3.1 Series numéricas: convergencia
Definición de serie numérica: sumas parciales e convergencia
Sea \(\{a_n\}_{n\ge 1} \) una sucesión de números reales, llamada sucesión de término general.
Una suma con infinitos sumandos \(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots \) no tiene sentido directo, porque sumar solo se sabe hacer con un número finito de términos.
La idea para darle un sentido riguroso es sumar los primeros \(n \) términos, lo cual sí es una suma finita, e estudiar qué ocurre cuando \(n \) tiende a infinito.
La suma parcial de orden \(n \) es $$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k $$
Se llama serie numérica de término general \(a_n \) al par formado por la sucesión \(\{a_n\} \) e la sucesión de sus sumas parciales \(\{S_n\} \), e se denota \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \)
Se dice que la serie converge si la sucesión \(\{S_n\} \) converge a un límite finito \(S \)
En tal caso, \(S \) se llama suma de la serie e se escribe \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = S \), es decir, $$S = \lim_{n\to+\infty} S_n = \lim_{n\to+\infty} \sum_{k=1}^{n} a_k $$
Si \(\{S_n\} \) no tiene límite finito (porque tiende a \(+\infty \), a \(-\infty \) o porque oscila), se dice que la serie diverge.
Es fundamental no confundir la sucesión \(\{a_n\} \) (una lista ordenada de números) con la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) (que es, en esencia, otra sucesión: la de sus sumas parciales).
Condición necesaria de convergencia
Si la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) converge, entonces \(\lim_{n\to+\infty} a_n = 0 \)
Demostración.
Sea \(S = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \), es decir, \(S_n \to S \) cuando \(n\to+\infty \)
Como también \(S_{n-1} \to S \) (es la misma sucesión desplazada un término) e \(a_n = S_n - S_{n-1} \) para \(n \ge 2 \), se tiene $$\lim_{n\to+\infty} a_n = \lim_{n\to+\infty}(S_n - S_{n-1}) = S - S = 0 $$
Este teorema se usa casi siempre en su forma contrarecíproca, conocida como criterio del término general o criterio necesario de divergencia.
Criterio del término general.
Si \(\lim_{n\to+\infty} a_n \ne 0 \) (o el límite no existe), entonces la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) diverge.
Este criterio es normalmente el primero que se comprueba:
si \(a_n \) no tiende a \(0 \), ya se sabe que la serie diverge sin necesidad de nada más.
Si \(a_n \to 0 \), el criterio no decide nada: la serie puede converger o divergir, e hay que recurrir a otros criterios.
La serie armónica e las series p
La serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots $$ se llama serie armónica.
Aunque su término general tiende a \(0 \), la serie armónica diverge.
Esto se ve agrupando los términos en bloques de longitud potencia de dos: $$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$ y $$frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > 4\cdot\frac{1}{8} = \frac{1}{2} $$
En general, la suma de los \(2^k \) términos desde \(\frac{1}{2^k+1} \) hasta \(\frac{1}{2^{k+1}} \) (cada uno mayor o igual que \(\frac{1}{2^{k+1}} \)) supera \(\frac{1}{2} \)
Por tanto \(S_{2^m} > 1 + m\cdot\frac{1}{2} \), que tiende a infinito cuando \(m \) tiende a infinito: las sumas parciales no están acotadas e la serie diverge (aunque lo hace muy lentamente).
Dado \(p \) real, la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p} \) se llama serie p o serie armónica generalizada.
La serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p} \) converge si e solo si \(p > 1 \)
La divergencia para \(p \le 0 \) se sigue del criterio del término general, pues \(\frac{1}{n^p} \) no tiende a \(0 \)
Para \(0 < p \le 1 \) se tiene \(\frac{1}{n^p} \ge \frac{1}{n} \), e la divergencia se sigue por comparación con la armónica (Apartado 5:.
