2.12.3 Haz de planos perpendiculares a una recta

Definición y ecuación del haz de planos perpendiculares a una recta

Dada una recta $r $ con vector director $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $, el haz de planos perpendiculares a $r $ está formado por todos los planos cuyo vector normal es paralelo a $\vec{v} $

Su ecuación es:

$$v_1 x + v_2 y + v_3 z + k = 0, \quad k \in \mathbb{R} $$

Geométricamente es un haz de planos paralelos entre sí (un caso particular del haz de planos paralelos), cuya dirección normal coincide con la dirección de la recta.

El plano del haz que pasa por un punto $P $ se obtiene sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del haz.

ð Ejemplo:

Dada la recta de vector director $\vec{v} = (1, 2, -1) $, el haz de planos perpendiculares a ella es $x + 2y - z + D = 0 $, porque todos tienen por vector normal una dirección paralela a $\vec{v} $

ð Ejemplo 1: Plano perpendicular a una recta por un punto

Halla el plano perpendicular a la recta $$r: \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+4}{-1} $$ que pasa por el punto $P(0, 1, 5) $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por extraer el vector director de $r $, que será el vector normal del plano.

A continuación escribiremos la ecuación del haz.

Para terminar hallaremos $k $ con el punto $P $

ð PASO 1

Vector normal y ecuación del haz.

El vector director de $r $ es $\vec{v}_r = (3, 2, -1) $, luego el haz de planos perpendiculares a $r $ es:

$$3x + 2y - z + k = 0 $$

ð PASO 2

Determinación de k con el punto.

Imponemos que el plano pase por $P(0, 1, 5) $:

$$ 3(0) + 2(1) - 5 + k = -3 + k = 0 \implies k = 3 $$

Conclusión: El plano es $3x + 2y - z + 3 = 0 $

ð Ejemplo 2: Plano perpendicular a una recta paramétrica por el origen

Halla el plano perpendicular a la recta $r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(1, -2, 2) $ que pasa por el origen $O(0, 0, 0) $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación del haz tomando como normal el vector director de $r $

A continuación impondremos el paso por el origen.

Para terminar escribiremos el plano.

ð PASO 1

Ecuación del haz.

Con $\vec{v}_r = (1, -2, 2) $ como vector normal:

$$x - 2y + 2z + k = 0 $$

ð PASO 2

Paso por el origen.

Con $O(0, 0, 0) $: $k = 0 $

Conclusión: El plano es $x - 2y + 2z = 0 $

ð Ejemplo 3: Plano perpendicular por el punto medio de un segmento

Halla el plano perpendicular a la recta $$r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-4}{-2} $$ que pasa por el punto medio del segmento de extremos $A(1, 0, 3) $ y $B(5, 2, -1) $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular el punto medio del segmento.

A continuación escribiremos la ecuación del haz con el vector director de $r $ como normal.

Para terminar hallaremos $k $ con el punto medio.

ð PASO 1

Punto medio del segmento.

$$M = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = (3, 1, 1) $$

ð PASO 2

Ecuación del haz.

Con $\vec{v}_r = (1, 3, -2) $ como vector normal:

$$x + 3y - 2z + k = 0 $$

ð PASO 3

Determinación de k con el punto medio.

$$3 + 3(1) - 2(1) + k = 4 + k = 0 \rightarrow k = -4 $$

Conclusión: El plano es $x + 3y - 2z - 4 = 0 $

ð Ejemplo 4: Distancia entre dos planos del haz

Calcula la distancia entre los dos planos del haz perpendicular a la recta $r: (x, y, z) = t(2, -1, 3) $ que pasan por $A(1, 1, 1) $ y $B(4, 0, -2) $ respectivamente.

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por escribir la ecuación del haz.

A continuación hallaremos los dos planos que pasan por $A $ y por $B $

Para terminar aplicaremos la fórmula de la distancia entre planos paralelos.

ð PASO 1

Ecuación del haz.

Con $\vec{v}_r = (2, -1, 3) $ como vector normal:

$$2x - y + 3z + k = 0 $$

ð PASO 2

Los dos planos del haz.

Por $A(1, 1, 1) $: $2 - 1 + 3 + k = 4 + k = 0 \rightarrow k = -4 $

Plano: $2x - y + 3z - 4 = 0 $

Por $B(4, 0, -2) $: $8 - 0 - 6 + k = 2 + k = 0 \rightarrow k = -2 $

Plano: $2x - y + 3z - 2 = 0 $

ð PASO 3

Distancia entre los dos planos.

$$d = \frac{|-4 - (-2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} }= \frac{2}{\sqrt{14} }= \frac{\sqrt{14}}{7} $$

Conclusión: La distancia entre ambos planos del haz es $\frac{\sqrt{14}}{7} $ unidades.

ð Ejemplo 5: Plano perpendicular a una recta en forma implícita

Halla el plano perpendicular a la recta $$r: \begin{cases} 2x - y + z - 1 = 0 \\ x + 3z - 2 = 0 \end{cases} $$ que pasa por el punto $P(2, -1, 4) $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por hallar el vector director de $r $ como producto vectorial de las normales de los dos planos.

A continuación escribiremos la ecuación del haz.

Para terminar hallaremos $k $ con el punto $P $

ð PASO 1

Vector director de r.

Con $\vec{n}_1 = (2, -1, 1) $ y $\vec{n}_2 = (1, 0, 3) $:

$$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = (-3, -5, 1) $$

ð PASO 2

Ecuación del haz.

Tomando $\vec{v}_r $ como vector normal:

$$-3x - 5y + z + k = 0 $$

ð PASO 3

Determinación de k con el punto.

$$-3(2) - 5(-1) + 4 + k = -6 + 5 + 4 + k = 3 + k = 0 \rightarrow k = -3 $$

Conclusión: El plano es $-3x - 5y + z - 3 = 0 $, es decir, $3x + 5y - z + 3 = 0 $