2.7.3 Plano que contiene a dos rectas paralelas
1. Construcción del plano de dos rectas paralelas distintas Dadas dos rectas paralelas distintas \(r\) y \(s\), con puntos base \(A_r\) y \(A_s\) y vectores directores proporcionales \(\vec{d}_r \parallel \vec{d}_s\), el plano común \(\pi\) queda determinado por el punto \(A_r\) y los vectores \(\vec{d}_r\) y \(\overrightarrow{A_r A_s} = A_s - A_r\), que es el vector transversal que une ambas rectas: \(\begin{vmatrix} x - x_{Ar} & y - y_{Ar} & z - z_{Ar} \\ d_{r1} & d_{r2} & d_{r3} \\ x_{As} - x_{Ar} & y_{As} - y_{Ar} & z_{As} - z_{Ar} \end{vmatrix} = 0\) Es imprescindible comprobar primero que las rectas son paralelas distintas y no coincidentes: los vectores deben ser proporcionales y el punto de una no debe pertenecer a la otra. Ejemplo: Las rectas paralelas distintas \(r: (0, 0, 0) + \lambda(1, 0, 0)\) y \(s: (0, 1, 0) + \mu(1, 0, 0)\) determinan el plano generado por el vector director común \((1, 0, 0)\) y el vector \(\overrightarrow{A_rA_s} = (0, 1, 0)\), es decir, el plano \(z = 0\) 2. Distancia entre dos rectas paralelas La distancia entre dos rectas paralelas \(r\) y \(s\) coincide con la distancia de cualquier punto de una de ellas a la otra recta. Tomando \(A_s \in s\) y el vector director \(\vec{d}_r\), la fórmula general con letras es: \(d(r, s) = \frac{|\overrightarrow{A_r A_s} \times \vec{d}_r|}{|\vec{d}_r|}\) El numerador es el área del paralelogramo formado por el vector transversal y el vector director, y al dividir por la base se obtiene la altura, que es la distancia buscada. Ejemplo: La distancia entre las rectas paralelas anteriores es \(d(r, s) = \frac{|(0, 1, 0) \times (1, 0, 0)|}{|(1, 0, 0)|} = \frac{|(0, 0, -1)|}{1} = 1\), la separación entre los puntos \((0, 0, 0)\) y \((0, 1, 0)\) Ejemplo 1: Plano común a dos rectas paralelas Halla el plano que contiene a las rectas paralelas \(r: \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{-1}\) y \(s: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}\)
Para resolver este apartado empezaremos por comprobar que las rectas son paralelas distintas. A continuación extraeremos los puntos base y el vector transversal. Para terminar plantearemos el determinante del plano y lo desarrollaremos.
Comprobación de paralelismo.
Los vectores directores son \(\vec{d}_r = (2, 1, -1)\) y \(\vec{d}_s = (2, 1, -1)\), proporcionales. Los puntos base son \(A_r(0, 1, -2)\) y \(A_s(1, 0, 0)\) Como \(\frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2} \neq \frac{0 - 1}{1} = -1\), \(A_r \notin s\): son paralelas distintas.
Vector transversal y determinante.
El vector transversal es \(\overrightarrow{A_r A_s} = (1 - 0, 0 - 1, 0 - (-2)) = (1, -1, 2)\)
Operando:
El plano buscado es \(\pi: x - 5y - 3z - 1 = 0\)
Calcula la distancia entre las rectas \(r: \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{-1}\) y \(s: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1}\)
Para resolver este apartado empezaremos por escribir la fórmula general de la distancia entre rectas paralelas. A continuación listaremos los datos particulares que vamos a sustituir. Para terminar calcularemos el producto vectorial y los módulos.
Fórmula general y datos particulares.
La fórmula general con letras es \(d(r, s) = \frac{|\overrightarrow{A_r A_s} \times \vec{d}_r|}{|\vec{d}_r|}\) Los datos particulares son \(\overrightarrow{A_r A_s} = (1, -1, 2)\) y \(\vec{d}_r = (2, 1, -1)\)
Producto vectorial y módulos.
