4.2 4.2 Unión e intersección de conjuntos
La unión de dos conjuntos
La unión de dos sucesos \(A \) y \(B \), denotada \(A \cup B \), es el suceso que ocurre cuando se verifica al menos uno de ellos (es decir, ocurre \(A \), ocurre \(B \) o ambos a la vez):
En el lanzamiento de un dado, con \(A \) = «número par» = \(\{2,4, 6\} \) y \(B \) = «múltiplo de 3» = \(\{3,6\} \), la unión es \(A \cup B = \{2,3, 4,6\} \): ocurre si sale un número par o un múltiplo de 3 (o ambas cosas, como el 6).
La intersección de dos conjuntos
La intersección de dos sucesos \(A \) y \(B \), denotada \(A \cap B \), es el suceso que ocurre cuando se verifican simultáneamente ambos sucesos:
Con los mismos sucesos del apartado anterior, la intersección es \(A \cap B = \{6\} \): el seis es el único resultado que es a la vez par y múltiplo de 3.3. El cardinal de la unión.
Con \(A = \{1,2, 3\} \) y \(B = \{3,4, 5\} \) se tiene \(|A| = 3 \), \(|B| = 3 \) y \(|A \cap B| = 1 \), luego \(|A \cup B| = 3 + 3 - 1 = 5 \), que coincide con \(A \cup B = \{1,2, 3,4, 5\} \)
El número de elementos de un conjunto finito \(A \) se llama cardinal y se denota \(|A| \)
Como los elementos comunes a \(A \) y \(B \) se contarían dos veces al sumar los cardinales, hay que restarlos una vez: \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \)
Representación en diagramas de Venn
Con los mismos conjuntos, el único elemento que está a la vez en \(A \) y en \(B \) es el \(3 \), luego \(A \cap B = \{3\} \)
En cambio \(\{1,2\} \cap \{3,4\} = \emptyset \): son conjuntos disjuntos.
En un diagrama de Venn con dos círculos que se solapan, la unión \(A \cup B \) se representa sombreando por completo los dos círculos, y la intersección \(A \cap B \) se representa sombreando únicamente la zona donde los dos círculos se solapan.
Si los conjuntos son disjuntos, los círculos se dibujan separados y no hay zona sombreada para la intersección.
Sea \(E = \{1,2, 3,4, 5,6\} \) el espacio muestral del lanzamiento de un dado.
Considera \(A = \{2,4, 6\} \) ("número par") y \(B = \{4,5, 6\} \) ("mayor que 3").
Calcula \(A \cup B \) y \(A \cap B \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir explícitamente los conjuntos \(A \) y \(B \). A continuación aplicaremos la definición de unión, recogiendo los elementos que están en al menos uno de los dos sucesos.
Para terminar aplicaremos la definición de intersección, quedándonos únicamente con los elementos comunes a ambos sucesos.
Datos del problema.
Trabajamos con los sucesos \(A = \{2,4, 6\} \) y \(B = \{4,5, 6\} \)
Cálculo de la unión.
Por definición, \(A \cup B \) contiene los elementos que pertenecen a \(A \) o a \(B \) (o a ambos).
Recorremos los candidatos: el dos está en \(A \); el cuatro está en ambos; el cinco está en \(B \); el seis está en ambos.
El uno y el tres no están en ninguno.
Por tanto:
Cálculo de la intersección.
Por definición, \(A \cap B \) contiene solo los elementos que pertenecen a ambos sucesos a la vez.
Comparando: el dos está solo en \(A \); el cuatro está en los dos; el cinco está solo en \(B \); el seis está en los dos.
Por tanto:
\(A \cup B = \{2,4, 5,6\} \) y \(A \cap B = \{4,6\} \)
En el lanzamiento de un dado, sean \(A = \{1,3, 5\} \) ("número impar") y \(B = \{2,4, 6\} \) ("número par").
Calcula \(A \cup B \) y \(A \cap B \), e indica qué relación hay entre ambos sucesos.
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar que dos sucesos son disjuntos (o incompatibles) cuando su intersección es el conjunto vacío.
A continuación calcularemos la unión de \(A \) y \(B \). Para terminar calcularemos la intersección y concluiremos si los sucesos son disjuntos.
Cálculo de la unión.
La unión contiene los elementos de al menos uno de los dos sucesos.
Todo número del dado es par o impar, luego la unión recoge los seis resultados:
Cálculo de la intersección.
La intersección contiene los elementos comunes a ambos sucesos.
Ningún número es par e impar a la vez, luego no hay elementos comunes:
Relación entre A y B.
Por definición, dos sucesos son disjuntos (o incompatibles) cuando su intersección es el conjunto vacío.
Como hemos obtenido \(A \cap B = \emptyset \), los sucesos \(A \) y \(B \) son disjuntos: no pueden ocurrir simultáneamente.
\(A \cup B = E \) y \(A \cap B = \emptyset \); por tanto, \(A \) y \(B \) son sucesos disjuntos.
