3.2.7 Orden de infinitud
Jerarquía de infinitos
Cuando \(x \to +\infty \), unas funciones crecen mucho más deprisa que otras.
De menor a mayor orden de infinitud:
para \(p > 0 \) y \(a > 1 \)
En forma de límites:
Es decir: el logaritmo es despreciable frente a cualquier potencia, y cualquier potencia es despreciable frente a cualquier exponencial de base mayor que uno.
Cuando \(x \to +\infty \), el logaritmo es de orden muy inferior a las potencias: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0 \)
Regla de L'Hôpital
Sean \(f \) y \(g \) dos funciones derivables en un entorno reducido de \(a \) (finito e infinito), con \(g'(x) \neq 0 \) en dicho entorno.
Si \(\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0 \) o si ambos límites son \(\pm\infty \), y existe \(\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) (finito e infinito), entonces se verifica $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
La exponencial domina a las potencias: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} \) es \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right] \), y por L'Hôpital vale \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0 \)
El término dominante decide el límite
En una suma o resta de infinitos de distinto orden, el de mayor orden "se come" a los demás: el límite lo decide el término dominante.
La técnica consiste en dividir entre ese término dominante.
En \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x + x^5}{2^x} \), el término dominante es \(3^x \): dividiendo entre él, el límite es \(+\infty \)
Ordenar de menor a mayor orden de infinitud cuando \(x \to +\infty \): \(x^2 \), \(\ln x \), \(2^x \), \(\sqrt{x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por aplicar la jerarquía logaritmo-potencia-exponencial.
A continuación ordenaremos las dos potencias entre sí según su exponente.
El logaritmo es el de menor orden de todos: \(\ln x \) va primero.
Entre las potencias \(\sqrt{x} = x^{1/2} \) y \(x^2 \), va antes la de menor exponente: \(\sqrt{x} \ll x^2 \)
La exponencial \(2^x \) domina a todas las potencias: va la última.
De menor a mayor orden: \(\ln x \ll \sqrt{x} \ll x^2 \ll 2^x \)
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3^x + x^5}{2 \cdot 3^x - x^2} $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir el numerador y el denominador entre el término dominante, \(3^x \)
A continuación usaremos que cualquier potencia dividida entre la exponencial tiende a cero.
Para terminar pasaremos al límite.
División entre el término dominante.
Los cocientes despreciables.
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^5}{3^x} = 0 \) y \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{3^x} = 0 \) por la jerarquía de infinitos.
Paso al límite.
El límite vale \(\frac{1}{2} \): lo decide el término dominante \(3^x \)
Calcular \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10}}{1,5^x} \)
Para resolver este ejercicio empezaremos por identificar la indeterminación infinito entre infinito.
A continuación aplicaremos reiteradamente la regla de L'Hôpital, observando que cada derivación baja el grado del numerador.
Para terminar pasaremos al límite.
Se trata de \(\frac{\infty}{\infty} \)
Derivando numerador y denominador:
Cada nueva derivación reduce en uno el grado del numerador, mientras el denominador conserva siempre la exponencial.
Tras diez derivaciones el numerador es la constante \(10! \) y el denominador es \(1,5^x \cdot (\ln 1,5)^{10} \), que tiende a \(+\infty \)
Constante entre infinito:
El límite vale \(0 \): la exponencial domina a cualquier potencia.
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{2x} + x^3}{e^{2x} - \ln x} $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por dividir entre el término dominante, \(e^{2x} \)
A continuación aplicaremos la jerarquía de infinitos a cada cociente.
Para terminar pasaremos al límite.
División entre el término dominante.
Cocientes despreciables.
Paso al límite.
El límite vale \(1 \)
Calcular $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{\sqrt{x} } $$
Para resolver este ejercicio empezaremos por acotar el numerador por una expresión más sencilla.
A continuación aplicaremos la jerarquía entre el logaritmo y la raíz.
Para terminar usaremos el teorema del encaje.
Acotación del numerador.
Para \(x > 1 \) se cumple \(x^2 + 1 < 2x^2 \), luego:
El mayorante tiende a cero.
y $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln 2 + 2\ln x}{\sqrt{x} }= 0 $$ porque \(\ln x \ll \sqrt{x} \)
Teorema del encaje.
La función está entre \(0 \) y otra que tiende a \(0 \), luego su límite es \(0 \)
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{\sqrt{x} }= 0 $$