2.3.3 Área del paralelogramo y del triángulo

1. Área del paralelogramo

Geométricamente, un paralelogramo de lados $\vec{u} $ y $\vec{v} $ tiene por base $|\vec{u}| $ y por altura $$h = |\vec{v}| \cdot \operatorname{sen}(\alpha) $$, donde $\alpha $ es el ángulo que forman.

Por tanto, su área coincide exactamente con el módulo del producto vectorial:

$$\text{Área}_{\text{paralelogramo}} = |\vec{u} \times \vec{v}| $$

ð Ejemplo:

El paralelogramo de lados $\vec{u} = (2, 0, 0) $ y $\vec{v} = (0, 3, 0) $ tiene área $|\vec{u} \times \vec{v}| = |(0, 0, 6)| = 6 $, que coincide con base por altura: $2 \cdot 3 = 6 $

2. Área del triángulo en el espacio

Dados tres puntos no alineados $A $, $B $ y $C $ del espacio, el triángulo que determinan es exactamente la mitad del paralelogramo sustentado por los vectores de dos lados contiguos $\vec{AB} $ y $\vec{AC} $

Por tanto:

$$\text{Área}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| $$

ð Ejemplo:

El triángulo de vértices $A(0, 0, 0) $, $B(2, 0, 0) $ y $C(0, 3, 0) $ tiene área $$\frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$, la mitad del paralelogramo anterior.

ð Ejemplo 1: Área de un paralelogramo en el espacio

Halla el área del paralelogramo sustentado por los vectores $\vec{u} = (3, 1, 0) $ y $\vec{v} = (0, 2, 4) $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el producto vectorial de los dos vectores mediante el determinante formal.

A continuación calcularemos el módulo del vector obtenido.

Para terminar identificaremos ese módulo con el área del paralelogramo.

ð PASO 1

Cálculo del producto vectorial.

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = (4, -12, 6) $$

ð PASO 2

Cálculo del módulo e identificación con el área.

$$\text{Área} = |\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 144 + 36} = \sqrt{196} = 14 $$

Conclusión: El área del paralelogramo es $14 $ unidades cuadradas.

ð Ejemplo 2: Área de un triángulo dados sus vértices

Calcula el área del triángulo de vértices $A(1, 1, 1) $, $B(2, 3, 1) $ y $C(1, 2, 3) $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por obtener los vectores de dos lados contiguos del triángulo restando coordenadas.

A continuación calcularemos su producto vectorial y su módulo.

Para terminar dividiremos por dos para obtener el área del triángulo.

ð PASO 1

Vectores de los lados contiguos.

$$\vec{AB} = B - A = (2 - 1, 3 - 1, 1 - 1) = (1, 2, 0), \quad \vec{AC} = C - A = (1 - 1, 2 - 1, 3 - 1) = (0, 1, 2) $$

ð PASO 2

Producto vectorial y su módulo.

$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (4, -2, 1) $$

$$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} $$

ð PASO 3

Área del triángulo.

$$\text{Área}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{21}}{2} $$

Conclusión: El área del triángulo es $\frac{\sqrt{21}}{2} $ unidades cuadradas.

ð Ejemplo 3: Altura de un paralelogramo

Halla la altura del paralelogramo del Ejemplo 1 trazada sobre el lado determinado por el vector $\vec{u} = (3, 1, 0) $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar la relación entre el área, la base y la altura de un paralelogramo.

A continuación calcularemos el módulo de la base.

Para terminar despejaremos la altura.

ð PASO 1

Relación entre área, base y altura.

En todo paralelogramo se verifica $\text{Área} = \text{base} \cdot h $, de donde:

$$h = \frac{\text{Área}}{|\vec{u}|} $$

ð PASO 2

Cálculo del módulo de la base.

$$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $$

ð PASO 3

Cálculo de la altura.

Del Ejemplo 1 sabemos que el área vale $14 $ unidades cuadradas:

$$h = \frac{14}{\sqrt{10} }= \frac{14\sqrt{10}}{10} = \frac{7\sqrt{10}}{5} $$

Conclusión: La altura sobre el lado $\vec{u} $ mide $\frac{7\sqrt{10}}{5} $ unidades.

ð Ejemplo 4: Área de un triángulo con vértices generales

Halla el área del triángulo de vértices $A(1, 0, 1) $, $B(2, 1, 2) $ y $C(3, 0, 4) $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular los vectores de dos lados contiguos.

A continuación obtendremos su producto vectorial mediante el determinante formal.

Para terminar calcularemos su módulo y dividiremos por dos.

ð PASO 1

Vectores de los lados.

$$\vec{AB} = (1, 1, 1), \quad \vec{AC} = (2, 0, 3) $$

ð PASO 2

Producto vectorial.

$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (3, -1, -2) $$

ð PASO 3

Módulo y área del triángulo.

$$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} $$

$$\text{Área}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\sqrt{14} = \frac{\sqrt{14}}{2} $$

Conclusión: El área del triángulo es $\frac{\sqrt{14}}{2} $ unidades cuadradas.

ð Ejemplo 5: Área y altura de un triángulo en el espacio

Dados los vértices $A(0, 0, 0) $, $B(1, 2, 0) $ y $C(0, 1, 3) $, halla el área del triángulo $ABC $ y la longitud de la altura trazada desde el vértice $C $ sobre el lado $AB $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el área del triángulo mediante el producto vectorial.

A continuación usaremos la relación entre el área, la base y la altura del triángulo.

Para terminar despejaremos la altura desde el vértice C.

ð PASO 1

Área del triángulo.

Los vectores de los lados que concurren en $A $ son $\vec{AB} = (1, 2, 0) $ y $\vec{AC} = (0, 1, 3) $

Su producto vectorial es:

$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (6, -3, 1) $$

$$\text{Área}_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2}\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 1^2} = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 9 + 1} = \frac{\sqrt{46}}{2} $$

ð PASO 2

Altura desde el vértice $C $

En todo triángulo $\text{Área} = \frac{\text{base} \cdot h}{2} $, de donde $h = \frac{2 \cdot \text{Área}}{|\vec{AB}|} $

Calculamos el módulo de la base:

$$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5} $$

Sustituyendo:

$$h_C = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{46}}{2}}{\sqrt{5} }= \frac{\sqrt{46}}{\sqrt{5} }= \frac{\sqrt{230}}{5} $$

Conclusión: El área del triángulo es $\frac{\sqrt{46}}{2} $ unidades cuadradas, y la altura desde $C $ mide $\frac{\sqrt{230}}{5} $ unidades.