Los números cuánticos

Del modelo de Bohr al átomo mecanocuántico

En mil novecientos trece, Niels Bohr introdujo un modelo atómico pionero capaz de predecir con exactitud las líneas del espectro del hidrógeno mediante órbitas circulares cuantizadas.

No obstante, dicho modelo adolecía de graves limitaciones: no podía extenderse a átomos polielectrónicos y violaba el principio de incertidumbre de Heisenberg al asignar simultáneamente posición y velocidad exactas a los electrones.

La mecánica cuántica moderna sustituyó definitivamente la hipótesis de trayectorias u órbitas deterministas por la descripción ondulatoria de funciones de onda espaciales, denotadas por la letra griega psi.

El estado estacionario de un electrón en un átomo se obtiene al resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

$$\hat{H}\,\psi = E\,\psi $$

donde el operador hamiltoniano incluye la energía cinética del electrón y la energía potencial coulómbica de atracción electrostática ejercida por la carga positiva del núcleo.

Al imponer a la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas las condiciones de contorno físicas (que la función de onda sea univaluada, continua y cuadráticamente integrable en todo el espacio tridimensional), surgen de manera obligada tres constantes enteras denominadas números cuánticos espaciales.

Cada autofunción solución admisible se denomina orbital atómico, y de acuerdo con el postulado de Born, su módulo al cuadrado describe la densidad de probabilidad espacial de encontrar al electrón en un volumen infinitesimal dado.

Definición y significado físico de los cuatro números cuánticos

El estado cuántico de un electrón dentro de cualquier estructura atómica queda unívocamente determinado por un conjunto de cuatro números cuánticos:

El número cuántico principal, denotado por la letra $n $, toma valores enteros estrictamente positivos:

$$n = 1, 2, 3, 4, \dots $$

Determina el nivel o capa cuántica fundamental, el tamaño volumétrico medio del orbital y la energía del electrón (de forma exclusiva en especies hidrogenoides).

Las capas reciben históricamente las letras mayúsculas K, L, M, N, etcétera.

Por ejemplo, el nivel $n = 2 $, la capa L, describe orbitales de mayor tamaño y energía que el nivel $n = 1 $, la capa K.

El número cuántico azimutal o del momento angular orbital, denotado por la letra $l $, toma valores enteros condicionados por el número cuántico principal:

$$l = 0, 1, 2, \dots, n-1 $$

Determina la geometría o forma tridimensional del orbital y fija el módulo del momento angular orbital del electrón según la relación:

$$L = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar $$

Cada valor de $l $ define un subnivel designado por una letra convencional:

$$l = 0 \to \text{s (sharp)} \quad l = 1 \to \text{p (principal)} \quad l = 2 \to \text{d (diffuse)} \quad l = 3 \to \text{f (fundamental)} $$

Por ejemplo, un electrón con $l = 1 $ ocupa un orbital p, con forma de dos lóbulos opuestos, mientras que con $l = 0 $ ocupa un orbital s, esférico.

El número cuántico magnético, denotado por $m_l $, toma valores enteros limitados por el número cuántico azimutal:

$$m_l = -l, -l+1, \dots, 0, \dots, +l-1, +l $$

Existen exactamente $2l + 1 $ valores posibles para cada subnivel.

Este número determina la orientación espacial de los lóbulos del orbital y cuantiza la componente del momento angular orbital proyectada sobre el eje polar zeta:

$$L_z = m_l\,\hbar $$

Por ejemplo, para $l = 1 $ los tres valores $m_l = -1, 0, +1 $ corresponden a los tres orbitales $p_x, p_y, p_z $, orientados según los tres ejes cartesianos.

El número cuántico de espín, denotado por $m_s $, describe el momento angular intrínseco del electrón y sólo admite dos valores semienteros:

$$m_s = +\frac{1}{2} \quad \text{o} \quad m_s = -\frac{1}{2} $$

Este número no proviene de la ecuación de Schrödinger no relativista, sino que fue demostrado experimentalmente por Stern y Gerlach en mil novecientos veintidós y justificado teóricamente mediante la ecuación cuántica relativista de Paul Dirac en mil novecientos veintiocho.

