0.8 0.8 Sucesos dependientes e independientes
Definición formal de independencia estocástica
Dos sucesos \(A \) y \(B \) son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no altera ni condiciona en absoluto la probabilidad de que ocurra el otro:
Recordemos que la probabilidad condicionada \(P(A|B) \) es la probabilidad de que ocurra \(A \) sabiendo que previamente ha ocurrido \(B \), y se calcula como \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
Equivalentemente (en términos de probabilidad condicionada):
Al lanzar dos monedas, \(A \) = «cara en la primera» y \(B \) = «cara en la segunda» son independientes: $$P(A \cap B) = \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = P(A) \cdot P(B) $$
Interpretación intuitiva mediante la probabilidad condicionada
La probabilidad condicionada de \(A \) sabiendo que ha ocurrido \(B \) se define como \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), siempre que \(P(B) > 0 \)
Esta noción se estudiará en detalle en la sección 0.12; aquí la usamos solo para interpretar la independencia.
Si \(A \) y \(B \) son independientes, sustituyendo la definición obtenemos:
Esta es la interpretación intuitiva de la independencia: saber que ha ocurrido \(B \) no modifica la probabilidad de \(A \)
Por ejemplo, que la primera moneda haya salido cara no cambia la probabilidad de que la segunda salga cara.
En cambio, si los sucesos son dependientes, la información sobre uno de ellos sí altera la probabilidad del otro.
Al lanzar un dado, sean $$A = \text{salir par} ,\ \text{con}\ P(A) = \frac{1}{2} $$, y $$B = \text{salir múltiplo de tres} ,\ \text{con}\ P(B) = \frac{1}{3} $$
Como \(A \cap B = \{6\} \), $$P(A \cap B) = \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} $$: son independientes.
Sucesos dependientes
Dos sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de \(B \) modifica la probabilidad de \(A \):
Extracciones con o sin reemplazamiento:
• Con reemplazamiento: La composición de la urna no cambia, lo que implica que las extracciones son independientes .
• Sin reemplazamiento: Cambia el número de casos favorables y posibles, lo que implica que las extracciones son dependientes .
Al extraer dos cartas sin reemplazamiento, \(A_1 \) = «la primera es un as» y \(A_2 \) = «la segunda es un as» son dependientes: $$P(A_2|A_1) = \frac{3}{39} \ne \frac{4}{40} = P(A_2) $$
Independencia e incompatibilidad no son lo mismo
Conviene no confundir la independencia con la incompatibilidad estudiada en la sección 0.
9.
Dos sucesos incompatibles verifican \(A \cap B = \emptyset \), luego \(P(A \cap B) = 0 \), mientras que la independencia exigiría \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Si ambos sucesos tienen probabilidad positiva, estas dos igualdades son incompatibles entre sí: dos sucesos incompatibles de probabilidad positiva son necesariamente dependientes, porque saber que ha ocurrido uno de ellos nos dice con certeza que el otro no ha ocurrido.
Si \(P(A) = 0,4 \), \(P(B) = 0,5 \) y \(P(A \cap B) = 0,2 \), ¿son \(A \) y \(B \) sucesos independientes?
Para responder empezaremos por recordar la definición de independencia: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). A continuación calcularemos el producto \(P(A) \cdot P(B) \) con los datos del enunciado.
Para terminar lo compararemos con el valor dado de \(P(A \cap B) \)
Cálculo del producto de probabilidades.
Multiplicamos los datos del enunciado:
Comparación con la probabilidad de la intersección.
El enunciado nos da \(P(A \cap B) = 0,2 \)
Como \(0,20 = 0,2 \) (los ceros a la derecha de la última cifra decimal no alteran el valor), se cumple:
Los sucesos \(A \) y \(B \) son independientes, porque la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades.
Se lanza un dado dos veces.
Sean \(A \) el suceso "sacar 6 en el primer lanzamiento" y \(B \) el suceso "sacar 6 en el segundo lanzamiento".
Calcula \(P(A \cap B) \) razonando si los sucesos son independientes.
Para resolver este ejemplo empezaremos por analizar si el resultado del primer lanzamiento influye en
el segundo: como el dado no tiene memoria, los lanzamientos son independientes.
A continuación calcularemos \(P(A) \) y \(P(B) \) con la regla de Laplace.
