7.4 7.4 Distribución de la media y varianza muestrales
7.4 Distribución de la media muestral
En el muestreo normal conviene retener el cuadro: con \(\sigma \) conocida, $$\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) $$; con \(\sigma \) estimada, \(t_{n-1} \);
para la varianza, $$\frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} $$;
para comparar varianzas, la \(F \) de Fisher Snedecor.
Distribución de la media muestral en poblaciones normales
En esta sección veremos las distribuciones de los estadísticos muestrales en poblaciones normales:
si \(X \sim N(100, 15^2) \) y \(n = 25 \), entonces \(\bar{X} \sim N(100, 9) \) y \(\frac{24 S_c^2}{225} \sim \chi^2_{24} \)
Sea \(X_1, X_2, \dots, X_n \) una muestra aleatoria simple procedente de una población \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \)
Como la media muestral \(\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \) es una combinación lineal de variables normales independientes, también sigue una distribución normal.
Su esperanza es \(E[\bar{X}] = \mu \) y su varianza es \(\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \), como ya demostramos en la sección 7.
2.
Por tanto:
La cantidad \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \) se llama error estándar de la media y mide la precisión con la que la media muestral estima a la media poblacional: disminuye al aumentar el tamaño de la muestra.
Distribución aproximada: el teorema central del límite
Si \(X \sim N(100, 15^2) \) y se toma una muestra de \(n = 25 \), la media muestral sigue $$\bar{X} \sim N\left(100, \frac{225}{25}\right) = N(100, 9) $$: la media se mantiene y la varianza se divide entre \(25 \)
Si la población no es normal pero el tamaño de la muestra es suficientemente grande, el teorema central del límite nos garantiza que la distribución de la media muestral es aproximadamente normal:
En la práctica se considera que la aproximación es buena para \(n \geq 30 \)
Este resultado es la base de los intervalos de confianza para la media en el caso general con muestras grandes, que veremos en la sección 7.6.
Distribución de la cuasivarianza muestral: la chi cuadrado
Si la población no es normal pero \(n = 100 \), el teorema central del límite da $$\bar{X} \overset{aprox}{\sim} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{100}\right) $$
Con \(n \geq 30 \) la aproximación ya se considera buena en la práctica.
Para poblaciones normales, la cuasivarianza muestral $$S_c^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 $$ verifica que
donde \(\chi^2_{n-1} \) denota la distribución chi cuadrado con \(n - 1 \) grados de libertad.
Esta distribución describe cómo se dispersa la varianza muestral alrededor de la varianza poblacional y será la base del intervalo de confianza para la varianza.
La distribución t de Student
En una población normal con muestra de \(n = 10 \), la cuasivarianza verifica \(\frac{9 S_c^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_9 \)
Esta distribución permite construir intervalos para \(\sigma^2 \) y contrastes sobre la varianza.
Cuando la varianza poblacional \(\sigma^2 \) es desconocida, no podemos usar la normal tipificada $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1) $$ porque contiene el parámetro desconocido sigma.
La solución es sustituir sigma por su estimador, la cuasivarianza muestral, obteniendo el estadístico
donde \(t_{n-1} \) denota la distribución t de Student con \(n - 1 \) grados de libertad.
La t de Student es simétrica respecto al cero, como la normal estándar, pero tiene colas más pesadas, lo que refleja la incertidumbre adicional por estimar la varianza.
Cuando los grados de libertad crecen, la t de Student converge a la normal estándar.
La distribución F de Fisher Snedecor
Con varianza poblacional desconocida, el estadístico $$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S_c/\sqrt{n}}\sim t_{n-1} $$ ya no contiene parámetros desconocidos: es la cantidad pivotal para la media con \(\sigma \) desconocida.
Al comparar las varianzas de dos poblaciones normales independientes, con muestras de tamaños \(n_1 \) y \(n_2 \) y cuasivarianzas \(S_{c1}^2 \) y \(S_{c2}^2 \), el cociente
sigue una distribución F de Fisher Snedecor.
En particular, si las dos varianzas poblacionales son iguales, \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 \), el cociente de cuasivarianzas \(\frac{S_{c1}^2}{S_{c2}^2} \) sigue una \(F_{n_1-1, n_2-1} \)
Resumen de las distribuciones en el muestreo normal
Con dos muestras independientes de tamaños \(n_1 = 11 \) y \(n_2 = 16 \) de poblaciones normales, $$F = \frac{S_{c1}^2/\sigma_1^2}{S_{c2}^2/\sigma_2^2} \sim F_{10, 15} $$: el cociente de cuasivarianzas reescaladas sirve para comparar \(\sigma_1^2 \) y \(\sigma_2^2 \)
Conviene retener el siguiente cuadro: la media muestral tipificada con varianza conocida sigue una normal estándar; la media tipificada con varianza estimada sigue una t de Student; la cuasivarianza reescalada sigue una chi cuadrado; el cociente de dos cuasivarianzas reescaladas sigue una F de Fisher Snedecor.