Para \(p > 1 \), agrupando de nuevo en bloques de \(2^k \) términos, cada bloque suma como máximo $$2^k\cdot\frac{1}{(2^k)^p} = \left(\frac{1}{2^{p-1}}\right)^k $$, e \(\sum_{k}\left(\frac{1}{2^{p-1}}\right)^k \) es una serie geométrica convergente porque su razón \(\frac{1}{2^{p-1}} \) es menor que \(1 \); las sumas parciales quedan acotadas e la serie converge.
Series de términos no negativos
Se dice que \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) es una serie de términos no negativos si \(a_n \ge 0 \) para todo \(n \)
La propiedad clave de estas series es que la sucesión de sumas parciales \(\{S_n\} \) es creciente, pues \(S_{n+1} - S_n = a_{n+1} \ge 0 \), de donde \(S_{n+1} \ge S_n \)
Toda sucesión creciente de números reales tiene límite: finito si está acotada superiormente, e \(+\infty \) en caso contrario.
Una serie de términos no negativos \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) converge si e solo si la sucesión de sumas parciales \(\{S_n\} \) está acotada superiormente.
En tal caso, \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = \sup_{n\ge 1} S_n \)
Si \(\{S_n\} \) no está acotada superiormente, la serie diverge e necesariamente \(S_n \to +\infty \); entonces se escribe \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = +\infty \)
En una serie de términos no negativos nunca hay oscilación: o converge o tiende a \(+\infty \), sin ninguna otra posibilidad.
Este teorema es la base teórica de todos los criterios de convergencia siguientes: cada uno proporciona una forma práctica de decidir si las sumas parciales están acotadas, sin trabajar directamente con la definición.
Una idea esencial de toda la teoría de series: decidir si una serie converge es, en general, mucho más sencillo que calcular su suma exacta.
Criterio de comparación por desigualdad
Sean \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) y \(sum_{n=1}^{+\infty} b_n \) dos series de términos no negativos tales que \(a_n \le b_n \) para todo \(n \) a partir de un cierto término.
Entonces se cumple lo siguiente.
Si \(\sum_{n=1}^{+\infty} b_n \) converge, también converge \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \)
Si \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) diverge, también diverge \(\sum_{n=1}^{+\infty} b_n \)
Intuitivamente:
si la serie mayor, término a término, converge, la menor también tiene que converger, pues sus sumas parciales quedan atrapadas por debajo de las de la mayor; e si la menor ya diverge (tiende a infinito), la mayor, que es aún mayor, también diverge.
Que la desigualdad solo se exija a partir de un cierto término no altera la convergencia, pues cambiar un número finito de términos no afecta al carácter de la serie.
Criterio de comparación por paso al límite
En la práctica, encontrar una desigualdad exacta término a término no siempre es cómodo.
El criterio siguiente evita ese problema: solo pide comparar el comportamiento asintótico de las dos sucesiones.
Sean \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) y \(sum_{n=1}^{+\infty} b_n \) dos series de términos positivos tales que existe \(\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n} = L \)
Entonces se cumple lo siguiente.
Si \(0 < L < +\infty \), las dos series tienen el mismo carácter: o ambas convergen o ambas divergen.
Si \(L = 0 \) y \(sum_{n=1}^{+\infty} b_n \) converge, entonces \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) también converge.
Si \(L = +\infty \) y \(sum_{n=1}^{+\infty} b_n \) diverge, entonces \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) también diverge.
Este criterio se emplea típicamente comparando con las series de referencia más conocidas: la geométrica \(\sum_{n} r^n \) e las series p \(\sum_{n}\frac{1}{n^p} \)
para estudiar \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n+3}{n^3-2n+1} \) se compara con \(b_n = \frac{1}{n^2} \), pues el término general se comporta como \(\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} \); como \(\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n} = 1 \) con \(0 < 1 < +\infty \) e \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} \) converge, la serie dada también converge.
Criterio de la raíz (Cauchy)
Sea \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) una serie de términos no negativos tal que existe \(\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n} = L \)
Entonces se cumple lo siguiente.