Calculamos el producto vectorial:
Sus módulos son:
Sustituyendo en la fórmula:
La distancia entre las rectas es \(d(r, s) = \frac{\sqrt{210}}{6}\) unidades.
Halla el plano que contiene a \(r: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{-1}\) y a \(s: \frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 3}{-1}\)
Para resolver este apartado empezaremos por verificar el paralelismo y la distinción de las rectas. A continuación hallaremos el vector transversal. Para terminar desarrollaremos el determinante del plano.
Paralelismo y puntos base.
Los vectores \(\vec{d}_r = (1, 2, -1)\) y \(\vec{d}_s = (1, 2, -1)\) son proporcionales. Con \(A_r(0, 1, 0)\) y \(A_s(2, 0, 3)\), se tiene \(\frac{2 - 0}{1} = 2 \neq \frac{0 - 1}{2}\), luego \(A_s \notin r\): son paralelas distintas.
Determinante del plano.
El vector transversal es \(\overrightarrow{A_r A_s} = (2 - 0, 0 - 1, 3 - 0) = (2, -1, 3)\)
Dividiendo por cinco:
El plano buscado es \(\pi: x - y - z + 1 = 0\)
Halla el plano determinado por las rectas \(r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + \lambda(1, 0, 0)\) y \(s: (x, y, z) = (0, 0, 1) + \mu(1, 0, 0)\)
Para resolver este apartado empezaremos por identificar la dirección común y los puntos base. A continuación comprobaremos que no son coincidentes. Para terminar calcularemos el plano con el determinante.
Dirección común y distinción.
Ambas rectas tienen dirección \(\vec{d} = (1, 0, 0)\), paralela al eje \(OX\) Los puntos base son \(A_r(1, 2, 3)\) y \(A_s(0, 0, 1)\) Como \(A_s\) no verifica \(y = 2\), no pertenece a \(r\): son paralelas distintas.
Determinante del plano.
El vector transversal es \(\overrightarrow{A_r A_s} = (0 - 1, 0 - 2, 1 - 3) = (-1, -2, -2)\)
Simplificando:
El plano buscado es \(\pi: y - z + 1 = 0\)
Dadas las rectas \(r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(2, 1, -1)\) y \(s: \frac{x - 3}{4} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 1}{-2}\), estudia su posición relativa, halla el plano que las contiene y calcula la distancia entre ellas.
Para resolver este apartado empezaremos por estudiar la posición relativa comparando los vectores directores y la pertenencia de puntos. A continuación hallaremos el plano común con el determinante. Para terminar aplicaremos la fórmula de la distancia entre rectas paralelas.
Posición relativa.
Los vectores son \(\vec{d}_r = (2, 1, -1)\) y \(\vec{d}_s = (4, 2, -2) = 2\vec{d}_r\), luego son paralelas. Con \(A_r(1, 0, 2)\) y \(A_s(3, 2, 1)\), si \(A_s\) estuviera en \(r\) sería \(1 + 2\lambda = 3\), es decir \(\lambda = 1\), pero entonces \(y = 1 \neq 2\) Son paralelas distintas.
Plano común.
El vector transversal es \(\overrightarrow{A_r A_s} = (3 - 1, 2 - 0, 1 - 2) = (2, 2, -1)\)
Operando: \((x - 1) + 2(z - 2) = 0 \rightarrow x + 2z - 5 = 0\)
Distancia entre las rectas.
Aplicamos la fórmula general \(d(r, s) = \frac{|\overrightarrow{A_r A_s} \times \vec{d}_r|}{|\vec{d}_r|}\) con los datos \(\overrightarrow{A_r A_s} = (2, 2, -1)\) y \(\vec{d}_r = (2, 1, -1)\)
Las rectas son paralelas distintas, el plano que las contiene es \(\pi: x + 2z - 5 = 0\) y la distancia entre ellas es \(d(r, s) = \frac{\sqrt{30}}{6}\) unidades.