3.6.11 Derivada de la funcion potencial exponencial derivacion logaritmica
La función potencial-exponencial y la derivación logarítmica
Una función potencial-exponencial es aquella en la que tanto la base como el exponente dependen de \(x \), del tipo \(y = u(x)^{v(x)} \) con \(u(x) > 0 \)
Ninguna regla básica la deriva directamente, así que se usa la derivación logarítmica: se toman logaritmos neperianos en ambos miembros y se deriva implícitamente.
La última igualdad se obtiene derivando \(\ln y \) con la regla de la cadena, que da \(y'/y \), y derivando el producto \(v \cdot \ln u \)
Despejando \(y' \) queda la fórmula general con letras:
Para \(y = x^x \) se toma logaritmos: \(\ln y = x \ln x \); derivando, \(\frac{y'}{y} = \ln x + 1 \), luego \(y' = x^x(\ln x + 1) \)
Caso general $$y = u(x)^{v(x)}$$
La fórmula general deducida en el apartado 1 se aplica a cualquier base y exponente variables, siempre que la base sea positiva.
El procedimiento es siempre el mismo: logaritmos, derivación implícita y despeje.
El mismo procedimiento con \(f(x) = x^{3x} \) da \(f'(x) = x^{3x} \cdot 3(\ln x + 1) \)
La derivación logarítmica como técnica de simplificación
Tomar logaritmos antes de derivar también simplifica funciones con productos, cocientes y potencias encadenados, porque el logaritmo convierte productos en sumas y potencias en productos.
La derivación logarítmica simplifica productos con potencias:
para \(y = x^2(2x + 1)^3 \), \(\ln y = 2\ln x + 3\ln(2x + 1) \) y $$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{6}{2x + 1} $$
Deriva \(f(x) = x^x \) para \(x > 0 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por tomar logaritmos neperianos en ambos miembros.
A continuación derivaremos implícitamente el logaritmo y el producto.
Para terminar despejaremos la derivada buscada.
Toma de logaritmos.
Derivación implícita.
Derivamos respecto de \(x \); a la izquierda sale \(f'(x)/f(x) \) y a la derecha derivamos el producto:
Despeje de la derivada.
Para \(x > 0 \) se cumple \((x^x)' = x^x (\ln x + 1) \)
Deriva \(f(x) = x^{3x} \) para \(x > 0 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por tomar logaritmos para bajar el exponente.
A continuación derivaremos el producto obtenido.
Para terminar despejaremos \(f'(x) \)
Toma de logaritmos.
Derivación del producto.
Despeje.
\((x^{3x})' = 3x^{3x}(\ln x + 1) \) para \(x > 0 \)
Deriva \(f(x) = (3x)^{2x} \) para \(x > 0 \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por tomar logaritmos en ambos miembros.
A continuación derivaremos implícitamente.
Para terminar despejaremos la derivada.
Toma de logaritmos.
Derivación implícita.
Derivamos el producto de la derecha; la derivada de \(\ln(3x) \) es \(\frac{3}{3x} = \frac{1}{x} \):
Despeje.
\(((3x)^{2x})' = 2(3x)^{2x}(\ln(3x) + 1) \) para \(x > 0 \)
Deriva \(f(x) = (2x+1)^x \) para \(x > -\frac{1}{2} \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por tomar logaritmos neperianos.
A continuación derivaremos implícitamente aplicando la regla del producto y la regla de la cadena.
Para terminar despejaremos \(f'(x) \)
Toma de logaritmos.
Derivación implícita.
La derivada de \(\ln(2x+1) \) es \(\frac{2}{2x+1} \):
Despeje.
La derivada de \((2x+1)^x \) es $$(2x+1)^x \left(\ln(2x+1) + \frac{2x}{2x+1}\right) $$
Halla el mínimo de \(f(x) = x^x \) en el intervalo \((0, +\infty) \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar la función con derivación logarítmica.
A continuación igualaremos la derivada a cero para hallar el punto crítico.
Para terminar estudiaremos el signo de la derivada para confirmar que es un mínimo.
Derivada de la función.
Por el ejemplo 1, \(f'(x) = x^x(\ln x + 1) \)
Punto crítico.
Como \(x^x > 0 \) siempre, \(f'(x) = 0 \) equivale a:
Signo de la derivada.
Si \(0 < x < \frac{1}{e} \), entonces \(\ln x + 1 < 0 \) y \(f'(x) < 0 \);
si \(x > \frac{1}{e} \), entonces \(f'(x) > 0 \)
La función decrece y luego crece: hay un mínimo.
El mínimo de \(f(x) = x^x \) se alcanza en \(x = \frac{1}{e} \) y vale $$f\left(\frac{1}{e}\right) = \left(\frac{1}{e}\right)^{1/e} = e^{-1/e} $$