1.1.5 Producto de matrices

Condición de multiplicabilidad de dos matrices

Dos matrices se pueden multiplicar solo si el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda.

Si $A $ es de orden $m \times n $ y $B $ es de orden $n \times p $, entonces el producto $A \cdot B $ existe.

El número interior $n $ debe coincidir en ambas;

si no coincide, el producto no está definido.

ð Ejemplo:

Si $A $ es de orden $2 \times 3 $ y $B $ es de orden $3 \times 2 $, el producto $A \cdot B $ existe, porque las dimensiones interiores coinciden (tres columnas y tres filas).

Orden de la matriz resultado

Cuando el producto existe, la matriz resultado toma las dimensiones exteriores:

si $A $ es de orden $m \times n $ y $B $ es de orden $n \times p $, entonces $A \cdot B $ es de orden $m \times p $

Por ejemplo, una matriz de orden $2 \times 3 $ por una de orden $3 \times 4 $ da una matriz de orden $2 \times 4 $

ð Ejemplo:

Con $A $ de orden $3 \times 2 $ y $B $ de orden $2 \times 4 $, la matriz producto $A \cdot B $ es de orden $3 \times 4 $: toma las dimensiones exteriores.

La regla de fila por columna

Cada elemento del producto se obtiene multiplicando la fila correspondiente de la primera matriz por la columna correspondiente de

la segunda, sumando los productos de los elementos emparejados.

La fórmula del elemento general es:

$$c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} $$

ð Ejemplo:

Para $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} $$, el elemento $c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19 $ se obtiene con la regla de fila por columna.

Traspuesta del producto de matrices

La traspuesta de un producto invierte el orden de los factores: $(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t $

Es fundamental respetar este cambio de orden, porque el producto de matrices no es conmutativo.

ð Ejemplo:

Con $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$ se verifica $$(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

ð Ejemplo 1: Producto de dos matrices cuadradas de orden dos

Calcula $A \cdot B $ siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que el producto existe y determinar el orden del resultado.

A continuación aplicaremos la regla de fila por columna a cada posición.

Para terminar escribiremos la matriz producto.

ð PASO 1

Comprobación de la compatibilidad.

$A $ es de orden $2 \times 2 $ y $B $ es de orden $2 \times 2 $: el número interior coincide, luego el producto existe y será de orden $2 \times 2 $

ð PASO 2

Aplicación de la regla de fila por columna.

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) & 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -4 & 11 \end{pmatrix} $$

Conclusión: El producto vale $$A \cdot B = \begin{pmatrix} -2 & 5 \\ -4 & 11 \end{pmatrix} $$

ð Ejemplo 2: Producto de una matriz de orden dos por tres por una de orden tres por dos

Calcula $A \cdot B $ siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar la compatibilidad de los órdenes y deducir el orden del resultado.

A continuación calcularemos los cuatro elementos con la regla de fila por columna.

Para terminar escribiremos la matriz producto de orden dos por dos.

ð PASO 1

Compatibilidad y orden del resultado.

$A $ es de orden $2 \times 3 $ y $B $ es de orden $3 \times 2 $: el tres interior coincide, luego el producto existe y será de orden $2 \times 2 $

ð PASO 2

Cálculo de la primera fila del producto.

Fila uno de $A $ por columna uno de $B $: $1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 8 $

Fila uno por columna dos: $1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 5 $

ð PASO 3

Cálculo de la segunda fila del producto.

Fila dos de $A $ por columna uno de $B $: $-1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 1 \cdot 3 = 1 $

Fila dos por columna dos: $-1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -2 $

Conclusión: El producto vale $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $$

ð Ejemplo 3: Comprobación de la traspuesta del producto

Dadas $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$, comprueba que $(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por multiplicar las matrices y trasponer el resultado.

A continuación traspondremos cada factor y los multiplicaremos en orden inverso.

Para terminar compararemos ambos resultados.

ð PASO 1

Producto y traspuesta del resultado.

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 0 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 & 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} $$

Trasponiendo: $$(A \cdot B)^t = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

ð PASO 2

Producto de las traspuestas en orden inverso.

$$B^t = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ y $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$

Multiplicando: $$B^t \cdot A^t = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & 3 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Conclusión: Ambos resultados coinciden, luego se verifica $(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t $

ð Ejemplo 4: El producto de matrices no es conmutativo

Dadas $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$, calcula $A \cdot B $ y $B \cdot A $, y comprueba que son distintos.

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el producto a por ve con la regla de fila por columna.

A continuación calcularemos el producto en el orden inverso, ve por a.

Para terminar compararemos las dos matrices obtenidas.

ð PASO 1

Cálculo de A por B.

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$

ð PASO 2

Cálculo de B por A.

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 & 0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

Conclusión: Como $$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$, queda demostrado que $A \cdot B \ne B \cdot A $: el producto de matrices no es conmutativo.

ð Ejemplo 5: Producto de una matriz por un vector columna

Calcula $A \cdot B $ siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} $$ y $$B = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar que el producto de la matriz de orden dos por tres por el vector columna de orden tres por uno está definido.

A continuación aplicaremos la regla de fila por columna a cada fila.

Para terminar escribiremos el vector columna resultado.

ð PASO 1

Compatibilidad de los órdenes.

$A $ es de orden $2 \times 3 $ y $B $ es de orden $3 \times 1 $: el tres interior coincide, luego el resultado será un vector columna de orden $2 \times 1 $

ð PASO 2

Cálculo de cada componente.

Primera fila por la columna: $1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = 12 $

Segunda fila por la columna: $0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 = -5 $

Conclusión: El producto vale $$A \cdot B = \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \end{pmatrix} $$