1.6 Transformaciones lineales: efecto sobre la media y la varianza
La transformación lineal: qué es y por qué aparece en economía
Partimos de una variable estadística \(x \) con valores observados \(x_1, x_2, \ldots, x_n \)
Una transformación lineal consiste en construir una nueva variable \(y \) aplicando a cada valor de \(x \) la misma regla \(y_i = a + b x_i \), donde \(a \) y \(b \) son constantes.
La constante \(a \) produce una traslación: desplaza todos los valores en la misma cantidad.
La constante \(b \) produce un cambio de escala: estira o comprime todos los valores en el mismo factor.
Suponemos \(b \neq 0 \), pues si \(b = 0 \) la variable \(y \) sería constante y el estudio carecería de interés.
Esta operación aparece en economía cada vez que una magnitud se reexpresa en otras unidades o se actualiza con una regla fija.
El caso más típico es el cambio de moneda:
si \(x \) es un salario en euros e \(y \) el mismo salario en dólares, con un tipo de cambio de \(1,08 \) dólares por euro, la relación es \(y = 1,08 x \), es decir, \(a = 0 \) y \(b = 1,08 \)
Otro caso habitual es la subida salarial de un convenio: una cantidad fija más un porcentaje.
Si se acuerdan \(150 \) euros fijos más un \(4 \) por ciento, la relación es \(y = 150 + 1,04 x \), es decir, \(a = 150 \) y \(b = 1,04 \)
La pregunta central del tema es la siguiente:
si conocemos la media y la varianza de \(x \), ¿podemos obtener la media y la varianza de \(y \) sin volver a trabajar con todos los valores?
La respuesta es afirmativa y se deduce de las propiedades que demostramos a continuación.
Efecto de la transformación sobre la media
Recordamos primero la media aritmética: la suma de todos los valores dividida entre el número de observaciones, \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \)
La media de la nueva variable se define igual: \(\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} \)
El método constructivo parte de esta definición genérica e impone la condición \(y_i = a + b x_i \) para obtener una ecuación que solo dependa de \(x \)
Sustituyendo queda \(\bar{y} = \frac{\sum (a + b x_i)}{n} \)
Antes de operar explicamos las dos propiedades del sumatorio que vamos a usar.
Primera: sumar la constante \(a \) un total de \(n \) veces equivale a multiplicarla por \(n \), es decir, \(\sum a = n a \)
Segunda: un factor constante \(b \) puede extraerse del sumatorio, es decir, \(\sum b x_i = b \sum x_i \)
Aplicando ambas propiedades obtenemos \(\bar{y} = \frac{n a + b \sum x_i}{n} \)
Dividiendo término a término resulta \(\bar{y} = a + b \frac{\sum x_i}{n} \)
El cociente que aparece es exactamente \(\bar{x} \), de donde \(\bar{y} = a + b \bar{x} \)
La media se transforma con la misma regla lineal que cada valor individual: el centro de los datos se desplaza exactamente igual que cada dato.
En particular, una subida fija de \(a \) euros eleva la media en \(a \) euros, y un aumento proporcional de factor \(b \) multiplica la media por \(b \)
Los operandos son \(\bar{x} = 1800 \), \(a = 150 \) y \(b = 1,04 \)
Aplicando la fórmula deducida: \(\bar{y} = 150 + 1,04 \cdot 1800 = 2022 \) euros.
Efecto de la transformación sobre la varianza y la desviación típica
Recordamos qué mide la varianza: el promedio de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media, \(s_x^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \)
Cuanto mayor es, más dispersos están los valores alrededor de su centro.
Anticipamos la idea clave antes de calcular: sumar la constante \(a \) desplaza todos los valores y también la media en la misma cantidad, luego las desviaciones \(y_i - \bar{y} \) no cambian y la dispersión queda intacta.
