1.4 Teorema de Bolzano y localización de soluciones
El teorema de Bolzano
Si \(f \) es continua en el intervalo cerrado \([a, b] \) y los valores \(f(a) \) y \(f(b) \) tienen signos opuestos, es decir, \(f(a) \cdot f(b) < 0 \), entonces existe al menos un punto \(c \in (a, b) \) tal que \(f(c) = 0 \)
La hipótesis de continuidad es esencial: una función con un salto puede pasar de valores negativos a positivos sin anularse nunca.
El teorema no dice cuántos ceros hay ni dónde están exactamente: solo garantiza que existe al menos uno en el intervalo abierto \((a, b) \)
Una forma práctica de aplicar el teorema es evaluar \(f \) en puntos notables (enteros, por ejemplo) hasta encontrar dos consecutivos donde la función cambie de signo.
La función \(f(x) = x^3 - x - 1 \) es continua en \(\mathbb{R} \) y cumple \(f(1) = -1 < 0 \) y \(f(2) = 5 > 0 \)
Por el teorema de Bolzano, existe al menos un \(c \in (1, 2) \) con \(f(c) = 0 \)
Interpretación geométrica e idea de la demostración
Geométricamente, el teorema de Bolzano dice que la gráfica de una función continua no puede pasar de estar por debajo del eje \(OX \) a estar por encima sin cortarlo: el trazo continuo tiene que atravesar el eje en algún punto.
La demostración se basa en el método de bisección, que además sirve para aproximar el cero.
Se parte del intervalo \([a_0, b_0] = [a, b] \), donde \(f \) cambia de signo.
Se toma el punto medio \(m_0 = \frac{a_0 + b_0}{2} \):
si \(f(m_0) = 0 \) ya se ha encontrado el cero;
si no, \(f \) cambia de signo en una de las dos mitades, y se toma esa mitad como nuevo intervalo \([a_1, b_1] \)
Repitiendo el proceso se obtiene una sucesión de intervalos encajados cuyas longitudes tienden a cero y en cada uno de los cuales \(f \) cambia de signo.
Los extremos izquierdos forman una sucesión creciente y acotada, que converge a un punto \(c \) por la completitud de \(\mathbb{R} \); por continuidad, \(f(c) \) es el límite de valores que cambian de signo, luego \(f(c) = 0 \)
Para localizar el cero de \(f(x) = x^3 - x - 1 \) en \([1, 2] \), el punto medio es \(m_0 = 1,5 \) y \(f(1,5) = 0,875 > 0 \)
Como \(f(1) < 0 \), el cero está en \([1, 1,5] \): el intervalo ya se ha reducido a la mitad.
El teorema del valor intermedio
El teorema de Bolzano es el caso particular \(k = 0 \) de un resultado más general.
Si \(f \) es continua en \([a, b] \), entonces \(f \) toma todos los valores intermedios entre \(f(a) \) y \(f(b) \); es decir, para cada \(k \) comprendido entre \(f(a) \) y \(f(b) \) existe \(c \in (a, b) \) con \(f(c) = k \)
La demostración consiste en aplicar el teorema de Bolzano a la función auxiliar \(g(x) = f(x) - k \), que es continua y cambia de signo en \([a, b] \)
Este teorema garantiza que la ecuación \(f(x) = k \) tiene solución siempre que \(k \) esté entre los valores de \(f \) en los extremos.
La función \(f(x) = e^x + x \) es continua en $$\mathbb{R} ,\ \text{con}\ f(-1) = 1/e - 1 < 0 $$ y \(f(0) = 1 > 0 \)
Por el teorema del valor intermedio aplicado con \(k = 0 \), la ecuación \(e^x + x = 0 \) tiene al menos una solución en \((-1, 0) \)
Localización de soluciones de una ecuación
Muchas ecuaciones no se pueden resolver con fórmulas exactas, pero el teorema de Bolzano permite localizar sus soluciones con la precisión que se quiera.
El procedimiento es el siguiente.
Primero, se escribe la ecuación en la forma \(f(x) = 0 \), llevando todos los términos a un miembro.
Segundo, se estudia el dominio y la continuidad de \(f \): el teorema exige continuidad en el intervalo de trabajo.
Tercero, se evalúa \(f \) en puntos de prueba (enteros o múltiplos sencillos) hasta encontrar un cambio de signo; cada cambio de signo localiza una solución en el intervalo correspondiente.
Cuarto, si se desea más precisión, se estrecha el intervalo con el método de bisección del apartado siguiente.
Este método solo encuentra las soluciones que quedan separadas por cambios de signo: los ceros de multiplicidad par, donde la función toca el eje sin cambiar de signo, no se detectan así.
Para la ecuación \(x^3 - 2x - 5 = 0 \) se toma \(f(x) = x^3 - 2x - 5 \), continua en \(\mathbb{R} \)
Como \(f(2) = 8 - 4 - 5 = -1 < 0 \) y \(f(3) = 27 - 6 - 5 = 16 > 0 \), la ecuación tiene al menos una solución en \((2, 3) \)
El método de bisección
El método de bisección convierte la idea de la demostración del teorema de Bolzano en un algoritmo de aproximación.
