3.10.3 Teorema de cauchy

Hipótesis y tesis del Teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy, también llamado del valor medio generalizado, extiende el teorema de Lagrange a dos funciones tratadas a la vez.

Sean $f(x) $ y $g(x) $ dos funciones que verifican las siguientes hipótesis en el intervalo $[a, b] $:

Son continuas en $[a, b] $

Son derivables en $(a, b) $

La derivada de $g $ no se anula: $g'(x) \ne 0 $ para todo $x \in (a, b) $

Tesis: existe al menos un punto $c \in (a, b) $ tal que se cumple

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} $$

La tercera hipótesis garantiza que el denominador $g(b) - g(a) $ nunca es cero:

si fuese $g(b) = g(a) $, por el teorema de Rolle existiría un punto del intervalo con $g'(x) = 0 $, lo que queda excluido por hipótesis.

ð Ejemplo:

Con $f(x) = x^2 $ y $g(x) = x^3 $ en $[1, 2] $: $$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{2c}{3c^2} = \frac{2}{3c} $$ y $\frac{f(2)-f(1)}{g(2)-g(1)} = \frac{3}{7} $, luego $c = \frac{14}{9} \in (1, 2) $

Lagrange como caso particular de Cauchy

Si tomamos $g(x) = x $, entonces $g'(x) = 1 $ y $g(b) - g(a) = b - a $

Sustituyendo en la tesis de Cauchy:

$$\frac{f'(c)}{1} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \rightarrow f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$

que es exactamente la tesis del teorema de Lagrange.

Así pues, el teorema de Cauchy es una extensión del teorema del valor medio a dos funciones simultáneas.

ð Ejemplo:

Tomando $g(x) = x $ en el teorema de Cauchy se recupera el teorema de Lagrange: $\frac{f'(c)}{1} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $

ð Ejemplo 1: Verificación con monomios

Aplicar el teorema de Cauchy a las funciones $f(x) = x^2 $ y $g(x) = x^3 $ en el intervalo $[1, 2] $ y hallar el valor de $c $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar que se cumplen las hipótesis del teorema.

A continuación calcularemos el cociente de los incrementos de ambas funciones en los extremos.

Para terminar igualaremos el cociente de las derivadas a ese valor y despejaremos $c $

ð PASO 1

Comprobación de hipótesis y cociente de incrementos.

Las dos funciones son polinomios, por lo que son continuas y derivables en todo $\mathbb{R} $; además $g'(x) = 3x^2 \ne 0 $ para todo $x \in (1, 2) $, luego las hipótesis se cumplen.

Evaluamos ambas funciones en los extremos del intervalo:

$$f(1) = 1, \quad f(2) = 4 $$

$$g(1) = 1, \quad g(2) = 8 $$

El cociente de los incrementos es:

$$\frac{f(2) - f(1)}{g(2) - g(1)} = \frac{4 - 1}{8 - 1} = \frac{3}{7} $$

ð PASO 2

Igualación del cociente de derivadas y despeje de c.

Derivando obtenemos $f'(x) = 2x $ y $g'(x) = 3x^2 $

El teorema garantiza un punto $c \in (1, 2) $ tal que:

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{2c}{3c^2} = \frac{2}{3c} = \frac{3}{7} $$

Despejando:

$$\frac{2}{3c} = \frac{3}{7} \rightarrow 14 = 9c \rightarrow c = \frac{14}{9} $$

Como $\frac{14}{9} \approx 1,56 $, se verifica que $c \in (1, 2) $

Conclusión: El punto que garantiza el teorema es $c = \frac{14}{9} $, que efectivamente pertenece al intervalo $(1, 2) $

ð Ejemplo 2: Lagrange recuperado desde Cauchy

Aplicar el teorema de Cauchy con $g(x) = x $ a la función $f(x) = x^2 $ en el intervalo $[0, 2] $ y hallar $c $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar directamente la tesis del teorema de Cauchy tomando $g(x) = x $

A continuación calcularemos el cociente de los incrementos de $f $ entre los extremos e igualaremos el resultado a $f'(c) $

Para terminar despejaremos $c $ y comprobaremos que está en $(0, 2) $

ð PASO 1

Cociente de Cauchy con g(x) = x.

Con $g(x) = x $ tenemos $g'(x) = 1 $ y $g(2) - g(0) = 2 - 0 = 2 $

Como $f(2) = 4 $ y $f(0) = 0 $, la tesis de Cauchy queda:

$$f'(c) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{4 - 0}{2} = 2 $$

ð PASO 2

Despeje de c.

Como $f'(x) = 2x $, igualando:

$$2c = 2 \rightarrow c = 1 $$

Como $1 \in (0, 2) $, el teorema se cumple y reproduce exactamente la conclusión del teorema de Lagrange.

Conclusión: Con $g(x) = x $ el teorema de Cauchy devuelve $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ,\ \text{con}\ c = 1 $$ en $(0, 2) $

ð Ejemplo 3: Verificación con exponenciales

Verificar el teorema de Cauchy para $f(x) = e^x $ y $g(x) = e^{-x} $ en el intervalo $[0, 1] $ y hallar $c $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis y calcular el cociente de los incrementos en los extremos.

