4.9 4.9 Probabilidad de la unión
Teorema de la adición para dos sucesos
Para dos sucesos cualesquiera \(A \) y \(B \) (compatibles o incompatibles), la probabilidad de su unión es:
Justificación: Al sumar \(P(A) + P(B) \), la región común \(A \cap B \) se contabiliza dos veces.
Por tanto, se debe restar una vez.
Si son incompatibles (\(A \cap B = \emptyset \)), se recupera el Axioma 3: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
En una baraja española, $$P(\text{rey o copa}) = P(\text{rey}) + P(\text{copa}) - P(\text{rey de copas}) = \frac{4}{40} + \frac{10}{40} - \frac{1}{40} = \frac{13}{40} = 0,325 $$: el rey de copas se había contado dos veces.
Principio de inclusión-exclusión para tres sucesos
Para tres sucesos \(A, B, C \):
Con tres sucesos hay que sumar las tres probabilidades, restar las tres intersecciones dos a dos y volver a sumar la intersección triple: así cada región del diagrama se cuenta exactamente una vez.
Errores frecuentes
Al lanzar un dado, sean \(A = \text{par} \), \(B = \text{mayor que cuatro} \) y \(C = \text{múltiplo de tres} \)
Las tres intersecciones dos a dos y la triple son todas \(\{6\} \), de probabilidad \(\frac{1}{6} \), así que $$P(A \cup B \cup C) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $$, que coincide con contar \(\{2,3, 4,5, 6\} \)
El error más común es aplicar la suma directa a sucesos compatibles, olvidando restar la intersección, lo que puede dar incluso probabilidades mayores que uno, un resultado imposible.
El segundo error es restar la intersección cuando los sucesos son incompatibles: en ese caso la intersección ya vale cero y no hay nada que restar, aunque la fórmula general sigue siendo válida.
El tercer error es confundir la unión con la intersección en el enunciado: la unión corresponde a la expresión al menos uno de los dos, mientras que la intersección corresponde a los dos a la vez.
Sean dos sucesos \(A \) y \(B \) con \(P(A) = 0,6 \), \(P(B) = 0,5 \) y \(P(A \cap B) = 0,3 \)
Calcula P(A unión B).
Para resolver este ejemplo empezaremos por escribir el teorema de la adición para dos sucesos cualesquiera.
A continuación sustituiremos directamente los tres valores proporcionados por el enunciado.
Para terminar realizaremos la suma y la resta indicadas y comprobaremos la coherencia del resultado con la monotonía de la probabilidad.
Teorema de la adición.
El teorema de la adición para dos sucesos cualesquiera afirma que
Sustitución de los valores y cálculo.
Comprobación de la coherencia del resultado.
Por la monotonía de la probabilidad, la unión contiene a cada suceso, luego su probabilidad no puede ser menor que ninguna de las marginales: se cumple \(0,8 \ge 0,6 \) y \(0,8 \ge 0,5 \), y además \(0,8 \le 1 \)
El resultado es coherente.
La probabilidad de la unión de A y B es 0,8.
Sean dos sucesos \(A \) y \(B \) con \(P(A) = 0,7 \), \(P(B) = 0,4 \) y \(P(A \cup B) = 0,85 \)
Calcula la probabilidad de que ocurran los dos sucesos a la vez.
Para resolver este ejemplo empezaremos por partir del teorema de la adición, que relaciona la unión con la intersección.
A continuación despejaremos algebraicamente la probabilidad de la intersección pasando los términos conocidos al otro miembro.
Para terminar sustituiremos los valores y comprobaremos la coherencia del resultado.
Punto de partida: el teorema de la adición.
El teorema de la adición relaciona las cuatro probabilidades que intervienen:
Despeje algebraico de la intersección.
Despejamos \(P(A \cap B) \) pasando la unión al segundo miembro y la intersección al primero:
Sustitución de los valores y cálculo.
