2.8.3 Posición relativa de una recta y un plano

Estudio por el producto escalar del vector director y el vector normal

Dada una recta $r $ con punto $A $ y vector director $\vec{v} $, y un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0 $ con vector normal $\vec{n} = (A, B, C) $, la posición relativa se decide con el producto escalar $\vec{v} \cdot \vec{n} $

Secantes (se cortan en un único punto): ocurre si $\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0 $

La dirección de la recta no es paralela al plano, por lo que la recta lo atraviesa.

Paralela al plano (sin puntos comunes): ocurre si $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 $ y además $A \notin \pi $

La dirección es paralela al plano pero no hay intersección.

Contenida en el plano ($r \subset \pi $): ocurre si $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 $ y además $A \in \pi $

Todos los puntos de la recta están en el plano.

📝 Ejemplo:

La recta de vector director $\vec{v} = (1, 0, 0) $ y el plano $\pi: x = 5 $, de vector normal $\vec{n} = (1, 0, 0) $, verifican $\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \neq 0 $: la recta y el plano son secantes.

Enfoque por sistemas de ecuaciones lineales

Si la recta viene dada como intersección de dos planos $$r: \begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases} $$ y el plano es $\pi: A_3 x + B_3 y + C_3 z + D_3 = 0 $, se forma el sistema de tres ecuaciones con matriz de coeficientes $M $ y ampliada $M^\prime $:

$\text{rg}(M) = 3, \text{rg}(M^\prime) = 3 $ implica sistema compatible determinado: secantes en un punto.

$\text{rg}(M) = 2, \text{rg}(M^\prime) = 3 $ implica sistema incompatible: paralelos sin intersección.

$\text{rg}(M) = 2, \text{rg}(M^\prime) = 2 $ implica sistema compatible indeterminado: recta contenida en el plano.

📝 Ejemplo:

La recta $r: \begin{cases} y = 0 \\ z = 0 \end{cases} $ y el plano $\pi: x + y + z = 2 $ forman el sistema de tres ecuaciones cuya única solución es $(2, 0, 0) $: se cortan en ese punto.

📝 Ejemplo 1: Recta y plano secantes

Estudia la posición relativa de la recta de vector director $\vec{v} = (1, 2, -1) $ y el plano $\pi: 2x - y + 3z - 5 = 0 $

💡 Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por extraer el vector normal del plano.

A continuación calcularemos el producto escalar con el vector director.

Para terminar clasificaremos la posición según el resultado.

👉 PASO 1

Vectores y producto escalar.

El vector normal es $\vec{n} = (2, -1, 3) $

Calculamos:

$$\vec{v} \cdot \vec{n} = 1(2) + 2(-1) + (-1)(3) = 2 - 2 - 3 = -3 \neq 0 $$

👉 PASO 2

Clasificación.

Al ser el producto escalar distinto de cero, la dirección de la recta no es paralela al plano.

✅ Conclusión

La recta y el plano son secantes: se cortan en un único punto.

📝 Ejemplo 2: Recta paralela al plano

Estudia la posición relativa de la recta de vector director $\vec{v} = (1, -2, 1) $ que pasa por $A(0, 0, 1) $, y el plano $\pi: 2x + y - 5 = 0 $

💡 Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el producto escalar del vector director con el vector normal.

A continuación, al anularse, comprobaremos si el punto pertenece al plano.

Para terminar distinguiremos entre paralela y contenida.

👉 PASO 1

Producto escalar.

Con $\vec{n} = (2, 1, 0) $:

$$\vec{v} \cdot \vec{n} = 1(2) + (-2)(1) + 1(0) = 2 - 2 + 0 = 0 $$

👉 PASO 2

Pertenencia del punto.

Sustituimos $A(0, 0, 1) $ en el plano:

$$2(0) + (0) - 5 = -5 \neq 0 $$

luego $A \notin \pi $

✅ Conclusión

La recta es paralela al plano, sin ningún punto en común.

📝 Ejemplo 3: Recta contenida en el plano

Estudia la posición relativa de $r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + \lambda(2, -1, 1) $ y $\pi: x + y - z - 2 = 0 $

💡 Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por calcular el producto escalar.

A continuación comprobaremos la pertenencia del punto base al plano.

Para terminar concluiremos la posición.

👉 PASO 1

Producto escalar.

Con $\vec{v} = (2, -1, 1) $ y $\vec{n} = (1, 1, -1) $:

$$\vec{v} \cdot \vec{n} = 2(1) + (-1)(1) + 1(-1) = 2 - 1 - 1 = 0 $$

👉 PASO 2

Pertenencia del punto.

