3.6.5 Derivada de un logaritmo

Derivada del logaritmo neperiano

Para $x > 0 $, la derivada del logaritmo neperiano es:

$$(\ln x)' = \frac{1}{x} $$

La demostración aplica la definición de derivada y usa el límite notable $\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u} = e $ (ver ejemplo 3):

$$(\ln x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) = \frac{1}{x}\ln\left(\lim_{u \to 0}(1+u)^{1/u}\right) = \frac{1}{x}\ln e = \frac{1}{x} $$

ð Ejemplo:

Por la regla de la cadena: $[\ln(3x)]' = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x} $

Derivada del logaritmo en base $$a$$

Para una base $a > 0 $, $a \ne 1 $, usamos el cambio de base $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} $, donde $\frac{1}{\ln a} $ es una constante:

$$(\log_a x)' = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a} $$

ð Ejemplo:

Con el cambio de base: $(\log_2 x)' = \frac{1}{x \ln 2} $

ð Ejemplo 1: Derivada del logaritmo neperiano

Deriva $f(x) = 4\ln x $ y $g(x) = \ln x - 3x^2 $ para $x > 0 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de la derivada del logaritmo neperiano.

A continuación usaremos la regla del producto por una constante y la regla de la resta.

Para terminar escribiremos los resultados.

ð PASO 1

Derivada de $f(x) = 4\ln x $

$$f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x} $$

ð PASO 2

Derivada de $g(x) = \ln x - 3x^2 $

$$g'(x) = \frac{1}{x} - 6x $$

Conclusión: Las derivadas son $f'(x) = \frac{4}{x} $ y $g'(x) = \frac{1}{x} - 6x $

ð Ejemplo 2: Derivada de logaritmos en otras bases

Deriva $f(x) = \log_2 x $ y $g(x) = \log x $ (base $10 $).

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula del logaritmo en base $a $ a cada función.

A continuación escribiremos los resultados.

Para terminar recordaremos el valor de la base del logaritmo decimal.

ð PASO 1

Derivada de $f(x) = \log_2 x $

$$f'(x) = \frac{1}{x \ln 2} $$

ð PASO 2

Derivada de $g(x) = \log x $

$$g'(x) = \frac{1}{x \ln 10} $$

Conclusión: Las derivadas son $f'(x) = \frac{1}{x \ln 2} $ y $g'(x) = \frac{1}{x \ln 10} $

ð Ejemplo 3: Demostración de que (ln x)' = (1)/(

Demuestra aplicando la definición de derivada que la derivada del logaritmo neperiano es $\frac{1}{x} $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir la definición de derivada para $\ln x $

A continuación usaremos las propiedades de los logaritmos para compactar la expresión.

Para terminar aplicaremos el límite notable que define al número $e $

ð PASO 1

Planteamiento del límite.

$$(\ln x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h} $$

ð PASO 2

Uso de las propiedades de los logaritmos.

Como $$\ln(x+h) - \ln x = \ln\left(\frac{x+h}{x}\right) = \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) $$:

$$(\ln x)' = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{h}\ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) = \frac{1}{x}\lim_{h \to 0} \ln\left[\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{x/h}\right] $$

ð PASO 3

Límite notable.

Con el cambio $u = \frac{h}{x} $, cuando $h \to 0 $ también $u \to 0 $, y $\lim_{u \to 0}(1+u)^{1/u} = e $:

$$(\ln x)' = \frac{1}{x} \ln\left(\lim_{u \to 0}(1+u)^{1/u}\right) = \frac{1}{x}\ln e = \frac{1}{x} $$

Conclusión: Queda demostrado que $(\ln x)' = \frac{1}{x} $ para $x > 0 $

ð Ejemplo 4: Una primitiva del logaritmo

Comprueba que $F(x) = x\ln x - x $ es una primitiva de $f(x) = \ln x $, es decir, que $F'(x) = f(x) $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar el producto $x\ln x $ con la regla de Leibniz.

A continuación derivaremos el término $-x $

Para terminar simplificaremos y compararemos con $f $

ð PASO 1

Derivada del producto $x\ln x $

$$(x\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 $$

ð PASO 2

Derivada completa de $F $

$$F'(x) = (\ln x + 1) - 1 = \ln x $$

Conclusión: Como $F'(x) = \ln x = f(x) $, la función $F(x) = x\ln x - x $ es una primitiva del logaritmo neperiano.

ð Ejemplo 5: Derivada de ln|x|

Demuestra que $(\ln|x|)' = \frac{1}{x} $ para todo $x \ne 0 $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por distinguir los casos $x > 0 $ y $x < 0 $

A continuación derivaremos en cada caso, usando la regla de la cadena en el segundo.

Para terminar observaremos que el resultado es el mismo.

ð PASO 1

Caso $x > 0 $

Si $x > 0 $, entonces $|x| = x $ y directamente $(\ln|x|)' = (\ln x)' = \frac{1}{x} $

ð PASO 2

Caso $x < 0 $

Si $x < 0 $, entonces $|x| = -x $ y por la regla de la cadena:

$$(\ln|x|)' = (\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x} $$

Conclusión: En ambos casos se obtiene $\frac{1}{x} $, luego $(\ln|x|)' = \frac{1}{x} $ para todo $x \ne 0 $