2.12.2 Haz de planos que contienen a una recta

Definición y ecuación del haz con arista

Dada una recta $r $ expresada como intersección de dos planos secantes $\pi_1: A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 $ y $\pi_2: A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 $, el haz de planos que contienen a la recta (haz de arista $r $) es la combinación lineal:

$$\alpha(A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1) + \beta(A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2) = 0 $$

Tomando $\beta = 1 $ se obtiene la forma de parámetro único:

$$(A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1) + \lambda(A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2) = 0, \quad \lambda \in \mathbb{R} $$

Esta forma genera todos los planos del haz excepto el plano $\pi_2 $, que solo se obtendría con $\lambda $ tendiendo a infinito.

Todo plano del haz contiene a la recta $r $, y su vector normal $\vec{n}_\lambda $ depende del parámetro.

ð Ejemplo:

La recta $r: \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} $ (el eje $OZ $) determina el haz $\lambda x + \mu y = 0 $: todos sus planos contienen al eje $OZ $

Condiciones habituales sobre el haz

Plano del haz que pasa por un punto exterior $P $: se sustituyen sus coordenadas y se despeja $\lambda $

Plano del haz paralelo a una recta de vector director $\vec{v} $: se impone $\vec{n}_\lambda \cdot \vec{v} = 0 $

Plano del haz perpendicular a un plano de vector normal $\vec{n} $: se impone $\vec{n}_\lambda \cdot \vec{n} = 0 $

ð Ejemplo:

El plano del haz $\lambda x + \mu y = 0 $ que pasa por $P(1, 2, 3) $ verifica $\lambda + 2\mu = 0 $; con $\mu = 1 $ queda el plano $-2x + y = 0 $

ð Ejemplo 1: Plano del haz que pasa por el origen

Dada la recta $$r: \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ 2x + z - 3 = 0 \end{cases} $$, halla el plano del haz que la contiene y pasa por el origen $O(0, 0, 0) $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación del haz con el parámetro $\lambda $

A continuación sustituiremos el origen para hallar $\lambda $

Para terminar eliminaremos el denominador y escribiremos el plano.

ð PASO 1

Ecuación del haz.

$$(x - y + 1) + \lambda(2x + z - 3) = 0 $$

Desarrollando: $$(1 + 2\lambda)x - y + \lambda z + (1 - 3\lambda) = 0 $$

ð PASO 2

Paso por el origen y plano final.

Con $O(0, 0, 0) $: $$1 - 3\lambda = 0 \rightarrow \lambda = \frac{1}{3} $$

Multiplicando por 3:

$$3(x - y + 1) + (2x + z - 3) = 5x - 3y + z = 0 $$

Conclusión: El plano es $5x - 3y + z = 0 $

ð Ejemplo 2: Plano del haz perpendicular a otro plano

Dada la recta $$r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2y - z + 3 = 0 \end{cases} $$, halla el plano del haz que la contiene y es perpendicular al plano $\sigma: x - y + z - 1 = 0 $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación del haz y su vector normal.

A continuación impondremos la condición de perpendicularidad entre normales.

Para terminar despejaremos $\lambda $ y escribiremos el plano.

ð PASO 1

Ecuación del haz y su vector normal.

$$(x + y - 1) + \lambda(2y - z + 3) = 0 \rightarrow x + (1 + 2\lambda)y - \lambda z + (-1 + 3\lambda) = 0 $$

$$\vec{n}_\lambda = (1, 1 + 2\lambda, -\lambda) $$

ð PASO 2

Condición de perpendicularidad.

Dos planos son perpendiculares cuando sus vectores normales son ortogonales.

Con $\vec{n}_\sigma = (1, -1, 1) $:

$$\vec{n}_\lambda \cdot \vec{n}_\sigma = 1(1) + (1 + 2\lambda)(-1) + (-\lambda)(1) = -3\lambda = 0 $$

$$\lambda = 0 $$

Conclusión: El plano es $x + y - 1 = 0 $, es decir, el propio plano $\pi_1 $ que define el haz.

ð Ejemplo 3: Plano del haz paralelo a una recta

Halla el plano del haz que contiene a la recta $$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{1} $$ y es paralelo a la recta $$s: \frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z}{2} $$

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por pasar la recta $r $ a forma implícita.