El valor obtenido es no negativo y no supera a ninguna de las probabilidades marginales (\(0,25 \le 0,7 \) y \(0,25 \le 0,4 \)), lo cual es coherente, ya que la intersección está contenida en cada suceso.
La probabilidad de que ocurran los dos sucesos a la vez es 0,25.
Al extraer una carta de una baraja española de 40 cartas, calcula la probabilidad de obtener un rey o una copa.
Para resolver este ejemplo empezaremos por definir los dos sucesos y calcular sus probabilidades individuales con la regla de Laplace.
A continuación identificaremos la intersección de ambos sucesos y su probabilidad, observando que no son incompatibles.
Para terminar aplicaremos el teorema de la adición y simplificaremos la fracción.
Probabilidades de cada suceso.
Sea \(R \) el suceso "obtener un rey" y \(C \) el suceso "obtener una copa".
Hay 4 reyes y 10 copas entre 40 cartas equiprobables, luego por la regla de Laplace:
Probabilidad de la intersección.
La carta "rey de copas" es a la vez un rey y una copa, de modo que los sucesos no son incompatibles y su intersección contiene exactamente una carta:
Aplicación del teorema de la adición.
La probabilidad de extraer un rey o una copa es \(\frac{13}{40} = 0,325 \), es decir, un 32,5 %.
En un grupo de cien estudiantes, sesenta han aprobado Matemáticas, cincuenta han aprobado Física y cuarenta han aprobado Química.
Además, treinta han aprobado Matemáticas y Física, veinticinco han aprobado Matemáticas y Química, veinte han aprobado Física y Química, y diez han aprobado las tres.
Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haya aprobado al menos una de las tres asignaturas.
Para resolver este ejemplo empezaremos por definir los tres sucesos y escribir la fórmula de inclusión-exclusión para tres sucesos.
A continuación sustituiremos los datos del problema expresados como probabilidades.
Para terminar calcularemos el resultado y lo interpretaremos.
Definición de los sucesos y la fórmula.
Sean \(M \) el suceso aprobar Matemáticas, \(F \) el suceso aprobar Física y \(Q \) el suceso aprobar Química.
Nos piden \(P(M \cup F \cup Q) \), la probabilidad de aprobar al menos una.
La fórmula de inclusión-exclusión para tres sucesos es:
Traducción de los datos a probabilidades.
Dividiendo cada conteo entre los cien estudiantes:
Cálculo e interpretación.
Sustituimos en la fórmula:
La probabilidad de haber aprobado al menos una asignatura es \(0,85 \), es decir, el ochenta y cinco por ciento de los estudiantes.
Observemos el papel de cada término: la suma inicial \(1,5 \) cuenta varias veces a quienes aprobaron más de una, las restas corrigen esos dobles conteos y la suma final de \(0,1 \) repara la triple intersección, que había sido restada tres veces.
Sean dos sucesos \(A \) y \(B \) con \(P(A) = 0,6 \), \(P(B) = 0,5 \) y \(P(A \cap B) = 0,3 \)
Calcula la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos.
Para resolver este ejemplo empezaremos por identificar que "al menos uno de los dos" se corresponde con la unión de ambos sucesos.
A continuación recordaremos el teorema de la adición, que corrige el doble conteo de la región común al sumar las dos probabilidades.
Para terminar sustituiremos los valores dados y realizaremos la operación.
Identificación del suceso pedido.
Que ocurra al menos uno de los dos sucesos significa que ocurre \(A \), o ocurre \(B \), o ocurren los dos a la vez.
Este suceso es precisamente la unión:
Aplicación del teorema de la adición.
Para dos sucesos cualesquiera, el teorema de la adición establece que
La resta corrige el hecho de que, al sumar \(P(A) \) y \(P(B) \), la región común \(A \cap B \) se ha contado dos veces.
Sustituyendo los valores del enunciado:
La probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos es 0,8, es decir, un 80 %.