3.6.2 Propiedades de las derivadas

1. Álgebra de derivadas

Dadas dos funciones derivables $u(x) $ y $v(x) $, y una constante real $k $, se verifican las siguientes reglas, que se enuncian primero con letras y después se aplican a cada caso concreto.

Derivada de la suma o resta:

$$[u \pm v]' = u' \pm v' $$

Producto por una constante:

$$[k \cdot u]' = k \cdot u' $$

Derivada del producto (regla de Leibniz):

$$[u \cdot v]' = u' \cdot v + u \cdot v' $$

Derivada del cociente:

$$\left[\frac{u}{v}\right]' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \quad (v \ne 0) $$

ð Ejemplo:

Aplicando el álgebra de derivadas: $(x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2 $ y $$(x \cdot \operatorname{sen} x)' = \operatorname{sen} x + x \cos x $$

Composición de funciones: regla de la cadena

Si $g $ es derivable en $x $ y $f $ es derivable en $g(x) $, la función compuesta $(f \circ g)(x) = f(g(x)) $ es derivable y su derivada es:

$$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

En la práctica: se deriva la función exterior manteniendo el interior intacto y se multiplica por la derivada del interior.

En notación de Leibniz se escribe $$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $$

ð Ejemplo:

Por la regla de la cadena: $$[\operatorname{sen}(x^2)]' = \cos(x^2) \cdot 2x $$: se deriva la función exterior y se multiplica por la derivada de la interior.

Derivación implícita

Cuando una relación entre $x \ \text{e}\ y $ no está despejada, como $x^2 + y^2 = 25 $, se deriva cada término respecto de $x $ teniendo en cuenta que $y $ es función de $x $: cada vez que se deriva un término con $y $ aparece el factor $y' $ por la regla de la cadena.

Después se despeja $y' $

ð Ejemplo:

Derivando implícitamente $x^2 + y^2 = 25 $ respecto de $x $: $2x + 2y \cdot y' = 0 $, de donde $y' = -\frac{x}{y} $

ð Ejemplo 1: Suma, resta y producto por una constante

Deriva $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + x - 8 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la regla de la suma y la resta término a término.

A continuación usaremos la regla del producto por una constante y la derivada de la potencia.

Para terminar escribiremos el resultado ordenado.

ð PASO 1

Derivación término a término.

$$f'(x) = [4x^3]' - [5x^2]' + [x]' - [8]' $$

ð PASO 2

Aplicación de las reglas a cada término.

$$f'(x) = 4 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 2x + 1 - 0 = 12x^2 - 10x + 1 $$

Conclusión: La derivada de $f(x) = 4x^3 - 5x^2 + x - 8 $ es $f'(x) = 12x^2 - 10x + 1 $

ð Ejemplo 2: Derivada de un producto

Deriva $f(x) = (x^2 + 1)(x - 2) $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar los dos factores y derivar cada uno.

A continuación aplicaremos la regla del producto de Leibniz.

Para terminar desarrollaremos y simplificaremos.

ð PASO 1

Identificación de los factores.

Llamamos $u = x^2 + 1 $ con $u' = 2x $, y $v = x - 2 $ con $v' = 1 $

ð PASO 2

Aplicación de la regla del producto.

$$f'(x) = u'v + uv' = 2x(x - 2) + (x^2 + 1) \cdot 1 $$

ð PASO 3

Desarrollo y simplificación.

$$f'(x) = 2x^2 - 4x + x^2 + 1 = 3x^2 - 4x + 1 $$

Conclusión: La derivada del producto es $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 $

ð Ejemplo 3: Derivada de un cociente

Deriva $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2} $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar numerador y denominador con sus derivadas.

A continuación aplicaremos la fórmula de la derivada del cociente.

Para terminar simplificaremos el numerador resultante.

ð PASO 1

Identificación.

Llamamos $u = x^2 - 1 $ con $u' = 2x $, y $v = x + 2 $ con $v' = 1 $

ð PASO 2

Aplicación de la fórmula del cociente.

$$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x+2) - (x^2-1) \cdot 1}{(x+2)^2} $$

ð PASO 3

Simplificación del numerador.

$$f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 1}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2} $$

Conclusión: La derivada del cociente es $f'(x) = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2} $, válida para $x \ne -2 $

ð Ejemplo 4: Regla de la cadena

Deriva $f(x) = (5x^2 - 3)^4 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la función exterior y la interior.

A continuación derivaremos la exterior manteniendo el interior y multiplicaremos por la derivada del interior.

Para terminar escribiremos el resultado ordenado.

ð PASO 1

Identificación.

La función exterior es la potencia cuarta y la interior es $g(x) = 5x^2 - 3 ,\ \text{con}\ g'(x) = 10x $

ð PASO 2

Aplicación de la regla de la cadena.

$$f'(x) = 4(5x^2 - 3)^3 \cdot 10x = 40x(5x^2 - 3)^3 $$

Conclusión: La derivada es $f'(x) = 40x(5x^2 - 3)^3 $

ð Ejemplo 5: Derivación implícita de una circunferencia

Halla $y' $ a partir de la ecuación $x^2 + y^2 = 25 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar cada término respecto de $x $, aplicando la regla de la cadena al término con $y $

A continuación despejaremos $y' $ de la ecuación obtenida.

ð PASO 1

Derivación término a término.

La derivada de $x^2 $ es $2x $; la derivada de $y^2 $ es $2y \cdot y' $ por la regla de la cadena; la derivada de la constante $25 $ es cero:

$$2x + 2y \cdot y' = 0 $$

ð PASO 2

Despeje de $y' $

$$2y \cdot y' = -2x \rightarrow y' = -\frac{x}{y} $$

Conclusión: La derivada implícita de la circunferencia $x^2 + y^2 = 25 $ es $y' = -\frac{x}{y} $, válida donde $y \ne 0 $