Por ejemplo, los dos electrones que comparten un orbital $1s $ se distinguen únicamente en el espín: uno tiene $m_s = +1/2 $ y el otro $m_s = -1/2 $

Recuento sistemático de orbitales y capacidad electrónica

En cualquier capa electrónica con número cuántico principal $n $, el número total de orbitales atómicos resulta de la sumatoria de las orientaciones magnéticas de todos sus subniveles permitidos:

$$N_{\text{orbitales}} = \sum_{l=0}^{n-1} (2l + 1) = n^2 $$

Dado que el principio de exclusión de Wolfgang Pauli establece que dos electrones en un mismo átomo no pueden compartir simultáneamente los cuatro números cuánticos idénticos, cada orbital admite un máximo de dos electrones con espines opuestos o antiparalelos.

Por consiguiente, la capacidad electrónica máxima de una capa energética es:

$$N_{\text{electrones}}^{\text{máx}} = 2\cdot n^2 $$

📝 Ejemplo 1: Recuento y desglose cuántico de la capa M con n = 3

💡 Explicación

Vamos a aplicar las reglas de cuantización de los números cuánticos para deducir sistemáticamente todos los estados posibles de la tercera capa.

El número cuántico principal fija los valores permitidos del azimutal y, por tanto, los subniveles existentes;

para cada subnivel, el número de valores del magnético da el número de orbitales; y el principio de exclusión de Pauli, con dos electrones por orbital, proporciona la capacidad electrónica total.

Para el nivel cuántico principal $n = 3 $, determinad todos los subniveles energéticos permitidos, los valores posibles del número cuántico magnético $m_l $, el número total de orbitales atómicos y la capacidad máxima de electrones que puede albergar dicha capa.

👉 PASO 1

Identificación de subniveles energéticos.

El número cuántico azimutal puede tomar cualquier valor entero desde cero hasta

$$n - 1 = 3 - 1 = 2 $$

es decir,

$$l \in \{0, 1, 2\} $$

Correspondientes a tres subniveles:

$$l = 0 \to \text{subnivel } 3\text{s} $$

$$l = 1 \to \text{subnivel } 3\text{p} $$

$$l = 2 \to \text{subnivel } 3\text{d} $$

👉 PASO 2

Deducción de los valores magnéticos y orbitales de cada subnivel.

Analizamos los valores de $m_l $, que para cada subnivel adopta $2l + 1 $ valores enteros entre $-l $ y $+l $:

Para el subnivel $3\text{s} $ con $l = 0 $:

$$m_l = 0 \implies 1\text{ orbital } 3\text{s} $$

Para el subnivel $3\text{p} $ con $l = 1 $:

$$m_l \in \{-1, 0, +1\} \implies 3\text{ orbitales degenerados } (3\text{p}_x, 3\text{p}_y, 3\text{p}_z) $$

Para el subnivel $3\text{d} $ con $l = 2 $:

$$m_l \in \{-2, -1, 0, +1, +2\} \implies 5\text{ orbitales } 3\text{d} $$

👉 PASO 3

Recuento total de orbitales y electrones.

Sumamos los orbitales de todos los subniveles:

$$N_{\text{orbitales}} = 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2 $$

Aplicando el principio de Pauli con dos electrones por orbital:

$$N_{\text{electrones}}^{\text{máx}} = 2\cdot 9 = 18 = 2\cdot 3^2 $$

La capa $n = 3 $ contiene, por tanto, $9 $ orbitales atómicos distribuidos en los subniveles $3\text{s} $, $3\text{p} $ y $3\text{d} $, con una capacidad electrónica máxima de $18 $ electrones.

📝 Ejemplo 2: Evaluación de validez física de combinaciones cuánticas

💡 Explicación

Vamos a someter cada cuarteto de números cuánticos a las reglas de cuantización: el azimutal debe cumplir $l < n $, el magnético debe verificar $|m_l| \le l $ y el espín sólo admite los valores $+1/2 $ y $-1/2 $

Cada combinación se analiza en su propio paso, indicando el orbital correspondiente cuando es válida y la regla vulnerada cuando no lo es.

Determinad razonadamente cuáles de las siguientes cuatro combinaciones de números cuánticos $(n, l, m_l, m_s) $ son físicamente válidas para describir el estado de un electrón, indicando el orbital correspondiente en los casos admisibles y el principio vulnerado en los casos no permitidos:

a) $(2, 2, 0, +1/2) $

b) $(3, 1, -1, -1/2) $

c) $(4, 0, +1, +1/2) $

d) $(4, 3, -2, -1/2) $

👉 PASO 1

Análisis de la combinación a.

Para $n = 2 $, el número cuántico azimutal sólo puede tomar los valores $l = 0 $ y $l = 1 $, dado que la condición obligatoria es $l \le n - 1 $

Por tanto, el valor $l = 2 $ está prohibido físicamente: no existe ningún orbital $2\text{d} $

La combinación es inválida.

