \text{ m} \); \( M = 25 \text{ kg} \)