4.1.4 Complementario de un conjunto y Leyes de De Morgan
SUCESO CONTRARIO O COMPLEMENTARIO
El suceso contrario (o complementario) de \(A \), denotado \(\bar{A} \) (o \(A^c \)), es aquel que ocurre cuando no ocurre \(A \)
\(A \cup \bar{A} = E \), \(A \cap \bar{A} = \emptyset \), \(\bar{E} = \emptyset \), \(\bar{\emptyset} = E \)
En el lanzamiento de un dado, si \(A = \{2, 4, 6\} \) es «número par», su complementario es \(\bar{A} = \{1, 3, 5\} \), «número impar»: \(A \cup \bar{A} = E \) y \(A \cap \bar{A} = \emptyset \)
LEYES DE DE MORGAN
Establecen la dualidad fundamental entre la unión y la intersección bajo la complementación.
1ª LEY DE DE MORGAN: COMPLEMENTARIO DE LA UNIÓN
El complementario de la unión es la intersección de los complementarios (no ocurre ni \(A \) ni \(B \)):
2ª LEY DE DE MORGAN: COMPLEMENTARIO DE LA INTERSECCIÓN
El complementario de la intersección es la unión de los complementarios (al menos uno de ellos no ocurre):
3ª LEY DE DE MORGAN: INVOLUCIÓN
El complementario del complementario es el suceso original (negar dos veces equivale a no negar):
Con \(A = \{1, 2\} \) y \(B = \{2, 3\} \) en \(E = \{1, 2, 3, 4\} \)
Comprobamos la 1ª ley (complementario de la unión):
Se verifica la primera ley.
Comprobamos la 2ª ley (complementario de la intersección):
Se verifica la segunda ley.
Comprobamos la 3ª ley (involución):
Se verifica la tercera ley (involución).
En el lanzamiento de un dado, con espacio muestral \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), sean \(A = \{1, 2\} \) y \(B = \{2, 3\} \)
Comprueba numéricamente la primera ley de De Morgan: \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \)
Explicación:
Para comprobar la primera ley de De Morgan calcularemos por separado el miembro de la izquierda y el de la derecha.
Empezaremos por la izquierda: primero la unión \(A \cup B \) y después su complementario en \(E \). A continuación calcularemos los complementarios \(\bar{A} \) y \(\bar{B} \), y después su intersección.
Para terminar compararemos ambos resultados.
Cálculo del miembro izquierdo.
La unión de \(A \) y \(B \) recoge el uno, el dos y el tres:
Por definición, el complementario de un suceso está formado por los elementos del espacio muestral que no pertenecen al suceso.
Los elementos de \(E \) que no están en \(\{1, 2, 3\} \) son el cuatro, el cinco y el seis:
Cálculo del miembro derecho.
Calculamos cada complementario en \(E \): los elementos que no están en \(A \) son el tres, el cuatro, el cinco y el seis; los que no están en \(B \) son el uno, el cuatro, el cinco y el seis:
La intersección contiene los elementos comunes a ambos complementarios: el cuatro, el cinco y el seis (el tres solo está en el primero y el uno solo en el segundo):
Comparación de ambos miembros.
Hemos obtenido \(\overline{A \cup B} = \{4, 5, 6\} \) y \(\bar{A} \cap \bar{B} = \{4, 5, 6\} \)
Ambos miembros coinciden, luego la igualdad queda verificada numéricamente:
Conclusión: Con los sucesos dados se verifica la primera ley de De Morgan: el complementario de la unión es la intersección de los complementarios.
Sea \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) el espacio muestral del lanzamiento de un dado y \(A = \{2, 3, 5\} \) el suceso "obtener un número primo".
Calcula el suceso complementario \(\bar{A} \)
Explicación:
Para calcular el complementario empezaremos por recordar su definición: \(\bar{A} \) está formado por los elementos del espacio muestral que no pertenecen a \(A \). A continuación recorreremos los seis resultados de \(E \) y descartaremos los que están en \(A \). Para terminar comprobaremos el resultado con la propiedad fundamental \(A \cup \bar{A} = E \)
Selección de los elementos que no están en A.
Por definición, \(\bar{A} = E \setminus A \): contiene los resultados de \(E \) que no están en \(A \)
Recorremos: el uno no está en \(A \); el dos sí está; el tres sí está; el cuatro no está; el cinco sí está; el seis no está.
Por tanto:
Comprobación con la propiedad fundamental.
Todo suceso cumple \(A \cup \bar{A} = E \): cada resultado o bien está en \(A \) o bien no está.
Comprobamos uniendo los dos conjuntos obtenidos:
Se cumple la propiedad, luego el cálculo es correcto.
