2.2 Integración por partes
La fórmula de integración por partes
El método se deduce de la regla de derivación de un producto.
Sean \(u \) y \(v \) dos funciones derivables en un intervalo \(I \) con derivadas continuas.
Entonces se cumple \(\int u\,dv = u\,v - \int v\,du \), donde \(du = u'(x)\,dx \) y \(dv = v'(x)\,dx \)
La idea es la siguiente:
si el integrando se escribe como producto de una función \(u \) por la diferencial \(dv \) de otra función conocida \(v \), la integral original se transforma en la integral \(\int v\,du \), que debe ser más sencilla que la de partida.
La demostración parte de \((u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v' \)
Integrando ambos miembros se obtiene \(u\cdot v = \int u'\,v\,dx + \int u\,v'\,dx \), de donde se despeja la fórmula.
Para calcular \(\int x\,e^x\,dx \) se toma \(u = x \) e \(dv = e^x\,dx \), de modo que \(du = dx \) e \(v = e^x \)
Entonces $$\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - \int e^x\,dx = x\,e^x - e^x + C $$
Criterio para elegir las partes
La elección de \(u \) y \(dv \) es decisiva: una mala elección deja la integral igual o más complicada.
Regla práctica de elección (orden de prioridad para \(u \)).
Se elige como \(u \) la función que aparece primero en el siguiente orden, porque es la que más se simplifica al derivarla: primero, funciones logarítmicas e inversas trigonométricas; segundo, funciones polinómicas; tercero, funciones exponenciales y trigonométricas directas.
El resto del integrando, junto con \(dx \), forma \(dv \), que debe ser integrable de forma inmediata.
Cuando el integrando es una única función, como \(\ln x \) o \(\operatorname{arcsen} x \), se toma \(dv = dx \), es decir, \(v = x \), y la función dada hace el papel de \(u \)
Así, \(du = \frac{dx}{x} \) y \(v = \frac{x^3}{3} \), y la nueva integral \(\int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{dx}{x} \) es polinómica e inmediata.
Aplicación reiterada y caso cíclico
Si tras aplicar la fórmula la nueva integral sigue siendo del mismo tipo, se vuelve a aplicar el método tantas veces como sea necesario.
En particular, para integrales del tipo \(\int P(x)\,e^x\,dx \) o \(\int P(x)\,\operatorname{sen} x\,dx \), donde \(P \) es un polinomio de grado \(n \), hay que aplicar el método \(n \) veces, tomando siempre \(u \) como el polinomio, hasta que desaparece por derivación sucesiva.
Existe además el caso cíclico: al aplicar el método dos veces reaparece la integral de partida.
En ese caso no se ha avanzado en vano: la integral buscada aparece a ambos lados de la igualdad y se despeja como si fuera una incógnita algebraica.
El ejemplo clásico es \(\int e^x\,\operatorname{sen} x\,dx \), que se resuelve en el Ejemplo 3.
Para calcular \(\int x^2\,e^x\,dx \) se aplica el método dos veces.
Primero con \(u = x^2 \) y \(dv = e^x\,dx \):
Aplicando de nuevo el método a \(\int x\,e^x\,dx \) se obtiene \(x\,e^x - e^x \), luego $$\int x^2\,e^x\,dx = x^2\,e^x - 2x\,e^x + 2e^x + C $$
Explicación: Se trata del producto de un polinomio por una función trigonométrica, caso típico de integración por partes.
Elegiremos como \(u \) el polinomio, que se simplifica al derivar, y como \(dv \) el coseno, que se integra de forma inmediata.
Elección de las partes.
Tomamos \(u = x \) y \(dv = \cos x\,dx \)
Derivando e integrando respectivamente:
Aplicación de la fórmula.
Sustituyendo en \(\int u\,dv = u\,v - \int v\,du \):
La nueva integral es inmediata:
Conclusión: $$\int x\,\cos x\,dx = x\,\operatorname{sen} x + \cos x + C $$
Explicación: Aplicaremos el método dos veces seguidas, eligiendo siempre como \(u \) el polinomio para reducir su grado en cada paso.
Al final quedará una integral trigonométrica inmediata.
Primera aplicación del método.
Tomamos \(u = x^2 \) y \(dv = \operatorname{sen} x\,dx \), de donde \(du = 2x\,dx \) y \(v = -\cos x \)
Entonces:
Segunda aplicación del método.
En \(\int 2x\,\cos x\,dx \) tomamos \(u = 2x \) y \(dv = \cos x\,dx \), de donde \(du = 2\,dx \) y \(v = \operatorname{sen} x \)
Luego:
Reunión de los resultados.
Sustituyendo en el resultado del
Conclusión: $$\int x^2\,\operatorname{sen} x\,dx = -x^2\,\cos x + 2x\,\operatorname{sen} x + 2\cos x + C $$
Explicación: Aplicaremos el método dos veces con el mismo criterio de elección.
La integral original reaparecerá con signo contrario: la trataremos como una incógnita y la despejaremos de la ecuación obtenida.
Primera aplicación del método.
Llamamos \(I = \int e^x\,\cos x\,dx \)
Tomamos \(u = e^x \) y \(dv = \cos x\,dx \), de donde \(du = e^x\,dx \) y \(v = \operatorname{sen} x \)
Entonces:
Segunda aplicación del método.
En \(\int e^x\,\operatorname{sen} x\,dx \) tomamos \(u = e^x \) y \(dv = \operatorname{sen} x\,dx \), de donde \(du = e^x\,dx \) y \(v = -\cos x \)
Luego:
Despeje de la integral cíclica.
Sustituyendo en el resultado del
Pasando \(-I \) al primer miembro:
Conclusión: $$\int e^x\,\cos x\,dx = \frac{e^x\,(\operatorname{sen} x + \cos x)}{2} + C $$