Para terminar aplicaremos la definición de independencia para obtener \(P(A \cap B) \)
Análisis de la independencia.
El resultado del primer lanzamiento no modifica en absoluto las condiciones d
el segundo: el dado sigue siendo el mismo y equilibrado.
Por tanto, la ocurrencia de \(A \) no altera la probabilidad de \(B \), y los sucesos son independientes: \(P(B|A) = P(B) \)
Cálculo de P(A) y P(B).
En cada lanzamiento hay seis resultados equiprobables y solo uno es favorable ("sacar 6"):
Cálculo de la probabilidad conjunta.
Por la definición de independencia, \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Sustituyendo los valores obtenidos:
Como los lanzamientos son independientes, \(P(A \cap B) = \frac{1}{36} \)
Una urna contiene tres bolas rojas y dos bolas negras.
Se extraen dos bolas sin devolver la primera a la urna.
Sean \(R_1 \) el suceso "la primera bola es roja" y \(R_2 \) el suceso "la segunda bola es roja".
Estudia si \(R_1 \) y \(R_2 \) son dependientes o independientes.
Para estudiar la dependencia empezaremos por recordar que dos sucesos son dependientes cuando \(P(R_2|R_1) \ne P(R_2) \), es decir, cuando la ocurrencia del primero modifica la probabilidad del segundo.
A continuación calcularemos \(P(R_1) \) y \(P(R_2) \). Para terminar calcularemos la probabilidad condicionada \(P(R_2|R_1) \), teniendo en cuenta que la primera bola no se devuelve, y compararemos.
Probabilidades sin condicionar.
En la primera extracción hay cinco bolas en la urna, tres de ellas rojas:
Antes de extraer ninguna bola, por simetría, la segunda extracción tiene la misma probabilidad de ser roja que la primera (cada posición es igualmente probable para las bolas rojas):
Probabilidad condicionada sin reemplazamiento.
Si ha ocurrido \(R_1 \), la primera bola (roja) no se devuelve: en la urna quedan cuatro bolas, de las cuales dos son rojas (tres menos la extraída) y dos son negras.
La composición de la urna ha cambiado, luego:
Comparación y conclusión sobre la dependencia.
Comparamos: \(P(R_2|R_1) = \frac{1}{2} \) mientras que \(P(R_2) = \frac{3}{5} \)
Como \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{5} \), se cumple \(P(R_2|R_1) \ne P(R_2) \)
Los sucesos \(R_1 \) y \(R_2 \) son dependientes: al no devolver la primera bola, su ocurrencia modifica la composición de la urna y, con ella, la probabilidad de la segunda extracción. (Con reemplazamiento, la composición no cambiaría y las extracciones serían independientes.)
Una urna contiene tres bolas rojas y dos bolas azules.
Se extraen dos bolas sucesivamente.
Sean \(R_1 \) el suceso salir roja en la primera extracción y \(R_2 \) el suceso salir roja en la segunda extracción.
Estudia si \(R_1 \) y \(R_2 \) son independientes cuando la extracción es con reemplazamiento y cuando es sin reemplazamiento.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular las probabilidades en el caso con reemplazamiento.
A continuación calcularemos las probabilidades en el caso sin reemplazamiento usando la probabilidad condicionada.
Para terminar compararemos ambos casos con la definición de independencia.
Extracción con reemplazamiento.
Al devolver la bola a la urna, la composición no cambia: en cada extracción hay tres rojas de cinco bolas.
Por tanto:
Como la primera extracción no altera la urna, \(P(R_2|R_1) = \frac{3}{5} \), y por la regla del producto:
Puesto que \(P(R_1) \cdot P(R_2) = 0,6 \cdot 0,6 = 0,36 \), se cumple \(P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2) \) y los sucesos son independientes.
Extracción sin reemplazamiento.
Ahora la bola no se devuelve.
La primera extracción sigue teniendo \(P(R_1) = \frac{3}{5} = 0,6 \)
Pero si la primera bola fue roja, en la urna quedan dos rojas de cuatro bolas, luego:
Por la regla del producto:
La segunda extracción, sin condicionar a
la primera, también vale tres quintos, y lo comprobamos descomponiendo según lo ocurrido en la primera extracción.
Con probabilidad \(\frac{3}{5} \) la primera bola fue roja y quedan dos rojas de cuatro, y con probabilidad \(\frac{2}{5} \) la primera fue azul y quedan tres rojas de cuatro.