Sean \(A = \{2,4\} \) y \(B = \{2,4, 6\} \)
Comprueba que \(A \subseteq B \) y calcula \(A \cup B \) y \(A \cap B \)
Para resolver este ejemplo empezaremos por comprobar la inclusión \(A \subseteq B \), verificando que cada elemento de \(A \) pertenece a \(B \). A continuación calcularemos la unión elemento a elemento y veremos que coincide con el suceso mayor.
Para terminar calcularemos la intersección y veremos que coincide con el suceso menor.
Comprobación de la inclusión.
Por definición, \(A \subseteq B \) significa que todo elemento de \(A \) pertenece también a \(B \)
Comprobamos: el dos pertenece a \(B \) y el cuatro pertenece a \(B \)
Como los dos elementos de \(A \) están en \(B \), la inclusión se cumple.
Cálculo de la unión.
La unión recoge los elementos de al menos uno de los dos sucesos: el dos está en ambos, el cuatro está en ambos y el seis está solo en \(B \)
Por tanto, la unión es el conjunto formado por el dos, el cuatro y el seis, que coincide con \(B \):
Cálculo de la intersección.
La intersección recoge solo los elementos comunes a ambos sucesos.
Como todo elemento de \(A \) está en \(B \), los elementos comunes son exactamente los de \(A \):
Cuando \(A \subseteq B \) se cumple la regla general \(A \cup B = B \) y \(A \cap B = A \), como acabamos de comprobar numéricamente.
Sean \(A = \{1,2, 3,4\} \), \(B = \{3,4, 5,6\} \) y \(C = \{4,5, 6,7\} \)
Calcular \(A \cup B \cup C \) y \(A \cap B \cap C \), y comprobar la fórmula del cardinal de la unión de dos conjuntos.
Para resolver este ejemplo empezaremos por calcular la unión de los tres conjuntos reuniendo todos sus elementos sin repetir ninguno.
A continuación calcularemos la intersección de los tres quedándonos con los elementos comunes a todos ellos.
Para terminar comprobaremos la fórmula del cardinal contando los elementos de cada conjunto.
Cálculo de la unión de los tres conjuntos.
Reuniendo los elementos de \(A \), de \(B \) y de \(C \) sin repetir ninguno: \(A \cup B \cup C = \{1,2, 3,4, 5,6, 7\} \)
Cálculo de la intersección de los tres conjuntos.
El único elemento que pertenece a la vez a \(A \), a \(B \) y a \(C \) es \(4 \), luego \(A \cap B \cap C = \{4\} \)
Comprobación de la fórmula del cardinal.
Para dos conjuntos, el cardinal de la unión es la suma de los cardinales menos el de la intersección: \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \)
Con los datos del ejemplo: \(|A| = 4 \), \(|B| = 4 \) y \(|A \cap B| = |\{3,4\}| = 2 \)
Sustituyendo: \(|A \cup B| = 4 + 4 - 2 = 6 \)
Y directamente \(A \cup B = \{1,2, 3,4, 5,6\} \), que tiene efectivamente seis elementos.
La unión de los tres conjuntos tiene siete elementos y su intersección uno solo, el cuatro.
La fórmula del cardinal permite contar los elementos de la unión sin listarlos, restando los que se contarían dos veces.
De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar.
Definimos el suceso \(O \) como "sacar oros" y el suceso \(F \) como "sacar figura (Sota, Caballo o Rey)".
Determina los sucesos \(O \cup F \) y \(O \cap F \), indicando el número de cartas de cada uno.
Para resolver este ejemplo empezaremos por recordar las definiciones de unión (ocurre al menos uno de los dos sucesos) e intersección (ocurren ambos a la vez).
A continuación contaremos las cartas que forman cada suceso: las diez de oros y las doce figuras de la baraja.
Para terminar calcularemos la intersección y la unión teniendo en cuenta que las figuras de oros pertenecen a ambos sucesos.
Composición de los sucesos \(O \) y \(F \)
La baraja española tiene cuarenta cartas repartidas en cuatro palos (oros, copas, espadas y bastos), con diez cartas en cada palo.
El suceso \(O \) contiene las diez cartas de oros.
Las figuras son la Sota, el Caballo y el Rey; como hay tres figuras en cada uno de los cuatro palos, el número de cartas de figura es:
Es decir, el suceso \(F \) contiene doce cartas.
Cálculo de la intersección.
Por definición, la intersección \(O \cap F \) ocurre cuando se verifican ambos sucesos a la vez, es decir, "sacar una carta que sea figura y de oros".
Las figuras de oros son tres: la Sota de oros, el Caballo de oros y el Rey de oros:
Por tanto, la intersección está formada por tres cartas.
Cálculo de la unión.
Por definición, la unión \(O \cup F \) ocurre cuando se verifica al menos uno de los dos sucesos, es decir, "sacar oro o figura (o ambas)".
Las tres figuras de oros pertenecen a ambos sucesos, así que si sumáramos directamente las contaríamos dos veces; por eso hay que restar la intersección:
La intersección \(O \cap F \) es el suceso "sacar figura de oros" (tres cartas) y la unión \(O \cup F \) es el suceso "sacar oro o figura (o ambas)" (diecinueve cartas).