En cambio, multiplicar por \(b \) multiplica cada desviación por \(b \), y al elevar al cuadrado el factor se convierte en \(b^2 \)
Demostramos esto partiendo de la definición: \(s_y^2 = \frac{\sum (y_i - \bar{y})^2}{n} \)
Imponemos la transformación y el resultado ya deducido para la media: $$y_i - \bar{y} = (a + b x_i) - (a + b \bar{x}) $$
Al operar el paréntesis, la constante \(a \) se cancela y queda \(y_i - \bar{y} = b (x_i - \bar{x}) \)
Esta cancelación es el corazón del resultado: la traslación no afecta a las desviaciones.
Sustituyendo en la definición de la varianza: \(s_y^2 = \frac{\sum [b (x_i - \bar{x})]^2}{n} \)
El factor \(b^2 \), por ser constante, sale del sumatorio: \(s_y^2 = b^2 \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} \)
El cociente restante es exactamente \(s_x^2 \), por tanto \(s_y^2 = b^2 s_x^2 \)
La varianza queda multiplicada por \(b^2 \) y la constante \(a \) desaparece por completo, tal como habíamos anticipado.
Para la desviación típica tomamos la raíz cuadrada, que es siempre no negativa: \(s_y = \sqrt{b^2 s_x^2} = |b| s_x \)
El valor absoluto aparece porque \(b \) podría ser negativo y la desviación típica nunca lo es; en economía \(b \) es casi siempre positivo y entonces basta con \(s_y = b s_x \)
Los operandos son \(s_x^2 = 90000 \) y \(b = 1,04 \)
La varianza transformada es \(s_y^2 = 1,04^2 \cdot 90000 = 97344 \)
La desviación típica es \(s_y = 1,04 \cdot 300 = 312 \) euros.
Invarianza del coeficiente de variación ante cambios de escala
Explicamos primero la herramienta: el coeficiente de variación \(CV_x = \frac{s_x}{|\bar{x}|} \), definido cuando \(\bar{x} \neq 0 \), mide la dispersión relativa, es decir, la desviación típica por cada unidad de media.
Al ser un cociente de dos cantidades con las mismas unidades, carece de unidades: es adimensional.
Esto lo hace ideal para comparar la dispersión de variables medidas en distintas monedas o con magnitudes muy diferentes, donde la desviación típica sola llevaría a engaño.
Estudiamos qué le ocurre ante un cambio de escala puro, \(y = b x ,\ \text{con}\ b > 0 \) y \(a = 0 \)
Partimos de la definición aplicada a \(y \): \(CV_y = \frac{s_y}{|\bar{y}|} \)
Sustituimos los dos resultados ya demostrados, \(s_y = b s_x \ \text{e}\\\bar{y} = b \bar{x} \): \(CV_y = \frac{b s_x}{|b \bar{x}|} \)
Como \(b > 0 \), se cumple \(|b \bar{x}| = b |\bar{x}| \)
Por tanto $$CV_y = \frac{b s_x}{b |\bar{x}|} = \frac{s_x}{|\bar{x}|} = CV_x $$
El factor \(b \) se cancela porque multiplica por igual a la desviación típica y a la media: la dispersión relativa no cambia al cambiar la escala.
Advertimos que esta invarianza exige \(a = 0 \):
si hay traslación, la media se desplaza en \(a \) pero la desviación típica no, y el coeficiente sí cambia, como se verá en el Ejemplo 1 de profundidad.
El coeficiente en euros es \(CV_x = \frac{300}{1800} = 0,1667 \)
Pasamos a dólares con \(y = 1,08 x \): la media es \(1944 \) y la desviación típica \(324 \) dólares.
El coeficiente en dólares es \(CV_y = \frac{324}{1944} = 0,1667 \): idéntico, como demuestra el teorema.
La tipificación como caso particular
Explicamos la motivación antes de definirla:
para comparar observaciones de variables distintas, como las notas de dos asignaturas o los salarios de dos países, conviene expresar cada valor en unidades de su propia dispersión, eliminando las unidades originales.
La tipificación de \(x \) es la variable \(z = \frac{x - \bar{x}}{s_x} \)
Cada valor tipificado indica a cuántas desviaciones típicas de la media se encuentra la observación: \(z = 1,5 \) significa una desviación y media por encima de la media.
