6.4 Distribución F de Snedecor
6.4 Distribución F de Snedecor 1. Definición de la distribución F de Snedecor. Ejemplo: En esta sección veremos la distribución para comparar dos varianzas: si \(X \sim \chi^2_5 \ \text{e}\\Y \sim \chi^2_{10}\) son independientes, entonces \(F = \frac{X/5}{Y/10} \sim F_{5,10}\) Sean \(X \ \text{e}\\Y\) dos variables aleatorias independientes de modo que \(X \sim \chi^2_n \ \text{e}\\Y \sim \chi^2_m\) Sea \(F = \frac{X/n}{Y/m}\) A la distribución de la variable aleatoria \(F\) se le denomina distribución F de Snedecor con \(n\) y \(m\) grados de libertad, y se representa \(F \sim F_{n,m}\) Observemos que el orden de los grados de libertad importa: \(F_{n,m}\) no es la misma distribución que \(F_{m,n}\) Al ser un cociente de cantidades no negativas, la variable \(F\) solo toma valores no negativos. 2. Percentiles y puntos críticos. Ejemplo: Sean \(X \sim \chi^2_5 \ \text{e}\\Y \sim \chi^2_{10}\) independientes. El cociente de ambas normalizadas por sus grados de libertad, \(F = \frac{X/5}{Y/10}\), sigue una \(F_{5,10}\) Sea \(\alpha \in (0, 1)\) Mediante \(F_{n,m,\alpha}\) representaremos a aquel \(x \in \mathbb{R}\) tal que si \(F \sim F_{n,m}\), entonces \(F_{n,m,\alpha} = x \iff P(F \leq x) = \alpha\) Es decir, el percentil de nivel \(\alpha\) es el valor que deja a su izquierda una probabilidad acumulada exactamente igual a \(\alpha\) 3. Propiedad del recíproco. Ejemplo: El punto crítico \(F_{5,10, 0,95} = 3,33\) significa que \(P(F_{5,10} \leq 3,33) = 0,95\) Si \(F \sim F_{m,n}\), entonces \(\frac{1}{F} \sim F_{n,m}\) En efecto, al invertir el cociente se intercambian el numerador y el denominador, y con ellos sus grados de libertad. Por tanto, se verifica que \(F_{m,n,\alpha} = \frac{1}{F_{n,m,1-\alpha}}\) Esta propiedad es muy útil porque las tablas de la F suelen tabular solo los percentiles de la cola derecha (niveles altos), y con ella obtenemos los de la cola izquierda sin necesidad de tablas adicionales. Ejemplo 1: Para X ~ F_n=8,m=15, hallar el percentil o punto crítico de nivel α = 0,9 y de nivel α = 0, 1.
Para resolver este ejemplo empezaremos por buscar en la tabla el percentil de nivel cero coma nueve con ocho y quince grados de libertad. A continuación aplicaremos la propiedad del recíproco para obtener el percentil de nivel cero coma uno. Para terminar interpretaremos ambos resultados en términos de probabilidad acumulada.
Percentil de nivel cero coma nueve.
Entrando en la tabla de la distribución F de Snedecor con \(8\) grados de libertad en el numerador y \(15\) en el denominador, en la columna de nivel \(0,9\), obtenemos \(F_{8,15,0,9} = 2,11853\) Esto significa que \(P[F_{8,15} \leq 2,11853] = 0,9\)
Percentil de nivel cero coma uno por la propiedad del recíproco.
Aplicando la propiedad del recíproco: \(F_{8,15,0,1} = \frac{1}{F_{15,8,0,9}}\) Buscando en la tabla con los grados de libertad intercambiados: \(F_{15,8,0,9} = 2,464216\) Por tanto, \(F_{8,15,0,1} = \frac{1}{2,464216} = 0,4058\)
Interpretación probabilística.
El resultado significa que \(P[F_{8,15} \leq 0,4058] = 0,1\): el valor \(0,4058\) deja a su izquierda el diez por ciento de la probabilidad de la distribución.
