2.10.7 Distancia entre dos rectas que se cruzan

Fórmula por el producto mixto

Dadas dos rectas $ r$ y $ s$ que se cruzan en el espacio, determinadas por $(A,\vec{u})$ y $(B,\vec{v})$, la distancia mínima entre ellas es la altura del paralelepípedo formado por $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{AB}$:

$$d(r,s) = \frac{|[\vec{u},\vec{v},\vec{AB}]|}{|\vec{u}\times\vec{v}|} = \frac{|\det(\vec{u},\vec{v},\vec{AB})|}{|\vec{u}\times\vec{v}|} $$

El numerador es el volumen del paralelepípedo y el denominador el área de su base, por lo que el cociente es la altura: la mínima distancia entre las rectas.

Si el producto mixto es cero, las rectas son coplanarias (se cortan o son paralelas).

📝 Ejemplo:

Para $r: (0, 0, 0) + \lambda(1, 0, 0) $ y $$s: (0, 1, 1) + \mu(0, 1, 0) ,\ \text{con}\\\vec{u} = (1, 0, 0) $$, $\vec{v} = (0, 1, 0) $ y $\overrightarrow{AB} = (0, 1, 1) $: $[\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{AB}] = 1 $ y $|\vec{u} \times \vec{v}| = 1 $, luego $d(r, s) = 1 $

Método de la perpendicular común

Alternativamente, la distancia es la longitud del segmento perpendicular común a ambas rectas: se buscan $ P \in r$ y $ Q \in s$ tales que $\vec{PQ}$ sea perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, y entonces $ d(r,s) = |\vec{PQ}|$

📝 Ejemplo:

La perpendicular común a las rectas anteriores es el eje $OZ $, con puntos de apoyo $P(0, 0, 0) \in r $ y $Q(0, 0, 1) \in s $: su longitud $|\overrightarrow{PQ}| = 1 $ es la distancia mínima.

📝 Ejemplo 1: Aplicación directa del producto mixto

Calcula la distancia entre $ r$, que pasa por $ A(1,0,0)$ con $\vec{u} = (1,0,0)$, y $ s$, que pasa por $ B(0,1,2)$ con $\vec{v} = (0,1,0)$

💡 Explicación

Calculamos $\vec{AB}$, el producto vectorial $\vec{u}\times\vec{v}$ y el producto mixto $[\vec{u},\vec{v},\vec{AB}]$, y aplicamos la fórmula.

👉 PASO 1

Vectores y producto vectorial

$$\vec{AB} = (0-1, 1-0, 2-0) = (-1,1,2) $$

$$\vec{u}\times\vec{v} = (1,0,0)\times(0,1,0) = (0,0,1) $$

$$|\vec{u}\times\vec{v}| = 1$$

👉 PASO 2

Producto mixto y distancia

$$[\vec{u},\vec{v},\vec{AB}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot 2-0\cdot 1) = 2 $$

$$d(r,s) = \frac{|2|}{1} = 2 $$

✅ Conclusión

La distancia mínima entre las rectas es de $2$ unidades.

📝 Ejemplo 2: Detección de rectas secantes

Calcula la distancia entre $ r: (x,y,z) = (1,0,0)+\lambda(1,1,0)$ y $ s: (x,y,z) = (0,0,2)+\mu(0,1,1)$

💡 Explicación

Aplicamos la fórmula del producto mixto;

si el resultado es cero, las rectas se cortan (o son paralelas) y la distancia es nula.

👉 PASO 1

Datos y producto vectorial

$ A(1,0,0)$, $ B(0,0,2)$, $\vec{AB} = (-1,0,2)$, $\vec{u} = (1,1,0)$, $\vec{v} = (0,1,1)$

$$\vec{u}\times\vec{v} = (1\cdot 1-0\cdot 1,\ 0\cdot 0-1\cdot 1,\ 1\cdot 1-1\cdot 0) = (1,-1,1) $$

$$|\vec{u}\times\vec{v}| = \sqrt{3}$$

👉 PASO 2

Producto mixto

$$[\vec{u},\vec{v},\vec{AB}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot(1\cdot 2-1\cdot 0)-1\cdot(0\cdot 2-1\cdot(-1)) = 2-1 = 1 $$

$$d(r,s) = \frac{1}{\sqrt{3} }= \frac{\sqrt{3}}{3} $$

✅ Conclusión

Las rectas se cruzan y su distancia mínima es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ unidades.

📝 Ejemplo 3: Distancia con vectores generales

Halla la distancia entre $ r: (x,y,z) = (0,1,0)+\lambda(1,1,1)$ y $ s: (x,y,z) = (1,0,1)+\mu(1,-1,0)$

💡 Explicación

Seguimos el procedimiento general: vector $\vec{AB}$, producto vectorial de los directores y producto mixto.