A continuación escribiremos el haz e impondremos que su normal sea ortogonal al vector director de $s $

Para terminar despejaremos $\lambda $ y simplificaremos la ecuación del plano.

ð PASO 1

Forma implícita de r y ecuación del haz.

$$\frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} \rightarrow 3x - 2y - 3 = 0 $$

$$\frac{y}{3} = \frac{z+2}{1} \rightarrow y - 3z - 6 = 0 $$

El haz es $(3x - 2y - 3) + \lambda(y - 3z - 6) = 0 $, con normal $$\vec{n}_\lambda = (3, -2 + \lambda, -3\lambda) $$

ð PASO 2

Condición de paralelismo con s.

El vector director de $s $ es $\vec{v}_s = (1, -1, 2) $

Para que el plano sea paralelo a $s $, su normal debe ser ortogonal a $\vec{v}_s $:

$$\vec{n}_\lambda \cdot \vec{v}_s = 3(1) + (-2 + \lambda)(-1) + (-3\lambda)(2) = 5 - 7\lambda = 0 $$

$$\lambda = \frac{5}{7} $$

ð PASO 3

Ecuación del plano.

Sustituyendo y multiplicando por 7 para eliminar denominadores:

$$7(3x - 2y - 3) + 5(y - 3z - 6) = 21x - 9y - 15z - 51 = 0 $$

Dividiendo entre 3:

Conclusión: El plano es $7x - 3y - 5z - 17 = 0 $

ð Ejemplo 4: Plano del haz perpendicular a un plano

Halla el plano del haz que contiene a la recta $$r: \begin{cases} x + y - z = 0 \\ x - y + z - 2 = 0 \end{cases} $$ y es perpendicular al plano $\sigma: x + 2y - z + 1 = 0 $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación del haz y su vector normal.

A continuación impondremos que sea ortogonal al vector normal de $\sigma $

Para terminar despejaremos $\lambda $ y escribiremos el plano.

ð PASO 1

Ecuación del haz y su vector normal.

$$(x + y - z) + \lambda(x - y + z - 2) = 0 \rightarrow (1 + \lambda)x + (1 - \lambda)y + (-1 + \lambda)z - 2\lambda = 0 $$

$$\vec{n}_\lambda = (1 + \lambda, 1 - \lambda, -1 + \lambda) $$

ð PASO 2

Condición de perpendicularidad.

Con $\vec{n}_\sigma = (1, 2, -1) $:

$$\vec{n}_\lambda \cdot \vec{n}_\sigma = (1 + \lambda)(1) + (1 - \lambda)(2) + (-1 + \lambda)(-1) = 4 - 2\lambda = 0 $$

$$\lambda = 2 $$

ð PASO 3

Ecuación del plano.

$$(x + y - z) + 2(x - y + z - 2) = 3x - y + z - 4 = 0 $$

Conclusión: El plano es $3x - y + z - 4 = 0 $

ð Ejemplo 5: Plano del haz que pasa por un punto

Halla el plano del haz que contiene a la recta $$r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{3} $$ y pasa por el punto $P(-1, 2, 0) $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por pasar la recta $r $ a forma implícita.

A continuación escribiremos el haz y sustituiremos el punto $P $

Para terminar despejaremos $\lambda $ y escribiremos el plano.

ð PASO 1

Forma implícita de r y ecuación del haz.

$$\frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} \rightarrow x + 2y - 1 = 0 $$

$$\frac{y}{-1} = \frac{z}{3} \rightarrow 3y + z = 0 $$

El haz es $(x + 2y - 1) + \lambda(3y + z) = 0 $

ð PASO 2

Paso por el punto P.

Con $P(-1, 2, 0) $:

$$(-1 + 4 - 1) + \lambda(6 + 0) = 2 + 6\lambda = 0 \rightarrow \lambda = -\frac{1}{3} $$

ð PASO 3

Ecuación del plano.

Multiplicando por 3: $$3(x + 2y - 1) - (3y + z) = 3x + 3y - z - 3 = 0 $$

Conclusión: El plano es $3x + 3y - z - 3 = 0 $