Sean \(U \sim \chi^2_6\) y \(V \sim \chi^2_{10}\) dos variables aleatorias independientes. Se define \(F = \frac{U/6}{V/10}\) Identifica la distribución de \(F\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar las condiciones de la definición: dos chi-cuadrados independientes, cada una dividida entre sus grados de libertad. A continuación identificaremos el orden de los grados de libertad. Para terminar daremos la esperanza de la distribución obtenida.
Comprobación de las condiciones de la definición.
El numerador es \(U/6\) con \(U \sim \chi^2_6\), el denominador es \(V/10\) con \(V \sim \chi^2_{10}\), y ambas son independientes por hipótesis. Se cumplen las condiciones de la definición de la F de Snedecor.
Identificación de la distribución.
Por tanto \(F \sim F_{6,10}\): los seis grados del numerador van en primer lugar y los diez del denominador en segundo. Al ser un cociente de cantidades no negativas, \(F\) solo toma valores no negativos. Su esperanza es \(E[F] = \frac{10}{10-2} = 1,25\)
El cociente \(F = \frac{U/6}{V/10}\) sigue una distribución \(F_{6,10}\)
Esta construcción es la que aparece al comparar las varianzas de dos muestras independientes de poblaciones normales.
Sea \(F \sim F_{10,6}\) Halla el percentil de nivel \(0,05\), es decir, \(F_{10,6;0,05}\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por aplicar la propiedad del recíproco, que expresa el percentil de cola izquierda con los grados de libertad intercambiados. A continuación leeremos en la tabla el percentil de cola derecha correspondiente. Para terminar calcularemos el recíproco y daremos la interpretación.
Aplicación de la propiedad del recíproco.
Por la propiedad del recíproco:
Lectura del percentil de cola derecha en la tabla.
Entrando en la tabla de la F con \(6\) grados en el numerador y \(10\) en el denominador, en la columna de nivel \(0,95\):
Cálculo del recíproco e interpretación.
Por tanto:
Esto significa que \(P(F_{10,6} \leq 0,3108) = 0,05\): el valor \(0,3108\) deja a su izquierda el cinco por ciento de la probabilidad.
El percentil pedido es \(F_{10,6;0,05} = 0,3108\)
Gracias a la propiedad del recíproco lo hemos obtenido a partir de un percentil de cola derecha, que es lo que tabulan las tablas habituales.
Se extraen dos muestras aleatorias simples independientes de dos poblaciones normales con la misma varianza \(\sigma^2\) desconocida. Los tamaños son \(n_1 = 13\) y \(n_2 = 11\), y las cuasivarianzas muestrales son \(S_{c1}^2 = 4,2\) y \(S_{c2}^2 = 1,8\) Calcula el cociente \(F = \frac{S_{c1}^2}{S_{c2}^2}\), identifica su distribución y compáralo con el percentil de nivel \(0,95\)
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el cociente de cuasivarianzas reescaladas y ver que las varianzas poblacionales se cancelan al ser iguales. A continuación identificaremos la distribución F resultante. Después calcularemos el valor con los datos. Para terminar lo compararemos con el percentil de la tabla para valorar la compatibilidad con la igualdad de varianzas.
El estadístico y su distribución.
El cociente reescalado es \(F = \frac{S_{c1}^2/\sigma^2}{S_{c2}^2/\sigma^2} = \frac{S_{c1}^2}{S_{c2}^2}\), donde las varianzas poblacionales se cancelan por ser iguales. Bajo esa hipótesis:
Valor con los datos muestrales.
Comparación con el percentil.
En la tabla de la F con doce y diez grados de libertad, el percentil de nivel \(0,95\) es \(F_{12,10;0,95} = 2,913\) Como \(2,333 < 2,913\), el cociente observado no es anormalmente grande: es compatible con que las dos varianzas poblacionales sean iguales.
El cociente vale \(2,333\) y sigue una \(F_{12,10}\)
Este es el cálculo que está en la base del contraste de igualdad de varianzas que estudiaremos en el tema 9.