Conclusión: El suceso contrario de "obtener un número primo" es \(\bar{A} = \{1, 4, 6\} \), es decir, "obtener un número no primo" (el uno no se considera primo).
Con los mismos sucesos \(A = \{1, 2\} \) y \(B = \{2, 3\} \), pero tomando ahora el espacio muestral \(E = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), comprueba numéricamente la primera ley de De Morgan: \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \)
Explicación:
Para comprobar la ley empezaremos por observar que el complementario depende del espacio muestral, de modo que al cambiar \(E \) cambian los complementarios aunque \(A \) y \(B \) sean los mismos.
A continuación calcularemos el miembro izquierdo: la unión y su complementario en el nuevo \(E \). Para terminar calcularemos el miembro derecho (los complementarios y su intersección) y compararemos.
Cálculo del miembro izquierdo.
La unión no depende del espacio muestral:
El complementario sí depende de \(E \): los elementos de \(\{1, 2, 3, 4, 5\} \) que no están en \(\{1, 2, 3\} \) son el cuatro y el cinco:
Cálculo del miembro derecho.
Los complementarios en el nuevo espacio muestral son:
Su intersección contiene los elementos comunes: el cuatro y el cinco (el tres solo está en el primero y el uno solo en el segundo):
Comparación de ambos miembros.
Ambos miembros valen \(\{4, 5\} \): coinciden exactamente, luego la ley queda verificada también en este espacio muestral.
Conclusión: La primera ley de De Morgan se verifica igualmente con \(E = \{1, 2, 3, 4, 5\} \); obsérvese que los complementarios han cambiado respecto al ejemplo 1 (porque dependen del espacio muestral), pero la igualdad sigue cumpliéndose.
Con \(E = \{1, 2, 3, 4, 5\} \), \(A = \{1, 2\} \) y \(B = \{2, 3\} \), comprueba numéricamente la segunda ley de De Morgan: \(\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \)
Explicación:
Para comprobar la segunda ley de De Morgan calcularemos por separado el miembro de la izquierda y el de la derecha.
Empezaremos por la izquierda: primero la intersección \(A \cap B \) y después su complementario en \(E \). A continuación calcularemos el miembro derecho con los complementarios \(\bar{A} \) y \(\bar{B} \), ya obtenidos en el ejemplo anterior, y después su unión.
Para terminar compararemos ambos resultados.
Cálculo del miembro izquierdo.
El único elemento común a \(A \) y \(B \) es el dos:
Su complementario en \(E \) está formado por todos los elementos excepto el dos:
Cálculo del miembro derecho.
Del ejemplo anterior sabemos que \(\bar{A} = \{3, 4, 5\} \) y que \(\bar{B} = \{1, 4, 5\} \)
Su unión recoge los elementos de al menos uno de los dos: el uno, el tres, el cuatro y el cinco:
Comparación de ambos miembros.
Ambos miembros valen \(\{1, 3, 4, 5\} \), luego la igualdad queda verificada numéricamente.
Conclusión: Se verifica la segunda ley de De Morgan: el complementario de la intersección es la unión de los complementarios.
← Anterior Lección
Índice del Bloque
Siguiente Lección →
En un centro de datos, un servicio crítico opera respaldado por dos servidores independientes \(A \) y \(B \). La probabilidad de que falle el servidor A es \(P(F_A) = 0,10 \), la de que falle el servidor B es \(P(F_B) = 0,15 \), y la probabilidad de que fallen ambos simultáneamente es \(P(F_A \cap F_B) = 0,05 \)
Utilizando las leyes de De Morgan, calcula la probabilidad de que al menos uno de los dos servidores funcione correctamente.
Explicación:
Para resolver este ejercicio definiremos el suceso complementario de "ambos fallan simultáneamente". Aplicaremos la segunda ley de De Morgan para relacionar la unión de los funcionamientos correctos con el complementario de la caída conjunta, y calcularemos la probabilidad resultante.
Sucesos y datos.
Fallo del servidor A: \(F_A \), con \(P(F_A) = 0,10 \)
Fallo del servidor B: \(F_B \), con \(P(F_B) = 0,15 \)
Fallo simultáneo de ambos servidores: \(F_A \cap F_B \), con \(P(F_A \cap F_B) = 0,05 \)
Suceso "al menos un servidor funciona".
El servidor A funciona si ocurre \(\overline{F_A} \)
El servidor B funciona si ocurre \(\overline{F_B} \)
Que al menos uno funcione es la unión:
Aplicación de la ley de De Morgan.
Por la ley de De Morgan:
La probabilidad de que al menos uno funcione es el complementario de que fallen los dos a la vez:
Cálculo numérico.
Conclusión: Por las leyes de De Morgan, la probabilidad de que al menos uno de los servidores funcione correctamente es del \(95\% \) (\(P = 0,95 \)).