A continuación igualaremos el cociente de las derivadas a ese valor.

Para terminar despejaremos $c $ de la ecuación exponencial resultante.

ð PASO 1

Cociente de incrementos en los extremos.

Ambas funciones son continuas y derivables en todo $\mathbb{R} $, y $g'(x) = -e^{-x} \ne 0 $ en $(0, 1) $

Calculamos los incrementos:

$$f(1) - f(0) = e - 1 $$

$$g(1) - g(0) = e^{-1} - 1 = \frac{1 - e}{e} $$

Por tanto:

$$\frac{f(1) - f(0)}{g(1) - g(0)} = \frac{e - 1}{(1 - e)/e} = -e $$

ð PASO 2

Cociente de derivadas y despeje de c.

Como $f'(x) = e^x $ y $g'(x) = -e^{-x} $, el cociente de derivadas es:

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{e^c}{-e^{-c}} = -e^{2c} = -e $$

Igualando exponentes:

$$-e^{2c} = -e \rightarrow 2c = 1 \rightarrow c = \frac{1}{2} $$

Como $\frac{1}{2} \in (0, 1) $, la conclusión del teorema se verifica.

Conclusión: El punto garantizado por el teorema es $c = \frac{1}{2} $, interior al intervalo $(0, 1) $

ð Ejemplo 4: Aplicación con polinomios en un intervalo mayor

Aplicar el teorema de Cauchy a $f(x) = x^2 - 3x $ y $g(x) = x^2 - x $ en el intervalo $[1, 4] $ y hallar $c $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por verificar las hipótesis y calcular el cociente de incrementos entre los extremos uno y cuatro.

A continuación plantearemos la igualdad del cociente de derivadas con ese valor.

Para terminar resolveremos la ecuación racional obtenida y comprobaremos que $c $ queda dentro del intervalo.

ð PASO 1

Verificación de hipótesis y cociente de incrementos.

Ambas son polinomios, continuas y derivables en todo $\mathbb{R} $

Además $g'(x) = 2x - 1 \ne 0 $ en $(1, 4) $, ya que $2x - 1 > 0 $ para $x > \frac{1}{2} $

Evaluando en los extremos:

$$f(1) = 1 - 3 = -2, \quad f(4) = 16 - 12 = 4 $$

$$g(1) = 1 - 1 = 0, \quad g(4) = 16 - 4 = 12 $$

El cociente de incrementos vale:

$$\frac{f(4) - f(1)}{g(4) - g(1)} = \frac{4 - (-2)}{12 - 0} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

ð PASO 2

Igualdad de los cocientes de derivadas y resolución.

Como $f'(x) = 2x - 3 $ y $g'(x) = 2x - 1 $, el teorema asegura un $c \in (1, 4) $ con:

$$\frac{2c - 3}{2c - 1} = \frac{1}{2} \rightarrow 4c - 6 = 2c - 1 \rightarrow 2c = 5 \rightarrow c = \frac{5}{2} $$

Como $\frac{5}{2} = 2,5 \in (1, 4) $, el teorema queda verificado.

Conclusión: El punto que cumple la tesis es $c = \frac{5}{2} $, interior a $(1, 4) $

ð Ejemplo 5: Verificación con logaritmo y cuadrática

Aplicar el teorema de Cauchy a $f(x) = \ln x $ y $g(x) = x^2 $ en el intervalo $[1, e] $ y hallar $c $

Explicación:

Para resolver este ejercicio empezaremos por comprobar las hipótesis en el intervalo cerrado uno, e.

A continuación calcularemos el cociente de incrementos de ambas funciones en los extremos.

Para terminar igualaremos el cociente de derivadas a dicho valor y despejaremos $c $

ð PASO 1

Hipótesis y cociente de incrementos.

La función $f(x) = \ln x $ es continua y derivable para $x > 0 $, por lo que lo es en $[1, e] $; $g(x) = x^2 $ es polinómica.

Además $g'(x) = 2x \ne 0 $ en $(1, e) $

Calculamos los incrementos:

$$f(e) - f(1) = 1 - 0 = 1 $$

$$g(e) - g(1) = e^2 - 1 $$

El cociente de incrementos es:

$$\frac{f(e) - f(1)}{g(e) - g(1)} = \frac{1}{e^2 - 1} $$

ð PASO 2

Cociente de derivadas y despeje de c.

Como $f'(x) = \frac{1}{x} $ y $g'(x) = 2x $:

$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{1/c}{2c} = \frac{1}{2c^2} = \frac{1}{e^2 - 1} $$

Igualando denominadores:

$$2c^2 = e^2 - 1 \rightarrow c^2 = \frac{e^2 - 1}{2} \rightarrow c = \sqrt{\frac{e^2 - 1}{2}} $$

Como $c^2 \approx \frac{7,39 - 1}{2} = 3,19 $, resulta $c \approx 1,79 \in (1, e) $

Conclusión: El teorema garantiza $c = \sqrt{\frac{e^2 - 1}{2}} $, que pertenece al intervalo $(1, e) $