3.6.7 Derivada de la tangente y de la cotangente

Derivada de la tangente

La tangente es el cociente $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} $, definida para $\cos x \ne 0 $

Aplicando la regla del cociente:

$$(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \operatorname{sen} x \cdot (-\operatorname{sen} x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} $$

Usando $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $, la fórmula admite tres escrituras equivalentes:

$$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $$

ð Ejemplo:

Por la regla de la cadena: $$[\tan(2x)]' = 2(1 + \tan^2(2x)) = 2\sec^2(2x) $$

Derivada de la cotangente

La cotangente es $\cot x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} $, definida para $\operatorname{sen} x \ne 0 $

Derivando por la regla del cociente:

$$(\cot x)' = \frac{-\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen} x - \cos x \cdot \cos x}{\operatorname{sen}^2 x} = -\frac{\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x}{\operatorname{sen}^2 x} = -\frac{1}{\operatorname{sen}^2 x} $$

que también se escribe $(\cot x)' = -(1 + \cot^2 x) $

ð Ejemplo:

Derivando el cociente: $(\cot x)' = -(1 + \cot^2 x) = -\csc^2 x $

ð Ejemplo 1: Derivada de la tangente

Deriva $f(x) = 2\tan x $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de la derivada de la tangente.

A continuación multiplicaremos por la constante.

Para terminar escribiremos el resultado en sus formas equivalentes.

ð PASO 1

Aplicación de la fórmula.

$$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x} = 2\sec^2 x = 2(1 + \tan^2 x) $$

Conclusión: La derivada es $f'(x) = \frac{2}{\cos^2 x} $, válida donde $\cos x \ne 0 $

ð Ejemplo 2: Derivada de la cotangente

Deriva $f(x) = \cot x - x $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la fórmula de la derivada de la cotangente.

A continuación derivaremos el término $-x $

Para terminar simplificaremos el resultado.

ð PASO 1

Derivación término a término.

$$f'(x) = -\frac{1}{\operatorname{sen}^2 x} - 1 = -(1 + \cot^2 x) - 1 = -2 - \cot^2 x $$

Conclusión: La derivada es $f'(x) = -2 - \cot^2 x $, siempre negativa donde está definida.

ð Ejemplo 3: Deducción de la derivada de la tangente por el cociente

Deduce la fórmula $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $ aplicando la regla del cociente a $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar numerador y denominador con sus derivadas.

A continuación aplicaremos la fórmula de la derivada del cociente.

Para terminar usaremos la identidad fundamental de la trigonometría.

ð PASO 1

Identificación.

Llamamos $u = \operatorname{sen} x $ con $u' = \cos x $, y $v = \cos x $ con $v' = -\operatorname{sen} x $

ð PASO 2

Regla del cociente.

$$(\tan x)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \operatorname{sen} x \cdot (-\operatorname{sen} x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} $$

ð PASO 3

Identidad fundamental.

Como $\cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1 $:

$$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$

Conclusión: Queda deducida la fórmula de la derivada de la tangente a partir de la regla del cociente.

ð Ejemplo 4: Crecimiento de tan x - x y una desigualdad clásica

Estudia el crecimiento de $f(x) = \tan x - x $ en el intervalo $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ y deduce la desigualdad $\tan x > x $ para $0 < x < \frac{\pi}{2} $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por derivar la función.

A continuación estudiaremos el signo de la derivada.

Para terminar usaremos el valor de la función en el origen para obtener la desigualdad.

ð PASO 1

Derivada de la función.

$$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x \ge 0 $$

ð PASO 2

Crecimiento.

Como $f'(x) = \tan^2 x \ge 0 $ y solo se anula aisladamente en $x = 0 $, la función es estrictamente creciente en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $

ð PASO 3

Desigualdad.

Como $f $ es creciente y $f(0) = \tan 0 - 0 = 0 $, para $x > 0 $ se tiene $f(x) > f(0) = 0 $, es decir, $\tan x - x > 0 $

Conclusión: La función $f(x) = \tan x - x $ es estrictamente creciente en $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, y por tanto $\tan x > x $ para todo $x $ con $0 < x < \frac{\pi}{2} $

ð Ejemplo 5: Recta tangente a la tangente

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x) = \tan x $ en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{4} $

Explicación:

Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular el valor de la función y de su derivada en $x = \frac{\pi}{4} $

A continuación escribiremos la ecuación punto-pendiente de la recta tangente.

Para terminar operaremos hasta la forma explícita.

ð PASO 1

Valor de la función y de la derivada.

$$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$

$$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \rightarrow f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos^2(\pi/4)} = \frac{1}{(1/\sqrt{2})^2} = 2 $$

ð PASO 2

Ecuación de la tangente.

$$y - 1 = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \rightarrow y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1 $$

Conclusión: La recta tangente a $f(x) = \tan x $ en $x = \frac{\pi}{4} $ es $y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1 $