👉 PASO 2

Análisis de la combinación b.

Para $n = 3 $, el valor $l = 1 $ es menor que tres y define un subnivel $3\text{p} $

El valor $m_l = -1 $ se encuentra estrictamente dentro del intervalo permitido entre menos uno y más uno.

El espín $m_s = -1/2 $ es correcto.

Todos los números son válidos: describe un electrón en un orbital $3\text{p} $

👉 PASO 3

Análisis de la combinación c.

Para $n = 4 $ y $l = 0 $ (subnivel $4\text{s} $), el número cuántico magnético sólo puede valer $m_l = 0 $

El valor propuesto $m_l = +1 $ incumple la condición $|m_l| \le l $

La combinación es inválida.

👉 PASO 4

Análisis de la combinación d.

Para $n = 4 $, $l = 3 $ es admisible ($3 \le 4 - 1 $) y representa el subnivel $4\text{f} $

El valor magnético $m_l = -2 $ pertenece al rango entre menos tres y más tres.

El espín $m_s = -1/2 $ es admisible.

La combinación es completamente válida y describe un electrón en un orbital $4\text{f} $

Las combinaciones b ($3\text{p} $) y d ($4\text{f} $) son físicamente válidas, mientras que la combinación a es inválida porque el número azimutal alcanza el valor de la capa principal, y la combinación c es inválida porque el número magnético supera al azimutal asignado.

📝 Ejemplo 3: Módulo y orientación del momento angular orbital

💡 Explicación

Vamos a usar las expresiones cuánticas del momento angular orbital, $L = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar $, y de su proyección sobre el eje zeta, $L_z = m_l\,\hbar $

Con el dato de la constante de Planck reducida obtendremos el valor numérico del módulo; con los valores permitidos de $m_l $ obtendremos las proyecciones; y con la relación $\cos\theta = \frac{L_z}{L} $ calcularemos los ángulos de cuantización espacial.

Para un electrón localizado en un subnivel $3\text{d} $, determinad el módulo exacto de su momento angular orbital $L $, todos los valores permitidos de su componente proyectada en el eje zeta $L_z $ y calculad los ángulos posibles que forma dicho vector con respecto al eje polar zeta.

Dato: $$\hbar = 1{,}055 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} $$

👉 PASO 1

Cálculo del módulo del momento angular orbital.

Para un orbital del subnivel $\text{d} $, el número cuántico azimutal es $l = 2 $:

$$L = \sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt{2(2+1)}\,\hbar = \sqrt{6}\,\hbar $$

Multiplicamos numéricamente por la constante de Planck reducida:

$$L = \sqrt{6}\cdot 1{,}055 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} = 2{,}449\cdot 1{,}055 \cdot 10^{-34} = 2{,}58 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} $$

👉 PASO 2

Componentes permitidas en el eje zeta.

El número magnético adopta cinco valores: $m_l \in \{-2, -1, 0, +1, +2\} $

La componente proyectada viene dada por $L_z = m_l\,\hbar $:

$$L_z \in \{-2\hbar, -\hbar, 0, +\hbar, +2\hbar\} $$

👉 PASO 3

Cálculo de los ángulos de orientación espacial.

El coseno del ángulo polar formado por el vector con el eje polar zeta es:

$$\cos\theta = \frac{L_z}{L} = \frac{m_l\,\hbar}{\sqrt{6}\,\hbar} = \frac{m_l}{\sqrt{6}} $$

Calculamos los ángulos para cada orientación:

Para $m_l = +2 $:

$$\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{6}} \approx 0{,}8165 \implies \theta = 35{,}3^\circ $$

Para $m_l = +1 $:

$$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0{,}4082 \implies \theta = 65{,}9^\circ $$

Para $m_l = 0 $:

$$\cos\theta = 0 \implies \theta = 90{,}0^\circ $$

Para $m_l = -1 $:

$$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{6}} \approx -0{,}4082 \implies \theta = 114{,}1^\circ $$

Para $m_l = -2 $:

$$\cos\theta = -\frac{2}{\sqrt{6}} \approx -0{,}8165 \implies \theta = 144{,}7^\circ $$

El momento angular orbital posee, por tanto, un módulo cuantizado de $$L = 2{,}58 \cdot 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} $$ y sólo puede orientarse en cinco direcciones espaciales discretas respecto al eje zeta, poniendo de manifiesto la cuantización espacial del momento angular.