Datos de partida: una función \(f \) continua en \([a, b] \) con \(f(a) \cdot f(b) < 0 \)
En cada paso se calcula el punto medio \(m = \frac{a + b}{2} \) y se evalúa \(f(m) \):
si \(f(m) = 0 \) se ha hallado la solución exacta;
si \(f(a) \cdot f(m) < 0 \) el cero está en \([a, m] \); en caso contrario está en \([m, b] \)
Tras \(n \) pasos, la longitud del intervalo es \(\frac{b - a}{2^n} \), así que el punto medio aproxima al cero con un error menor que la mitad de esa longitud.
Para conseguir un error menor que una tolerancia dada basta repetir el proceso hasta que la longitud del intervalo sea menor que el doble de la tolerancia.
Para aproximar el cero de \(f(x) = x^2 - 2 \) en \([1, 2] \) (es decir, \(\sqrt{2} \)), el primer punto medio es \(1,5 \) con \(f(1,5) = 0,25 > 0 \), luego el cero está en \([1, 1,5] \)
El segundo punto medio es \(1,25 \) con \(f(1,25) = -0,4375 < 0 \), luego el cero está en \([1,25, 1,5] \), de longitud \(0,25 \)
El punto medio \(1,375 \) aproxima a \(\sqrt{2} \) con error menor que \(0,125 \)
Unicidad de la solución: Bolzano y monotonía
El teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos una solución, pero no dice si es única.
Si además la función es estrictamente monótona en el intervalo, la solución es única: una función estrictamente monótona es inyectiva y no puede anularse dos veces.
En la práctica se combina el criterio de monotonía del apartado 2 de la sección 1.2 con el teorema de Bolzano: el signo de \(f' \) da la monotonía estricta y el cambio de signo de \(f \) da la existencia.
El esquema completo es: \(f \) continua en \([a, b] ,\ \text{con}\ f(a) \cdot f(b) < 0 \) y \(f' \) de signo constante en \((a, b) \), implica que la ecuación \(f(x) = 0 \) tiene exactamente una solución en \((a, b) \)
Este argumento de existencia y unicidad es uno de los más utilizados en el análisis de ecuaciones.
Para \(f(x) = e^x + x \) se tiene \(f'(x) = e^x + 1 > 0 \) para todo \(x \), luego \(f \) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R} \)
Como \(f(-1) < 0 < f(0) \), la ecuación \(e^x + x = 0 \) tiene exactamente una solución real, situada en \((-1, 0) \)
Demostrar que la ecuación \(x^5 + x - 1 = 0 \) tiene exactamente una solución real y localizarla en un intervalo de longitud menor que \(0,1 \)
Se escribe la ecuación como \(f(x) = 0 \) con \(f(x) = x^5 + x - 1 \). El teorema de Bolzano da la existencia y el signo de la derivada da la unicidad por monotonía estricta.
Existencia.
Por el teorema de Bolzano existe \(c \in (0, 1) \) con \(f(c) = 0 \)
Unicidad.
\(f'(x) = 5x^4 + 1 > 0 \) para todo \(x \in \mathbb{R} \), luego \(f \) es estrictamente creciente en \(\mathbb{R} \) y solo puede anularse una vez.
Localización más fina.
Luego la solución está en \((0,7, 0,8) \), intervalo de longitud \(0,1 \)
La ecuación tiene exactamente una solución real, situada en el intervalo \((0,7, 0,8) \)
Aproximar con un error menor que \(0,01 \) la solución de la ecuación \(x^3 - 2x - 5 = 0 \) situada en \((2, 3) \), usando el método de bisección.
Se parte del intervalo \([2, 3] \), donde \(f(x) = x^3 - 2x - 5 \) cambia de signo.
En cada paso se toma el punto medio y se conserva la mitad donde persiste el cambio de signo.
La longitud inicial es \(1 \); tras \(n \) pasos es \(1/2^n \), así que con \(n = 7 \) pasos la longitud es menor que \(0,01 \)
Tres primeras bisecciones.
Tres bisecciones más.
Séptima bisección y aproximación final.
El punto medio \(2,09765625 \) aproxima al cero con error menor que \(0,00390625 < 0,01 \)
La solución es \(c \approx 2,0977 \) con error garantizado menor que \(0,01 \)
Demostrar que la ecuación \(\cos x = x \) tiene exactamente una solución real y localizarla en un intervalo de longitud menor que \(0,1 \)
Se lleva todo a un miembro: \(f(x) = \cos x - x \). La función es continua y su derivada tiene signo constante, lo que permite combinar existencia y unicidad.
Existencia en \((0, \pi/2) \)
\(f \) es continua en \(\mathbb{R} \) por ser diferencia de funciones continuas.
Por el teorema de Bolzano existe \(c \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) con \(f(c) = 0 \), es decir, \(\cos c = c \)
Unicidad en \(\mathbb{R} \)
Como \(\operatorname{sen} x \ge -1 \), se tiene \(f'(x) \le 0 \), y \(f'(x) = 0 \) solo en puntos aislados; por tanto \(f \) es estrictamente decreciente en \(\mathbb{R} \) y la solución es única.
Localización fina.
Luego la única solución está en \((0,7, 0,8) \)
La ecuación \(\cos x = x \) tiene exactamente una solución real, situada en el intervalo \((0,7, 0,8) \)