0.15 Teorema de Bayes
1. Enunciado y fundamento del teorema de Bayes. El Teorema de Bayes calcula la probabilidad a posteriori de que la causa de un suceso observado \(B\) haya sido una hipótesis concreta \(A_k\) perteneciente a una partición \(\{A_1, \dots, A_n\}\): \(P(A_k|B) = \frac{P(A_k \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B|A_i)}\) • Probabilidad a priori \(P(A_k)\): Conocimiento inicial de la causa antes del experimento. • Verosimilitud \(P(B|A_k)\): Probabilidad del efecto dado que ocurre la causa. • Probabilidad a posteriori \(P(A_k|B)\): Probabilidad actualizada de la causa habiendo observado el efecto \(B\) Ejemplo: Bayes invierte el razonamiento: del efecto observado (pieza defectuosa) se retrocede a la causa probable (qué máquina la fabricó), repartiendo la probabilidad total entre las vías según el peso de cada una. 2. Demostración del teorema de Bayes. La demostración es inmediata a partir de la definición de probabilidad condicionada, que podemos usar porque \(P(A) > 0\) por hipótesis: \(P(B_j|A) = \frac{P(B_j \cap A)}{P(A)}\) Por conmutatividad de la intersección, \(P(B_j \cap A) = P(A \cap B_j)\), y por la regla de la multiplicación \(P(A \cap B_j) = P(A|B_j) \cdot P(B_j)\), donde \(P(A|B_j)\) está bien definida porque \(P(B_j) > 0\) por hipótesis. Sustituyendo el numerador se obtiene el enunciado. Ejemplo: En esta sección aprenderemos a invertir condicionadas: un test detecta al \(99\) por ciento de los enfermos pero da un \(5\) por ciento de falsos positivos, y la enfermedad afecta a \(1\) de cada mil personas; si el test da positivo, la probabilidad de estar enfermo es solo \(\frac{0,99 \cdot 0,001}{0,99 \cdot 0,001 + 0,05 \cdot 0,999} = \frac{0,00099}{0,05094} \approx 0,0194\), menos del \(2\) por ciento. 3. Probabilidades a priori y a posteriori. Las probabilidades \(P(B_i)\) se llaman probabilidades a priori: son lo que sabemos de cada hipótesis antes de observar el dato \(A\) Las probabilidades \(P(B_i|A)\) se llaman probabilidades a posteriori: son lo que sabemos de cada hipótesis después de observar el dato. El Teorema de Bayes es, por tanto, la regla matemática para actualizar nuestras creencias a la luz de la evidencia. Ejemplo 1: Causa de un defecto en una fábrica con tres máquinas. Una fábrica produce piezas con tres máquinas: M1 fabrica el 50 % con un 2 % de piezas defectuosas, M2 el 30 % con un 3 % y M3 el 20 % con un 5 %. Si una pieza elegida al azar resulta ser defectuosa, calcula la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina M3.
Para resolver este ejemplo empezaremos por reconocer el problema inverso: observado el defecto, se pide la probabilidad a posteriori de una de las causas, lo que exige el teorema de Bayes. A continuación calcularemos la probabilidad total de defecto, que irá en el denominador. Para terminar aplicaremos la fórmula de Bayes con la vía de la máquina 3 en el numerador y expresaremos el resultado como fracción.
Datos y planteamiento.
Los sucesos \(M_1\), \(M_2\) y \(M_3\) forman una partición del espacio muestral, y sea \(D\) el suceso "la pieza es defectuosa". Los datos son:
Queremos \(P(M_3 \mid D)\)
Probabilidad total de defecto.
Aplicación del teorema de Bayes.
Si la pieza es defectuosa, la probabilidad de que proceda de la máquina M3 es \(\frac{10}{29} \approx 0,345\), es decir, un 34,5 %.
En una población, el 2 % de las personas padece cierta enfermedad (suceso \(E\)) y el 98 % está sana (suceso \(S\)). Un test diagnóstico da positivo en el 95 % de los enfermos y en el 3 % de las personas sanas. Si una persona elegida al azar da positivo en el test, calcula la probabilidad de que esté realmente enferma.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la partición formada por estar enfermo o sano y escribir las probabilidades a priori y las verosimilitudes del test. A continuación calcularemos la probabilidad total de dar positivo, que irá en el denominador de Bayes. Para terminar aplicaremos el teorema de Bayes e interpretaremos el resultado a la luz de la baja prevalencia de la enfermedad.
