1.2.3 Determinantes de matrices de orden 2 y 3 por la regla de Sarrus

Determinante de una matriz de orden dos

El determinante de una matriz de orden dos es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria:

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c $$

Es la fórmula más básica y se usa constantemente dentro de cálculos mayores, por ejemplo al desarrollar un determinante de orden tres o superior.

📝 Ejemplo:

Aplicando la fórmula de orden dos: $$\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 15 - 2 = 13 $$

Determinante de orden tres: regla de Sarrus

Para una matriz de orden tres se usa la regla de Sarrus: se suman los productos de las tres diagonales descendentes y se restan los productos de las tres diagonales ascendentes.

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} $$

Un truco práctico es repetir las dos primeras columnas a la derecha y trazar las seis diagonales de tres elementos.

📝 Ejemplo:

Por la regla de Sarrus: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 40 + 0) - (15 + 24 + 0) = 40 - 39 = 1 $$

📝 Ejemplo 1: Determinante de orden dos con números negativos

Calcula $$\begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la diagonal principal y la diagonal secundaria.

A continuación multiplicaremos los elementos de cada diagonal.

Para terminar restaremos ambos productos.

👉 PASO 1

Productos de las diagonales.

Diagonal principal: $5 \cdot 4 = 20 $

Diagonal secundaria: $-2 \cdot 3 = -6 $

👉 PASO 2

Resta de los productos.

$$\begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 20 - (-6) = 20 + 6 = 26 $$

✅ Conclusión

El determinante vale veintiséis.

📝 Ejemplo 2: Aplicación paso a paso de la regla de Sarrus

Calcula por Sarrus $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los tres productos de las diagonales descendentes.

A continuación calcularemos los tres productos de las diagonales ascendentes.

Para terminar restaremos ambas sumas.

👉 PASO 1

Suma de las diagonales descendentes.

$1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 $, $2 \cdot 4 \cdot 5 = 40 $ y $3 \cdot 0 \cdot 6 = 0 $

La suma es $0 + 40 + 0 = 40 $

👉 PASO 2

Suma de las diagonales ascendentes.

$3 \cdot 1 \cdot 5 = 15 $, $1 \cdot 4 \cdot 6 = 24 $ y $2 \cdot 0 \cdot 0 = 0 $

La suma es $15 + 24 + 0 = 39 $

👉 PASO 3

Resta de las dos sumas.

$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix} = 40 - 39 = 1 $$

✅ Conclusión

El determinante vale uno.

📝 Ejemplo 3: Sarrus con ceros que simplifican las cuentas

Calcula $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar Sarrus observando que muchos productos contienen un cero.

A continuación sumaremos solo los productos no nulos de cada sentido.

Para terminar restaremos ambas sumas.

👉 PASO 1

Diagonales descendentes.

$2 \cdot 3 \cdot (-1) = -6 $; los otros dos productos contienen un cero y valen cero.

Suma: menos seis.

👉 PASO 2

Diagonales ascendentes.

$1 \cdot 3 \cdot 4 = 12 $; los otros dos productos contienen un cero y valen cero.

Suma: doce.

👉 PASO 3

Resultado final.

$$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -6 - 12 = -18 $$

✅ Conclusión

El determinante vale menos dieciocho.

Cuando hay muchos ceros, también se puede desarrollar por la fila o columna con más ceros.

📝 Ejemplo 4: Determinante de orden tres con números negativos

Calcula por Sarrus $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ -2 & 0 & 5 \end{vmatrix} $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los tres productos descendentes cuidando los signos.

A continuación calcularemos los tres productos ascendentes.

Para terminar restaremos la segunda suma de la primera.

👉 PASO 1

Productos de las diagonales descendentes.

$2 \cdot 4 \cdot 5 = 40 $, $-1 \cdot 1 \cdot (-2) = 2 $ y $3 \cdot 0 \cdot 0 = 0 $

Suma: $40 + 2 + 0 = 42 $

👉 PASO 2

Productos de las diagonales ascendentes.

$3 \cdot 4 \cdot (-2) = -24 $, $2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 $ y $-1 \cdot 0 \cdot 5 = 0 $

Suma: menos veinticuatro.

👉 PASO 3

Resta de las sumas.

$$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ -2 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 42 - (-24) = 42 + 24 = 66 $$

✅ Conclusión

El determinante vale sesenta y seis.

📝 Ejemplo 5: Determinante con un parámetro

Halla los valores de $\lambda $ para los que $$\begin{vmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 2 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = 0 $$

💡 Explicación

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el determinante por Sarrus dejando el parámetro lambda sin sustituir.

A continuación igualaremos a cero la expresión obtenida.

Para terminar resolveremos la ecuación sacando factor común.

👉 PASO 1

Cálculo del determinante por Sarrus.

Descendentes: $$\lambda \cdot \lambda \cdot \lambda = \lambda^3 $$, $1 \cdot 1 \cdot 0 = 0 $ y $0 \cdot 2 \cdot 1 = 0 $

Ascendentes: $0 \cdot \lambda \cdot 0 = 0 $, $\lambda \cdot 1 \cdot 1 = \lambda $ y $1 \cdot 2 \cdot \lambda = 2\lambda $

El determinante es $$\lambda^3 - (\lambda + 2\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda $$

👉 PASO 2

Igualación a cero y resolución.

$$\lambda^3 - 3\lambda = 0 $$

Sacando factor común: $\lambda(\lambda^2 - 3) = 0 $, de donde $\lambda = 0 $ o $\lambda^2 = 3 $

👉 PASO 3

Soluciones de la ecuación cuadrática.

De $\lambda^2 = 3 $ obtenemos $\lambda = \sqrt{3} $ y $\lambda = -\sqrt{3} $

✅ Conclusión

El determinante se anula para $\lambda = 0 $, $\lambda = \sqrt{3} $ y $\lambda = -\sqrt{3} $