3.1.3 Funcion compuesta

Definición y cálculo de la función compuesta

Dadas dos funciones $f $ y $g $, la función compuesta $(g \circ f) $, leída "efe compuesta con jee", aplica en primer lugar $f $ y a continuación $g $:

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) $$

Para calcularla se sustituye la expresión completa de $f(x) $ en el lugar de la variable de $g $

La composición no es conmutativa: en general $(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) $, porque el orden de aplicación cambia el resultado.

En cambio sí es asociativa: $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f $

📝 Ejemplo:

Con $f(x) = x^2 $ y $g(x) = x + 1 $: $(g \circ f)(x) = x^2 + 1 $, mientras que $(f \circ g)(x) = (x + 1)^2 $: el orden sí importa.

Dominio de la función compuesta

Para que $(g \circ f)(x) $ tenga sentido, $x $ debe pertenecer al dominio de $f $ y además el valor $f(x) $ debe pertenecer al dominio de $g $:

$$\text{Dom}(g \circ f) = \{ x \in \text{Dom}(f) \mid f(x) \in \text{Dom}(g) \} $$

📝 Ejemplo:

Con $f(x) = \sqrt{x} $ y $g(x) = \frac{1}{x} $, la compuesta $(g \circ f)(x) = \frac{1}{\sqrt{x} } $ exige $x > 0 $: $x $ debe estar en el dominio de $f $ y $f(x) $ en el de $g $

📝 Ejemplo 1: Composición algebraica directa y no conmutatividad

Sean $f(x) = 2x - 3 $ y $g(x) = x^2 + 1 $

Calcula $(g \circ f)(x) $ y $(f \circ g)(x) $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular $(g \circ f)(x) $ sustituyendo $f(x) $ dentro de $g $

A continuación calcularemos $(f \circ g)(x) $ sustituyendo en el orden inverso.

Para terminar compararemos ambos resultados.

👉 PASO 1

Cálculo de g compuesta con f.

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x - 3) = (2x - 3)^2 + 1 $$

Desarrollamos el cuadrado:

$$(2x - 3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 9 + 1 = 4x^2 - 12x + 10 $$

👉 PASO 2

Cálculo de f compuesta con g.

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 3 $$

Operamos:

$$2(x^2 + 1) - 3 = 2x^2 + 2 - 3 = 2x^2 - 1 $$

✅ Conclusión

$(g \circ f)(x) = 4x^2 - 12x + 10 $ y $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 1 $, luego $(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) $: la composición no es conmutativa.

📝 Ejemplo 2: Dominio de una función compuesta

Sean $f(x) = x - 2 $ y $g(x) = \sqrt{x} $

Calcula $(g \circ f)(x) $ y su dominio.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la expresión de la composición.

A continuación aplicaremos la regla del dominio de la composición: $x $ debe estar en el dominio de $f $ y $f(x) $ en el dominio de $g $

Para terminar resolveremos la condición resultante.

👉 PASO 1

Expresión de la composición.

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x - 2) = \sqrt{x - 2} $$

👉 PASO 2

Dominio de la composición.

El dominio de $f $ es todo $\mathbb{R} $

La condición $f(x) \in \text{Dom}(g) $ exige que el radicando sea no negativo:

$$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2 $$

✅ Conclusión

$(g \circ f)(x) = \sqrt{x - 2} $ con $\text{Dom}(g \circ f) = [2, +\infty) $

📝 Ejemplo 3: Composición triple y asociatividad

Sean $f(x) = x + 1 $, $g(x) = x^2 $ y $h(x) = \sqrt{x} $

Calcula $(h \circ (g \circ f))(x) $ y comprueba que coincide con $((h \circ g) \circ f)(x) $

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la composición interior $(g \circ f)(x) $

A continuación aplicaremos $h $ al resultado.

Para terminar repetiremos el cálculo agrupando de la otra forma y compararemos.

👉 PASO 1

Composición interior y aplicación de h.

$$(g \circ f)(x) = g(x + 1) = (x + 1)^2 $$

Aplicamos $h $:

$$(h \circ (g \circ f))(x) = h((x + 1)^2) = \sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1| $$

Como el radicando es un cuadrado, siempre es no negativo y el dominio es todo $\mathbb{R} $

👉 PASO 2

Agrupación alternativa.

$$(h \circ g)(x) = h(x^2) = \sqrt{x^2} = |x| $$

$$((h \circ g) \circ f)(x) = |x + 1| $$

✅ Conclusión

Ambas agrupaciones dan $|x + 1| $, lo que confirma la asociatividad de la composición.

📝 Ejemplo 4: Descomposición de una función y su dominio

Expresa la función $h(x) = \ln(x^2 - 3x + 2) $ como composición de dos funciones sencillas y halla su dominio.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la función interior y la exterior cuya composición produce $h $

A continuación aplicaremos la regla del dominio de la composición.

Para terminar resolveremos la inecuación resultante.

👉 PASO 1

Descomposición en funciones sencillas.

Tomamos la función interior $f(x) = x^2 - 3x + 2 $ y la exterior $g(t) = \ln t $

Entonces:

$$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \ln(x^2 - 3x + 2) = h(x) $$

👉 PASO 2

Dominio de la composición.

El dominio de $f $ es todo $\mathbb{R} $

La condición $f(x) \in \text{Dom}(g) $ exige argumento del logaritmo estrictamente positivo:

$$x^2 - 3x + 2 > 0 $$

Factorizamos:

$$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) > 0 $$

La parábola abre hacia arriba y sus raíces son $x = 1 $ y $x = 2 $, luego es positiva fuera de ellas:

$$x < 1 \quad \text{o} \quad x > 2 $$

✅ Conclusión

$h = g \circ f $ con $$\text{Dom}(h) = (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) $$

📝 Ejemplo 5: Autocomposición con restricciones de dominio

Sea $f(x) = \frac{1}{x + 1} $

Calcula $(f \circ f)(x) $ y su dominio.

💡 Explicación

Para resolver este ejercicio empezaremos por calcular la autocomposición sustituyendo $f(x) $ dentro de sí misma y simplificando la fracción resultante.

A continuación aplicaremos la regla del dominio: $x $ debe estar en el dominio de $f $ y $f(x) $ también.

Para terminar resolveremos ambas condiciones.

👉 PASO 1

Cálculo de la autocomposición.

$$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x + 1} + 1} $$

Sumamos en el denominador:

$$\frac{1}{x + 1} + 1 = \frac{1 + (x + 1)}{x + 1} = \frac{x + 2}{x + 1} $$

Invertimos la fracción:

$$(f \circ f)(x) = \frac{x + 1}{x + 2} $$

👉 PASO 2

Dominio de la autocomposición.

Primera condición, $x \in \text{Dom}(f) $: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 $

Segunda condición, $f(x) \in \text{Dom}(f) $: $\frac{1}{x + 1} \neq -1 $, es decir $x + 1 \neq -1 \implies x \neq -2 $

✅ Conclusión

$(f \circ f)(x) = \frac{x + 1}{x + 2} $ con $$\text{Dom}(f \circ f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1\} $$