Partición, probabilidades a priori y verosimilitudes.
Los sucesos \(E\), "la persona está enferma", y \(S\), "la persona está sana", son incompatibles y cubren toda la población: forman una partición. Los datos son:
Sea \(+\) el suceso "el test da positivo". Las verosimilitudes son:
Probabilidad total de dar positivo.
Aplicación del teorema de Bayes.
Aunque la persona haya dado positivo, la probabilidad real de que esté enferma es solo del 39,26 %. La mayoría de los positivos son falsos positivos, debido a la baja prevalencia de la enfermedad en la población.
Con las dos urnas del ejemplo de probabilidad total (urna 1 con 4 rojas y 6 negras, urna 2 con 7 rojas y 3 negras, elegidas lanzando una moneda equilibrada), supongamos que la bola extraída ha sido roja. Calcula la probabilidad de que proceda de la urna 1.
Para resolver este ejemplo empezaremos por reconocer el problema inverso: observada la bola roja, se pide la probabilidad a posteriori de cada urna de origen, lo que exige el teorema de Bayes. A continuación recuperaremos la probabilidad total de bola roja, que irá en el denominador. Para terminar aplicaremos la fórmula de Bayes con la vía de la urna 1 en el numerador y simplificaremos la fracción.
Datos y planteamiento.
Las probabilidades a priori son \(P(U_1) = \frac{1}{2}\) y \(P(U_2) = \frac{1}{2}\), y las verosimilitudes \(P(R \mid U_1) = \frac{4}{10} = 0,4\) y \(P(R \mid U_2) = \frac{7}{10} = 0,7\) Queremos \(P(U_1 \mid R)\)
Probabilidad total de bola roja.
Por el teorema de la probabilidad total:
Aplicación del teorema de Bayes.
Si la bola extraída es roja, la probabilidad de que proceda de la urna 1 es \(\frac{4}{11} \approx 0,364\), es decir, un 36,4 %. Es menor que el 50 % inicial porque la urna 2 contiene proporcionalmente más bolas rojas.
En la fábrica del Ejemplo 1 de la sección anterior, las máquinas M1 y M2 producen el 60 % y el 40 % de los artículos, con tasas de defecto del 2 % y del 5 % respectivamente. Si elegimos un artículo al azar y resulta ser defectuoso, calcula la probabilidad de que proceda de la máquina M1.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar que se trata de un problema inverso: conocido el efecto, queremos la probabilidad de la causa, lo que exige el teorema de Bayes. A continuación calcularemos la probabilidad total de defecto con el teorema de la probabilidad total, que aparecerá en el denominador. Para terminar aplicaremos la fórmula de Bayes con la vía de la máquina 1 en el numerador y simplificaremos el resultado.
Planteamiento con el teorema de Bayes.
Sea \(D\) el suceso "el artículo es defectuoso". Queremos \(P(M_1 \mid D)\), la probabilidad a posteriori de que la causa haya sido la máquina 1 habiendo observado el defecto. El teorema de Bayes establece:
Cálculo de la probabilidad total de defecto.
El denominador se obtiene con el teorema de la probabilidad total:
Sustitución en la fórmula de Bayes y cálculo final.
El numerador es la vía de la máquina 1: \(P(M_1) \cdot P(D \mid M_1) = 0,60 \cdot 0,02 = 0,012\) Sustituyendo en la fórmula de Bayes:
Si el artículo es defectuoso, la probabilidad de que proceda de la máquina M1 es 0,375, es decir, un 37,5 %. Observa que, aunque M1 produce más artículos, su baja tasa de defecto hace que esta probabilidad a posteriori sea menor que la probabilidad a priori del 60 %.
Se elige al azar una de dos urnas: la urna \(1\) tiene \(3\) rojas y \(7\) azules, y la urna \(2\) tiene \(6\) rojas y \(4\) azules. Si sale bola roja, la probabilidad de haber elegido la urna \(1\) es \(P(U_1|R) = \frac{P(R|U_1) \cdot P(U_1)}{P(R)} = \frac{0,3 \cdot 0,5}{0,45} = \frac{0,15}{0,45} = \frac{1}{3}\)