Observamos que es una transformación lineal: $$z = \frac{x - \bar{x}}{s_x} = -\frac{\bar{x}}{s_x} + \frac{1}{s_x} x $$, luego \(a = -\frac{\bar{x}}{s_x} \) y \(b = \frac{1}{s_x} \)
Por tanto aplicamos directamente los dos teoremas ya demostrados, sin ningún cálculo nuevo.
La media de \(z \) es $$\bar{z} = a + b \bar{x} = -\frac{\bar{x}}{s_x} + \frac{1}{s_x} \bar{x} = 0 $$
La varianza de \(z \) es $$s_z^2 = b^2 s_x^2 = \frac{1}{s_x^2} s_x^2 = 1 $$
Toda variable tipificada tiene media \(0 \) y varianza \(1 \), sea cual sea la variable original: por eso sirve como escala universal de comparación.
Además, como la tipificación solo usa la media y la desviación típica de cada variable, dos valores con el mismo \(z \) ocupan la misma posición relativa dentro de sus respectivas distribuciones.
La nota tipificada de un \(8,3 \) es \(z = \frac{8,3 - 6,2}{1,4} = 1,5 \): está una desviación y media por encima de la media.
Efecto sobre los cuantiles y la moda
La media no es la única medida de posición con un comportamiento sencillo ante las transformaciones lineales.
Ante un cambio de origen, los cuantiles se comportan igual que la media:
si a todos los valores se les suma (o resta) una constante \(a \), el nuevo cuantil es el antiguo más (menos) esa misma constante.
Ante un cambio de escala hay que distinguir el signo de \(b \):
si \(b > 0 \) el orden de los datos se mantiene y \(q_Y(u) = a + b \cdot q_X(u) \);
si \(b < 0 \) el orden se invierte y hay que cambiar el orden del cuantil: \(q_Y(u) = a + b \cdot q_X(1 - u) \)
En cualquier caso, como \(1 - 0,50 = 0,50 \), la mediana cumple siempre \(Me_Y = a + b \cdot Me_X \)
Para la moda valen las mismas reglas que para la media aritmética: \(Mo_Y = a + b \cdot Mo_X \)
Si los pesos se expresan en gramos, la transformación es \(y = 1000 x ,\ \text{con}\ a = 0 \) y \(b = 1000 > 0 \), luego la nueva moda es \(Mo_Y = 1000 \cdot 3,2 = 3200 \) gramos.
Se define \(y = 100 - 2x ,\ \text{con}\ a = 100 \) y \(b = -2 < 0 \): el orden se invierte, luego el percentil \(60 \) de \(y \) es $$q_Y(0,60) = 100 + (-2) \cdot q_X(1 - 0,60) = 100 - 2 \cdot P_{40} = 100 - 60 = 40 $$
Si \(b \) hubiera sido positivo, el percentil \(60 \) se habría calculado con \(P_{60} \)
Enunciado: una empresa paga salarios mensuales con media \(1650 \) euros y desviación típica \(220 \) euros.
El convenio acuerda una subida de \(120 \) euros fijos más un \(3 \) por ciento.
Se pide (
a) la media y la desviación típica tras la subida y (
b) el coeficiente de variación antes y después, interpretando si la dispersión relativa cambia.
Explicación:
La subida define la transformación \(y = 120 + 1,03 x ,\ \text{con}\ a = 120 \) y \(b = 1,03 \)
Como hay traslación (\(a \neq 0 \)), el apartado (
b) exige calcular el coeficiente antes y después: no podemos invocar la invarianza, que solo vale para cambios de escala puros.
Aplicaremos los teoremas de la media y de la varianza ya demostrados.
Identificamos los operandos: \(\bar{x} = 1650 \), \(s_x = 220 \), \(a = 120 \) y \(b = 1,03 \)
Calculamos la nueva media con \(\bar{y} = a + b \bar{x} \)
Sustituyendo los operandos: \(\bar{y} = 120 + 1,03 \cdot 1650 = 1819,5 \) euros.
