2.11.3 Proyeccion de una recta sobre un plano

Definición y procedimiento

La proyección ortogonal de una recta $r $ sobre un plano $\pi $ es la recta $r' $ formada por las proyecciones de todos los puntos de $r $ sobre $\pi $

Para construirla utilizamos el plano proyectante $\pi' $: es el plano que contiene a la recta $r $ y es perpendicular a $\pi $

Sus dos vectores directores son el vector director de la recta, $\vec{v}_r $, y el vector normal del plano, $\vec{n}_\pi $

La recta proyectada es la intersección de los dos planos:

$$r' = \pi \cap \pi' $$

Casos particulares:

si la recta es perpendicular al plano, su proyección no es una recta sino un único punto, el de corte $r \cap \pi $;

si la recta es paralela al plano, la proyección es una recta paralela a $r $ contenida en $\pi $;

si la recta está contenida en el plano, coincide con su proyección.

ð Ejemplo:

La proyección ortogonal de la recta $r: (0, 0, 1) + \lambda(1, 0, 0) $ sobre el plano $\pi: z = 0 $ usa el plano proyectante $y = 0 $, generado por $(1, 0, 0) $ y la dirección vertical: $r' = \pi \cap \pi' $ es el eje $OX $

ð Ejemplo 1: Proyección sobre el plano XY

Proyectar la recta $r: (x, y, z) = (1, 0, 1) + \lambda(1, 1, 0) $ sobre el plano $\pi: z = 0 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por construir el plano proyectante que contiene a la recta y es perpendicular al plano.

A continuación intersectaremos ambos planos.

ð PASO 1

Plano proyectante.

Tomamos el punto $A(1, 0, 1) \in r $ y los vectores $\vec{v}_r = (1, 1, 0) $ y $\vec{n}_\pi = (0, 0, 1) $

La ecuación del plano proyectante es el determinante igualado a cero:

$$\pi': \begin{vmatrix} x-1 & y & z-1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$

Desarrollando el determinante se obtiene:

$$\pi': x - y - 1 = 0 $$

ð PASO 2

Intersección con el plano.

La recta proyectada es la intersección de los dos planos:

$$r': \begin{cases} x - y - 1 = 0 \\ z = 0 \end{cases} $$

En paramétricas, tomando $y = \lambda $:

$$r': (x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda(1, 1, 0) $$

Conclusión: La proyección es la recta $r': x - y - 1 = 0, \; z = 0 $

ð Ejemplo 2: Proyección sobre el plano XY de una recta oblicua

Hallar la proyección de la recta $$r: x = \lambda, \; y = 2\lambda, \; z = 1+\lambda $$ sobre el plano $\pi: z = 0 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por construir el plano proyectante con el punto y los vectores adecuados.

A continuación lo intersectaremos con el plano dado.

ð PASO 1

Plano proyectante.

El punto $A(0, 0, 1) \in r $ (para $\lambda = 0 $), el vector director $\vec{v}_r = (1, 2, 1) $ y el normal $\vec{n}_\pi = (0, 0, 1) $ determinan el plano proyectante:

$$\pi': \begin{vmatrix} x & y & z-1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$

Desarrollando el determinante se obtiene:

$$\pi': 2x - y = 0 $$

ð PASO 2

Intersección.

$$r': \begin{cases} 2x - y = 0 \\ z = 0 \end{cases} $$

Conclusión: La proyección es la recta $r': 2x - y = 0, \; z = 0 $

ð Ejemplo 3: Proyección sobre un plano oblicuo

Hallar la proyección de la recta $$r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{-1} $$ sobre el plano $\pi: x - y + z = 3 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por extraer un punto y el vector director de la recta.

A continuación construiremos el plano proyectante.

Para terminar lo intersectaremos con el plano dado.

ð PASO 1

Punto y vector director de la recta.

De la forma continua: $A(1, 0, 2) \in r $ y $\vec{v}_r = (1, 2, -1) $

El vector normal del plano es $\vec{n}_\pi = (1, -1, 1) $

ð PASO 2

Plano proyectante.

El plano proyectante contiene a $A $ y tiene por vectores directores a $\vec{v}_r $ y $\vec{n}_\pi $

Su ecuación, como determinante igualado a cero, es:

$$\pi': \begin{vmatrix} x-1 & y & z-2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 $$

Desarrollando por la primera fila:

$$\pi': (x-1) - 2y - 3(z-2) = 0 $$

$$\pi': x - 2y - 3z + 5 = 0 $$

ð PASO 3

Intersección de los planos.

