1. Concepto Fundamental de Matriz
Una matriz es una disposición u ordenación rectangular de números reales distribuidos en $$ m $$ filas horizontales y $$ n $$ columnas verticales. Cada uno de los valores numéricos que integran la estructura se denomina elemento o entrada de la matriz.
Al número de filas y de columnas se le denomina dimensión u orden de la matriz, y se expresa formalmente como:
Enunciado: Determinar la dimensión de la matriz $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 4 \end{pmatrix} $$ e identificar formalmente el espacio vectorial numérico al que pertenece.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por contar el número de líneas horizontales para establecer el número de filas de la matriz. A continuación contaremos las líneas verticales para determinar el número de columnas. Para terminar expresaremos el orden matricial en la notación canónica $$ m \times n $$ y formalizaremos su pertenencia al conjunto $$ \mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R}) $$.
Analizamos las líneas horizontales y verticales que estructuran la matriz:
- Líneas horizontales (filas): Fila 1 = $$ (1, 3, 5) $$, Fila 2 = $$ (2, 6, 4) $$ → $$ m = 2 $$ filas.
- Líneas verticales (columnas): Columna 1 = $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$, Columna 2 = $$ \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} $$, Columna 3 = $$ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} $$ → $$ n = 3 $$ columnas.
Combinamos el número de filas $$ m = 2 $$ con el número de columnas $$ n = 3 $$ bajo el formato estandarizado:
Conclusión: La matriz $$ A $$ posee dimensión rectangular $$ 2 \times 3 $$ (2 filas y 3 columnas) y pertenece de forma rigurosa al espacio matricial $$ \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$.
2. Notación de Elementos
Las matrices se designan habitualmente mediante letras mayúsculas ($$ A, B, C, \dots $$). Cada número individual de la matriz se designa con la misma letra en minúscula acompañada de dos subíndices:
- El primer subíndice ($$ i $$) indica el número de fila en la que se encuentra el elemento. Toma valores enteros en el rango $$ 1 \le i \le m $$.
- El segundo subíndice ($$ j $$) indica el número de columna en la que se ubica el elemento. Toma valores enteros en el rango $$ 1 \le j \le n $$.
Enunciado: En la matriz rectangular $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 4 \end{pmatrix} $$, identificar la posición y valor de los elementos $$ a_{12} $$, $$ a_{23} $$ y $$ a_{21} $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por recordar la regla nemotécnica de subíndices donde el primer índice designa la fila y el segundo la columna. A continuación localizaremos las coordenadas posicionales de cada entrada en la matriz. Para terminar extraeremos el valor numérico correspondiente a cada par de coordenadas.
Aplicamos el convenio posicional $$ a_{ij} $$ (fila $$ i $$, columna $$ j $$):
- Para $$ a_{12} $$: Intersección de la 1ª fila horizontal $$ (1, 3, 5) $$ con la 2ª columna vertical $$ \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} $$.
- Para $$ a_{23} $$: Intersección de la 2ª fila horizontal $$ (2, 6, 4) $$ con la 3ª columna vertical $$ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} $$.
- Para $$ a_{21} $$: Intersección de la 2ª fila horizontal $$ (2, 6, 4) $$ con la 1ª columna vertical $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$.
Conclusión: Los coeficientes extraídos son $$ a_{12} = 3 $$, $$ a_{23} = 4 $$ y $$ a_{21} = 2 $$, verificando que el primer subíndice rige la fila y el segundo la columna.
El orden de los subíndices es sagrado e inalterable: siempre se nombra primero la fila y en segundo lugar la columna. Una regla nemotécnica infalible para recordar el orden es el acrónimo FC (Fila antes que Columna) o la palabra Fútbol Club.
3. Matrices Cuadradas, Diagonales y Traza
Cuando el número de filas coincide exactamente con el número de columnas ($$ m = n $$), la matriz recibe el nombre de matriz cuadrada de orden $$ n $$, y se denota como $$ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $$.
En toda matriz cuadrada distinguimos dos diagonales y su traza:
- Diagonal Principal: Formada por los elementos con igual subíndice de fila y columna: $$ a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn} $$.
- Diagonal Secundaria: Formada por los elementos donde la suma de índices es igual a $$ n + 1 $$: $$ i + j = n + 1 $$.
- Traza de la matriz ($$ \text{tr} $$): Es la suma de todos los elementos de su diagonal principal: $$ \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} $$.
Enunciado: Dada la matriz cuadrada de orden 3, $$ B = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 \\ 7 & 4 & 2 \\ 9 & 8 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $$, identificar formalmente sus diagonales principal y secundaria y calcular el valor de su traza.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar los elementos donde coinciden los índices de fila y columna para delimitar la diagonal principal. A continuación localizaremos los elementos cuya suma de índices sea igual a orden más uno para la diagonal secundaria. Para terminar sumaremos todos los términos de la diagonal principal para determinar la traza.