Por tanto $$P(R_2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0,6 $$
Sin embargo:
luego los sucesos son dependientes.
Comparación e interpretación.
Con reemplazamiento la urna se regenera y el pasado no informa del futuro: independencia.
Sin reemplazamiento, saber que la primera bola fue roja reduce de \(0,6 \) a \(0,5 \) la probabilidad de que la segunda sea roja: dependencia.
Este ejemplo muestra que la independencia no es una propiedad de los sucesos en sí, sino del mecanismo aleatorio completo, incluido el modo de muestreo.
Se lanzan dos monedas equilibradas.
Sean \(A \) el suceso la primera moneda sale cara, \(B \) el suceso la segunda moneda sale cara y \(C \) el suceso las dos monedas dan el mismo resultado.
Estudia si los tres sucesos son independientes dos a dos y si son mutuamente independientes.
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el espacio muestral y las probabilidades individuales de los tres sucesos.
A continuación comprobaremos la independencia de cada pareja multiplicando sus probabilidades.
Para terminar comprobaremos si se cumple la condición de independencia mutua para los tres a la vez.
Espacio muestral y probabilidades individuales.
El espacio muestral es $$\Omega = \{(\text{cara},\text{cara}), (\text{cara},\text{cruz}), (\text{cruz},\text{cara}), (\text{cruz},\text{cruz})\} $$, con cuatro resultados equiprobables.
\(P(A) = \frac{2}{4} = 0,5 \), porque \(A \) contiene los dos resultados con cara en la primera moneda.
Del mismo modo \(P(B) = \frac{2}{4} = 0,5 \)
El suceso \(C \) contiene los dos resultados con las monedas iguales, luego \(P(C) = \frac{2}{4} = 0,5 \)
Independencia de cada pareja.
Como \(P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \), los sucesos \(A \) y \(B \) son independientes.
\(A \cap C \) es también \((\text{cara},\text{cara}) \), luego \(P(A \cap C) = 0,25 = P(A) \cdot P(C) \): \(A \) y \(C \) son independientes.
Y \(B \cap C \) es también \((\text{cara},\text{cara}) \), luego \(P(B \cap C) = 0,25 = P(B) \cdot P(C) \): \(B \) y \(C \) son independientes.
Comprobación de la independencia mutua.
La intersección de los tres es $$A \cap B \cap C = \{(\text{cara},\text{cara})\} $$, luego \(P(A \cap B \cap C) = 0,25 \)
En cambio $$P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 $$
Los tres sucesos son independientes dos a dos, pero no son mutuamente independientes porque \(0,25 \neq 0,125 \)
La independencia por parejas no garantiza la independencia conjunta: la condición de factorización debe comprobarse también para los tres a la vez.
En el lanzamiento de un dado equilibrado, sean \(A = \{2, 4, 6\} \) ("número par") y \(B = \{1, 2\} \)
Comprueba si \(A \) y \(B \) son sucesos independientes.
Para comprobar la independencia empezaremos por recordar su definición: dos sucesos son independientes cuando \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). A continuación calcularemos \(P(A) \) y \(P(B) \) con la regla de Laplace (el dado es equilibrado).
Para terminar calcularemos \(P(A \cap B) \) y compararemos ambos miembros.
Cálculo de P(A) y P(B).
El dado es equilibrado, luego aplicamos la regla de Laplace.
El suceso \(A \) tiene tres casos favorables de seis posibles:
El suceso \(B \) tiene dos casos favorables de seis posibles:
Cálculo de la probabilidad de la intersección.
La intersección contiene los elementos comunes a ambos sucesos: solo el dos:
Por la regla de Laplace, con un caso favorable de seis posibles:
Comparación con el producto.
Calculamos el producto de las probabilidades:
Como \(P(A \cap B) = \frac{1}{6} \) y \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \), se cumple la igualdad \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Los sucesos \(A \) y \(B \) son independientes: saber que ha salido par no altera la probabilidad de que haya salido uno o dos.
En una urna con \(3 \) bolas rojas y \(2 \) azules, con reemplazamiento se tiene \(P(R_2|R_1) = \frac{3}{5} = P(R_2) \): las extracciones son independientes.
Sin reemplazamiento, $$P(R_2|R_1) = \frac{2}{4} = 0,5 \neq \frac{3}{5} $$: son dependientes.