La recta proyectada es:

$$r': \begin{cases} x - y + z = 3 \\ x - 2y - 3z + 5 = 0 \end{cases} $$

Como comprobación, el punto $A(1, 0, 2) $ verifica el plano proyectante: $1 - 0 - 6 + 5 = 0 $

El vector director de la recta proyectada, perpendicular a ambas normales, es $(5, 4, -1) $

Conclusión: La proyección es la recta $r': x - y + z = 3, \; x - 2y - 3z + 5 = 0 $

ð Ejemplo 4: Recta perpendicular al plano

Determinar la proyección de la recta $r: (x, y, z) = (0, 0, 5) + \lambda(1, 1, 1) $ sobre el plano $\pi: x + y + z = 3 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por estudiar la posición relativa de la recta respecto del plano.

A continuación, al ser perpendicular, calcularemos su punto de corte.

ð PASO 1

Posición relativa.

El vector director es $\vec{v}_r = (1, 1, 1) $ y el vector normal del plano es $\vec{n}_\pi = (1, 1, 1) $

Como son proporcionales, la recta es perpendicular al plano.

Por tanto su proyección ortogonal no es una recta, sino el punto de corte $r \cap \pi $

ð PASO 2

Punto de corte.

Sustituimos las paramétricas $$x = \lambda, \; y = \lambda, \; z = 5+\lambda $$ en el plano:

$$\lambda + \lambda + (5+\lambda) = 3 $$

$$3\lambda + 5 = 3 \rightarrow \lambda = -\frac{2}{3} $$

El punto de corte es $$\left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{13}{3}\right) $$

Conclusión: La proyección de la recta sobre el plano es el punto $$\left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{13}{3}\right) $$

ð Ejemplo 5: Proyección ortogonal de una recta secante sobre un plano

Halla las ecuaciones paramétricas y continuas de la proyección ortogonal de la recta $$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-1} $$ sobre el plano $\pi: x + 2y - z + 3 = 0 $

Explicación:

Para resolver este problema determinaremos primero el plano proyectante de la recta sobre el plano dado.

Dicho plano proyectante contiene a la recta y es perpendicular al plano dado, por lo que su vector normal se obtiene mediante el producto vectorial del vector director de la recta y el vector normal del plano.

La recta proyectada resultará de la intersección del plano proyectante con el plano original.

ð PASO 1

Vectores directores y normal.

Vector director de la recta $r $: $\vec{v}_r = (2, 1, -1) $

Vector normal del plano $\pi $: $\vec{n}_{\pi} = (1, 2, -1) $

Punto conocido de la recta: $P(1, -1, 2) $

ð PASO 2

Vector normal del plano proyectante.

El plano proyectante $\pi' $ contiene a la recta y es perpendicular a $\pi $, por lo que su vector normal $\vec{n}_{\pi'} $ es perpendicular a ambos vectores:

$$\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r \times \vec{n}_{\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (1(-1) - (-1)(2))\vec{i} - (2(-1) - (-1)(1))\vec{j} + (2(2) - 1(1))\vec{k} = (1, 1, 3) $$

ð PASO 3

Ecuación del plano proyectante.

Como pasa por $P(1, -1, 2) $:

$$1(x - 1) + 1(y + 1) + 3(z - 2) = 0 \implies x + y + 3z - 6 = 0 $$

ð PASO 4

Intersección del plano proyectante con el plano dado.

La recta proyección $r' = \pi \cap \pi' $ viene dada por el sistema implícito:

$$ \begin{cases} x + 2y - z + 3 = 0 \\ x + y + 3z - 6 = 0 \end{cases} $$

El vector director de la proyección es el producto vectorial de las normales:

$$\vec{v}_{r'} = \vec{n}_{\pi} \times \vec{n}_{\pi'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (6 - (-1))\vec{i} - (3 - (-1))\vec{j} + (1 - 2)\vec{k} = (7, -4, -1) $$

Para hallar un punto de $r' $, fijamos $z = 0 $:

$$x + 2y = -3 $$

$$x + y = 6 \implies y = -9, \quad x = 15 $$

Punto de la proyección: $Q(15, -9, 0) $

ð PASO 5

Ecuaciones continuas de la proyección.

$$\frac{x - 15}{7} = \frac{y + 9}{-4} = \frac{z}{-1} $$

Conclusión: La proyección ortogonal de la recta sobre el plano tiene vector director $\vec{v}_{r'} = (7, -4, -1) $ y su ecuación continua es $$\frac{x - 15}{7} = \frac{y + 9}{-4} = \frac{z}{-1} $$