Para la diagonal principal ($$ i = j $$):
Para la diagonal secundaria ($$ i + j = 3 + 1 = 4 $$):
Aplicamos la definición de traza sumando los coeficientes de la diagonal principal:
Conclusión: La diagonal principal está formada por los valores $$ \{3, 4, 1\} $$, la diagonal secundaria por $$ \{6, 4, 9\} $$ y la traza de la matriz es $$ \text{tr}(B) = 8 $$.
Ejemplos Prácticos con Diferentes Órdenes
Para asimilar plenamente el concepto, analizamos tres casos reales con matrices de órdenes completamente distintos:
Enunciado: Consideramos la matriz real dada por $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 4 \end{pmatrix} $$. Determinar su dimensión y extraer ordenadamente los elementos $$ a_{13} $$, $$ a_{22} $$ y $$ a_{21} $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por contar las filas y columnas para deducir el orden formal de la matriz. A continuación aplicaremos el sistema posicional de subíndices para ubicar las entradas solicitadas. Para terminar enunciaremos los valores numéricos correspondientes.
Contamos cuántas líneas horizontales y verticales componen la matriz:
- Filas: $$ F_1 = (1, 3, 5) $$, $$ F_2 = (2, 6, 4) $$ → 2 filas.
- Columnas: $$ C_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$, $$ C_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} $$, $$ C_3 = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} $$ → 3 columnas.
Por tanto, su orden es $$ 2 \times 3 $$ y pertenece al espacio vectorial $$ \mathcal{M}_{2 \times 3}(\mathbb{R}) $$.
Identificamos la intersección de cada fila y columna indicada:
- Elemento de la 1ª fila y 3ª columna: $$ a_{13} = 5 $$.
- Elemento de la 2ª fila y 2ª columna: $$ a_{22} = 6 $$.
- Elemento de la 2ª fila y 1ª columna: $$ a_{21} = 2 $$.
Conclusión: La matriz posee orden $$ 2 \times 3 $$ y los elementos seleccionados son $$ a_{13} = 5 $$, $$ a_{22} = 6 $$ y $$ a_{21} = 2 $$.
Enunciado: Consideramos la matriz cuadrada $$ B = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 6 \\ 7 & 4 & 2 \\ 9 & 8 & 1 \end{pmatrix} $$. Comprobar su orden cuadrado, listar sus diagonales y hallar su traza.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por certificar que el número de filas coincide con el de columnas para confirmar su naturaleza cuadrada. A continuación extraeremos ordenadamente los elementos de la diagonal principal y secundaria. Para terminar sumaremos los elementos de la diagonal principal para calcular la traza.
Dado que la matriz consta de 3 filas y 3 columnas ($$ m = n = 3 $$), es una matriz cuadrada perteneciente a $$ \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $$.
La diagonal principal está formada por los elementos con subíndices iguales ($$ i = j $$):
La diagonal secundaria está formada por los elementos donde $$ i + j = 4 $$:
Calculamos su traza sumando los coeficientes diagonales:
Conclusión: La matriz es cuadrada de orden 3 con traza igual a $$ \text{tr}(B) = 8 $$, coincidiendo la intersección de ambas diagonales en el elemento central $$ b_{22} = 4 $$.
Enunciado: Construir rigurosamente la matriz $$ C \in \mathcal{M}_{4 \times 2}(\mathbb{R}) $$ sabiendo que sus entradas se calculan mediante la fórmula algebraica: $$ c_{ij} = 2i - j $$.
Explicación: Para resolver este ejercicio empezaremos por definir el número total de filas y columnas que fija el orden $$ 4 \times 2 $$. A continuación evaluaremos la expresión aritmética $$ 2i - j $$ para cada par de coordenadas $$ (i, j) $$. Para terminar organizaremos los 8 resultados numéricos en una matriz de 4 filas y 2 columnas.
El orden $$ 4 \times 2 $$ indica que la matriz tendrá 4 filas ($$ i \in \{1, 2, 3, 4\} $$) y 2 columnas ($$ j \in \{1, 2\} $$), totalizando $$ 4 \times 2 = 8 $$ elementos.
Calculamos cada término aplicando estrictamente la fórmula sin omitir pasos:
- Fila 1 ($$ i = 1 $$):
$$ c_{11} = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 $$
$$ c_{12} = 2(1) - 2 = 2 - 2 = 0 $$ - Fila 2 ($$ i = 2 $$):
$$ c_{21} = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 $$
$$ c_{22} = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2 $$ - Fila 3 ($$ i = 3 $$):
$$ c_{31} = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 $$
$$ c_{32} = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4 $$ - Fila 4 ($$ i = 4 $$):
$$ c_{41} = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7 $$
$$ c_{42} = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6 $$
Organizando los 8 valores en sus respectivas filas y columnas obtenemos la matriz rectangular vertical:
Conclusión: La matriz construida a partir de la ley posicional $$ c_{ij} = 2i - j $$ es $$ C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ 5 & 4 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} $$.