Con $A(1, 1, 0) $:

$$1 + 1 - 0 - 2 = 0 $$

luego $A \in \pi $

✅ Conclusión

La recta está totalmente contenida en el plano: $r \subset \pi $

📝 Ejemplo 4: Punto de corte entre recta y plano secantes

Estudia la posición relativa de $$r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1} $$ y $\pi: x + 2y + z - 3 = 0 $, y halla el punto de corte si existe.

💡 Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por decidir la posición con el producto escalar.

A continuación escribiremos la recta en paramétricas.

Para terminar la sustituiremos en el plano y despejaremos el parámetro.

👉 PASO 1

Posición relativa.

Con $\vec{v} = (2, -1, 1) $ y $\vec{n} = (1, 2, 1) $:

$$\vec{v} \cdot \vec{n} = 2(1) + (-1)(2) + 1(1) = 2 - 2 + 1 = 1 \neq 0 $$

Son secantes: existe un único punto de corte.

👉 PASO 2

Paramétricas y sustitución.

Las paramétricas son $$x = 1 + 2\lambda, \; y = -1 - \lambda, \; z = \lambda $$

Sustituimos en el plano:

$$(1 + 2\lambda) + 2(-1 - \lambda) + \lambda - 3 = 0 $$

Operando: $$1 + 2\lambda - 2 - 2\lambda + \lambda - 3 = \lambda - 4 = 0 $$, de donde $\lambda = 4 $

👉 PASO 3

Punto de corte.

Sustituyendo el parámetro:

$$P = (1 + 2(4), -1 - 4, 4) = (9, -5, 4) $$

Comprobación: $9 + 2(-5) + 4 - 3 = 9 - 10 + 4 - 3 = 0 $

✅ Conclusión

La recta y el plano son secantes y se cortan en $P(9, -5, 4) $

📝 Ejemplo 5: Parámetro para el paralelismo

Halla el valor de $k $ para que la recta $$r: \begin{cases} x = 1 + k t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{cases} $$ sea paralela al plano $\pi: 2x - y + z - 1 = 0 $, y estudia si está contenida en él.

💡 Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por imponer la anulación del producto escalar para hallar k.

A continuación comprobaremos la pertenencia del punto base.

Para terminar distinguiremos entre paralela exterior y contenida.

👉 PASO 1

Condición de paralelismo.

El vector director es $\vec{v} = (k, -1, 1) $ y el normal $\vec{n} = (2, -1, 1) $

Imponemos:

$$\vec{v} \cdot \vec{n} = k(2) + (-1)(-1) + 1(1) = 2k + 1 + 1 = 2k + 2 = 0 $$

de donde $2k = -2 \rightarrow k = -1 $

👉 PASO 2

Pertenencia del punto base.

Con $k = -1 $, el punto base es $A(1, 2, 0) $:

$$2(1) - (2) + (0) - 1 = 2 - 2 - 1 = -1 \neq 0 $$

luego $A \notin \pi $

✅ Conclusión

Para $k = -1 $ la recta es paralela exterior al plano, sin puntos comunes.

📝 Ejemplo 6: Recta implícita contenida en el plano

Estudia la posición relativa de $$r: \begin{cases} x - y = 1 \\ y + z = 2 \end{cases} $$ y $\pi: x + z = 3 $ por el método de rangos.

💡 Explicación

Para resolver este apartado empezaremos por formar el sistema de tres ecuaciones con su matriz de coeficientes y su ampliada.

A continuación estudiaremos los rangos observando las dependencias.

Para terminar aplicaremos el criterio del sistema.

👉 PASO 1

Sistema y matrices.

El sistema formado por las dos ecuaciones de $r $ y la de $\pi $ tiene matriz de coeficientes:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Sumando las dos primeras ecuaciones de la recta: $(x - y) + (y + z) = 1 + 2 $, es decir $x + z = 3 $, que es exactamente la ecuación de $\pi $

Por tanto la tercera fila es combinación de las dos primeras y $\text{rg}(M) = 2 $; lo mismo ocurre con la ampliada, luego $\text{rg}(M^\prime) = 2 $

👉 PASO 2

Clasificación del sistema.

Con $\text{rg}(M) = \text{rg}(M^\prime) = 2 $ menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

✅ Conclusión

La recta está totalmente contenida en el plano: $r \subset \pi $