Calculamos la nueva desviación típica con \(s_y = b s_x \), válida porque \(b > 0 \)
Sustituyendo: \(s_y = 1,03 \cdot 220 = 226,6 \) euros.
Calculamos el coeficiente de variación antes de la subida: \(CV_x = \frac{220}{1650} = 0,1333 \)
Y después de la subida: \(CV_y = \frac{226,6}{1819,5} = 0,1245 \)
Conclusión:
La media pasa a \(1819,5 \) euros y la desviación típica a \(226,6 \) euros.
La dispersión relativa disminuye de \(0,1333 \) a \(0,1245 \): la parte fija de la subida comprime las diferencias relativas, y el teorema de invarianza no se aplica porque hay traslación.
Enunciado: la sede de Madrid paga salarios en euros con media \(1900 \) y desviación típica \(285 \)
La sede de Nueva York paga en dólares con media \(2300 \) y desviación típica \(345 \)
El tipo de cambio es de \(1,08 \) dólares por euro.
Se pide (
a) expresar los datos de Madrid en dólares y (
b) determinar qué sede presenta mayor dispersión relativa.
Explicación:
El cambio de moneda es un cambio de escala puro \(y = 1,08 x ,\ \text{con}\ a = 0 \) y \(b = 1,08 \)
Para comparar dispersiones con distintas unidades, la herramienta adecuada es el coeficiente de variación, y el teorema de invarianza anticipa que el cambio de moneda no alterará el de Madrid.
Convertimos la media de Madrid: \(\bar{y} = 1,08 \cdot 1900 = 2052 \) dólares.
Convertimos la desviación típica: \(s_y = 1,08 \cdot 285 = 307,8 \) dólares.
Calculamos el coeficiente de Madrid en dólares: \(CV = \frac{307,8}{2052} = 0,15 \)
Calculamos el de Nueva York: \(CV = \frac{345}{2300} = 0,15 \)
Conclusión:
Madrid en dólares tiene media \(2052 \) y desviación típica \(307,8 \)
Ambas sedes presentan el mismo coeficiente de variación, \(0,15 \): su dispersión relativa es idéntica, y el cambio de moneda, como predecía el teorema, no ha modificado la de Madrid.
Enunciado: un examen se califica sobre \(10 \) con media \(6,2 \) y desviación típica \(1,4 \)
Se pide (
a) la nota tipificada de un \(8,3 \), (
b) la nota original de un estudiante con \(z = -2 \) y (
c) comprobar que, si el examen se hubiera calificado sobre \(100 \), la nota tipificada del \(83 \) coincide con la del apartado (a).
Explicación:
El apartado (
a) aplica directamente la definición de tipificación.
El apartado (
b) exige invertir la transformación: despejar \(x \) en \(z = \frac{x - \bar{x}}{s_x} \), lo que da \(x = \bar{x} + z s_x \)
El apartado (
c) pone a prueba la invarianza de la nota tipificada ante cambios de escala: calificar sobre \(100 \) es la transformación \(y = 10 x \)
Tipificamos el \(8,3 \): \(z = \frac{8,3 - 6,2}{1,4} = 1,5 \)
Despejamos la nota original con \(x = \bar{x} + z s_x \)
Sustituyendo los operandos \(\bar{x} = 6,2 \), \(z = -2 \) y \(s_x = 1,4 \): \(x = 6,2 + (-2) \cdot 1,4 = 3,4 \)
Con la calificación sobre \(100 \), la nueva media es \(\bar{y} = 10 \cdot 6,2 = 62 \) y la nueva desviación típica \(s_y = 10 \cdot 1,4 = 14 \)
La nota tipificada del \(83 \) es \(z = \frac{83 - 62}{14} = 1,5 \)
Conclusión:
La nota tipificada del \(8,3 \) es \(1,5 \) y la nota original de \(z = -2 \) es \(3,4 \)
Al calificar sobre \(100 \), la nota tipificada del \(83 \) sigue siendo \(1,5 \): la tipificación es invariante ante cambios de escala positivos, porque la escala multiplica por igual al numerador y al denominador.