Estas cuatro distribuciones son las cantidades pivotales que usaremos para construir los intervalos de confianza de la sección 7.
6.
Una cantidad pivotal, como veremos en la sección 7.5, es una función de la muestra y del parámetro cuya distribución de probabilidad es completamente conocida.
Se toma una muestra aleatoria simple de veinticinco estudiantes.
Calcula la probabilidad de que la media muestral se desvíe de la media poblacional en más de \(4 \) centímetros.
Para resolver este ejemplo empezaremos por determinar la distribución exacta de la media muestral.
A continuación tipificaremos el suceso pedido.
Para terminar calcularemos la probabilidad usando la tabla de la normal estándar.
Distribución de la media muestral.
Como la población es normal, la media muestral sigue exactamente una normal:
El error estándar de la media es \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}= \frac{10}{5} = 2 \) centímetros.
Tipificación del suceso.
Queremos \(P(|\bar{X} - 170| > 4) \)
Tipificando, restamos la media y dividimos por el error estándar:
donde \(Z \sim N(0,1) \)
Cálculo con la tabla de la normal.
Por simetría de la normal estándar:
La tabla de la normal estándar nos da \(\Phi(2) = 0,9772 \), luego:
La probabilidad de que la media de la muestra se desvíe más de \(4 \) centímetros de la media poblacional es del \(4,56 \) por ciento.
Determina el valor de la constante c tal que $$P\left(\frac{\bar{X} - \mu}{S_c/\sqrt{10} > c}\right) = 0,05 $$
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la distribución del estadístico.
A continuación interpretaremos la probabilidad pedida como un cuantil de dicha distribución.
Para terminar leeremos el valor en la tabla de la t de Student.
Identificación de la distribución.
El estadístico \(T = \frac{\bar{X} - \mu}{S_c/\sqrt{10}} \) combina la media muestral con la cuasivarianza muestral en lugar de la varianza poblacional desconocida.
Por el resultado de esta sección:
ya que los grados de libertad son \(n - 1 = 10 - 1 = 9 \)
Interpretación como cuantil.
La condición \(P(T > c) = 0,05 \) significa que c deja a su derecha una probabilidad de cero coma cero cinco, es decir, c es el cuantil de orden cero coma noventa y cinco de la t de Student con nueve grados de libertad:
Lectura en la tabla.
Buscando en la tabla de la distribución t de Student la fila de nueve grados de libertad y la columna de probabilidad acumulada cero coma noventa y cinco, obtenemos:
Por tanto, con una probabilidad del \(95 \) por ciento el estadístico tipificado con la cuasivarianza no supera el valor uno coma ochocientos treinta y tres.
Este es exactamente el tipo de cuantil que usaremos para construir intervalos de confianza para la media con varianza desconocida.
De una población normal se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño \(n = 16 \) y se obtiene una cuasivarianza muestral \(S_c^2 = 16 \)
Suponiendo que la varianza poblacional es \(\sigma^2 = 10 \), calcula el valor del estadístico \(\frac{(n-1)S_c^2}{\sigma^2} \) y la probabilidad de obtener un valor mayor.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar la distribución del estadístico reescalado de la cuasivarianza en el muestreo normal.
A continuación sustituiremos los datos.
Para terminar calcularemos la probabilidad de cola y la interpretaremos.
Distribución del estadístico.
En el muestreo de una población normal:
Con \(n = 16 \), el estadístico sigue una \(\chi^2_{15} \) si la varianza poblacional es realmente \(10 \)
Valor con los datos muestrales.
Probabilidad de cola e interpretación.
La probabilidad de obtener un valor mayor que \(24 \) en una \(\chi^2_{15} \) es aproximadamente \(0,065 \)
Es decir, si la varianza poblacional fuera \(10 \), solo el seis coma cinco por ciento de las muestras darían una cuasivarianza tan grande o mayor que la observada.
La varianza muestral \(16 \) es algo alta para \(\sigma^2 = 10 \), pero no lo suficiente como para resultar incompatible.
El estadístico vale \(24 \) y \(P(\chi^2_{15} > 24) \approx 0,065 \)
Este tipo de cálculo es el que permite construir intervalos de confianza para la varianza y contrastar hipótesis sobre ella.