3.6.4 Derivada de una exponencial

Derivada de la exponencial de base $$e$$

La función exponencial $f(x) = e^x $ tiene la propiedad extraordinaria de ser su propia derivada.

Aplicando la definición:

$$(e^x)' = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} $$

El número $e $ se define precisamente para que ese límite notable valga uno: $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 $

Por tanto:

$$(e^x)' = e^x $$

ð Ejemplo:

Por la regla de la cadena: $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} $

Derivada de la exponencial de base $$a$$

Para una base $a > 0 $ cualquiera escribimos $a^x = e^{x \ln a} $ y aplicamos la regla de la cadena:

$$(a^x)' = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a $$

La fórmula general con letras es, por tanto, $(a^x)' = a^x \ln a $

Observa que para $a = e $ se recupera $(e^x)' = e^x $, pues $\ln e = 1 $

ð Ejemplo:

Para la base $3 $: $(3^x)' = 3^x \ln 3 $

ð Ejemplo 1: Derivada de la exponencial de base e

Deriva $f(x) = 5e^x $ y $g(x) = e^x + x^4 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la regla del producto por una constante a la primera función.

A continuación derivaremos la segunda con la regla de la suma.

Para terminar escribiremos los resultados.

ð PASO 1

Derivada de $f(x) = 5e^x $

$$f'(x) = 5 \cdot (e^x)' = 5e^x $$

ð PASO 2

Derivada de $g(x) = e^x + x^4 $

$$g'(x) = e^x + 4x^3 $$

Conclusión: Las derivadas son $f'(x) = 5e^x $ y $g'(x) = e^x + 4x^3 $

ð Ejemplo 2: Derivada de exponenciales de base distinta de e

Deriva $f(x) = 2^x $ y $g(x) = 10^x - e^x $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de la exponencial de base $a $

A continuación derivaremos la segunda función término a término.

Para terminar escribiremos los resultados.

ð PASO 1

Derivada de $f(x) = 2^x $

$$f'(x) = 2^x \ln 2 $$

ð PASO 2

Derivada de $g(x) = 10^x - e^x $

$$g'(x) = 10^x \ln 10 - e^x $$

Conclusión: Las derivadas son $f'(x) = 2^x \ln 2 $ y $g'(x) = 10^x \ln 10 - e^x $

ð Ejemplo 3: Demostración de que (eˣ)' = eˣ

Demuestra aplicando la definición de derivada que la derivada de $f(x) = e^x $ es ella misma.

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la definición de derivada para la función exponencial.

A continuación sacaremos factor común $e^x $ en el numerador.

Para terminar usaremos el límite notable que define al número $e $

ð PASO 1

Planteamiento del límite.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} $$

ð PASO 2

Factor común.

Como $e^{x+h} = e^x \cdot e^h $:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} $$

ð PASO 3

Límite notable.

El número $e $ se define de modo que $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 $, luego:

$$f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x $$

Conclusión: Queda demostrado que $(e^x)' = e^x $: la exponencial de base $e $ es la única función (salvo factor constante) que coincide con su derivada.

ð Ejemplo 4: Un límite que es una derivada encubierta

Calcula $\lim_{h \to 0} \frac{5^{3+h} - 125}{h} $ reconociendo en él la definición de derivada.

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la función y el punto escondidos en el límite.

A continuación calcularemos la derivada con la fórmula de la exponencial de base $a $

Para terminar verificaremos el resultado operando directamente.

ð PASO 1

Identificación.

El límite tiene la forma $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} $ con $f(x) = 5^x $ y $a = 3 $, pues $f(3) = 5^3 = 125 $

Por tanto, el límite es $f'(3) $

ð PASO 2

Cálculo de la derivada.

$$f'(x) = 5^x \ln 5 \rightarrow f'(3) = 5^3 \ln 5 = 125 \ln 5 $$

ð PASO 3

Verificación directa.

Como $5^{3+h} = 125 \cdot 5^h $:

$$\lim_{h \to 0} \frac{125(5^h - 1)}{h} = 125 \cdot \lim_{h \to 0} \frac{5^h - 1}{h} = 125 \ln 5 $$

Conclusión: El límite vale $125 \ln 5 $

ð Ejemplo 5: Una función que verifica y'' = y

Comprueba que la función $f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $ satisface la ecuación $f''(x) = f(x) $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la primera derivada usando la regla de la cadena en el término $e^{-x} $

A continuación derivaremos de nuevo.

Para terminar compararemos el resultado con la función original.

ð PASO 1

Primera derivada.

La derivada de $e^{-x} $ es $e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x} $ por la regla de la cadena:

$$f'(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} $$

ð PASO 2

Segunda derivada.

Derivamos de nuevo:

$$f''(x) = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$

Conclusión: Como $f''(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = f(x) $, la función verifica la ecuación $f''(x) = f(x) $

Esta función se llama coseno hiperbólico.