👉 PASO 1

Vectores

$A(0,1,0)$, $ B(1,0,1)$, $\vec{AB} = (1,-1,1) $

$\vec{u} = (1,1,1)$, $\vec{v} = (1,-1,0)$

$$\vec{u}\times\vec{v} = (1\cdot 0-1\cdot(-1),\ 1\cdot 1-1\cdot 0,\ 1\cdot(-1)-1\cdot 1) = (1,1,-2) $$

$$|\vec{u}\times\vec{v}| = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$$

👉 PASO 2

Producto mixto y distancia

$$[\vec{u},\vec{v},\vec{AB}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot((-1)(1)-0\cdot(-1))-1\cdot(1\cdot 1-0\cdot 1)+1\cdot(1\cdot(-1)-(-1)\cdot 1) = -1-1+0 = -2 $$

$$d(r,s) = \frac{|-2|}{\sqrt{6} }= \frac{2}{\sqrt{6} }= \frac{\sqrt{6}}{3} $$

✅ Conclusión

La distancia mínima es $\frac{\sqrt{6}}{3}$ unidades.

📝 Ejemplo 4: Perpendicular común

Halla la perpendicular común a las rectas $ r: (x,y,z) = \lambda(1,0,0)$ (eje $ OX$) y $ s: (x,y,z) = (0,1,1)+\mu(0,1,0)$, y calcula la distancia entre ellas.

💡 Explicación

Buscamos $ P \in r$ y $ Q \in s$ tales que $\vec{PQ}$ sea perpendicular a ambos vectores directores; la recta $ PQ$ es la perpendicular común y su longitud la distancia.

👉 PASO 1

Condiciones de perpendicularidad

$ P(\lambda,0,0)$, $ Q(0,1+\mu,1)$, $\vec{PQ} = (-\lambda, 1+\mu, 1)$

$$\vec{PQ}\cdot\vec{u} = -\lambda = 0 \;\Rightarrow\; \lambda = 0 $$

$$\vec{PQ}\cdot\vec{v} = 1+\mu = 0 \;\Rightarrow\; \mu = -1 $$

Luego $ P(0,0,0)$ y $ Q(0,0,1)$

👉 PASO 2

Perpendicular común y distancia

La perpendicular común pasa por $ P$ con dirección $\vec{PQ} = (0,0,1)$: es el eje $ OZ$

$$d(r,s) = |\vec{PQ}| = 1 $$

✅ Conclusión

La perpendicular común es el eje $ OZ$ y la distancia es $1$ unidad.

📝 Ejemplo 5: Distancia entre dos rectas que se cruzan con parámetro

Halla el valor del parámetro $m $ para que la distancia entre las rectas que se cruzan $r: x = y = z $ y $s: x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z - m}{1} $ sea igual a $\frac{1}{\sqrt{6}} $

💡 Explicación

Para resolver este problema determinaremos un punto y el vector director de cada una de las dos rectas.

A continuación calcularemos el producto mixto del vector conector y los dos vectores directores, así como el módulo del producto vectorial de estos últimos.

Finalmente aplicaremos la fórmula general de la distancia entre dos rectas que se cruzan e igualaremos al valor numérico requerido para despejar el parámetro.

👉 PASO 1

Elementos característicos de las rectas.

Para la recta $r $:

Pasa por el origen $P(0, 0, 0) $ y su vector director es $\vec{u} = (1, 1, 1) $

Para la recta $s $:

Pasa por el punto $Q(1, 0, m) $ y su vector director es $\vec{v} = (1, 2, 1) $

El vector que une ambos puntos es:

$$\vec{PQ} = (1 - 0, 0 - 0, m - 0) = (1, 0, m) $$

👉 PASO 2

Producto vectorial de los vectores directores.

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1(1) - 1(2)) \vec{i} - (1(1) - 1(1)) \vec{j} + (1(2) - 1(1)) \vec{k} = (-1, 0, 1) $$

El módulo del producto vectorial es:

$$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} $$

👉 PASO 3

Producto mixto y numerador de la distancia.

$$[\vec{PQ}, \vec{u}, \vec{v}] = \vec{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (1, 0, m) \cdot (-1, 0, 1) = 1(-1) + 0(0) + m(1) = m - 1 $$

👉 PASO 4

Expresión de la distancia e igualación.

La distancia entre las dos rectas que se cruzan es:

$$d(r, s) = \frac{|[\vec{PQ}, \vec{u}, \vec{v}]|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \frac{|m - 1|}{\sqrt{2}} $$

Igualamos a la distancia pedida $\frac{1}{\sqrt{6}} $:

$$\frac{|m - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \implies |m - 1| = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

Esto proporciona dos soluciones para el parámetro $m $:

$$m - 1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies m_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} $$

$$m - 1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies m_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} $$

✅ Conclusión

Los valores del parámetro para los cuales la distancia entre ambas rectas que se cruzan es exactamente $\frac{1}{\sqrt{6}} $ son $m = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} $ y $m = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} $