Si \(L < 1 \), la serie converge.
Si \(L > 1 \) (o \(L = +\infty \)), la serie diverge.
Si \(L = 1 \), el criterio no decide: la serie puede converger o divergir.
La idea de la demostración es la siguiente.
Si \(L < 1 \), se elige \(r \) con \(L < r < 1 \); por definición de límite existe \(n_0 \) tal que \(\sqrt[n]{a_n} < r \), es decir, \(a_n < r^n \), para todo \(n \ge n_0 \); como \(0 < r < 1 \), la serie geométrica \(\sum_{n} r^n \) converge, e por el criterio de comparación por desigualdad también converge \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \)
Si \(L > 1 \), entonces \(a_n > 1 \) a partir de un cierto término; en particular, \(a_n \not\to 0 \), e por el criterio del término general la serie diverge.
Que el caso \(L = 1 \) no decide lo muestran \(a_n = \frac{1}{n} \) (diverge) e \(a_n = \frac{1}{n^2} \) (converge), para las que el límite de la raíz enésima vale \(1 \) en ambos casos.
El criterio de la raíz es especialmente útil cuando el término general contiene una potencia enésima explícita, pues la raíz enésima simplifica mucho la expresión.
para $$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2n+1}{3n+2}\right)^n $$ se tiene $$\sqrt[n]{a_n} = \frac{2n+1}{3n+2} \to \frac{2}{3} < 1 $$; la serie converge.
Criterio del cociente (d'Alembert)
Sea \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) una serie de términos positivos tal que existe \(\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = L \)
Entonces se cumple lo siguiente.
Si \(L < 1 \), la serie converge.
Si \(L > 1 \) (o \(L = +\infty \)), la serie diverge.
Si \(L = 1 \), el criterio no decide: la serie puede converger o divergir.
La idea de la demostración es la siguiente.
Si \(L < 1 \), se elige \(r \) con \(L < r < 1 \); existe \(n_0 \) tal que \(\frac{a_{n+1}}{a_n} < r \) para todo \(n \ge n_0 \); iterando esta desigualdad se obtiene \(a_{n_0+k} < r^k a_{n_0} \), que es (salvo una constante) una serie geométrica convergente de razón \(r < 1 \)
Si \(L > 1 \), entonces \(a_{n+1} > a_n \) a partir de un cierto término, luego \(\{a_n\} \) es creciente e, como sus términos son positivos, no puede tender a \(0 \): la serie diverge por el criterio del término general.
De nuevo, los ejemplos \(a_n = \frac{1}{n} \) y \(a_n = \frac{1}{n^2} \) (en ambos casos \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \to 1 \), uno diverge e el otro converge) muestran que el caso \(L = 1 \) no decide.
El criterio del cociente es especialmente útil cuando el término general contiene factoriales o productos de \(n \) factores, pues el cociente \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \) suele simplificar drásticamente esas expresiones.
Siempre que existe el límite del cociente, también existe el de la raíz enésima e ambos coinciden; en la práctica, se usa el cociente con factoriales e la raíz con potencias enésimas explícitas.
para \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^n}{n!} \) se tiene $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1} \to 0 < 1 $$; la serie converge.
Convergencia absoluta e series alternadas
Todos los criterios anteriores exigían que la serie fuera de términos no negativos.
Muchas series interesantes tienen, sin embargo, términos de signo variable.
Se dice que una serie \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) de término general de signo cualquiera es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos \(\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n| \) converge.
Notemos que \(\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n| \) es siempre una serie de términos no negativos, así que para estudiar su convergencia se puede aplicar cualquiera de los criterios de los apartados anteriores.
Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Es decir, si \(\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n| \) converge, entonces \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \) también converge, e además $$\left|\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\right| \le \sum_{n=1}^{+\infty} |a_n| $$
El recíproco no es cierto: hay series convergentes que no son absolutamente convergentes; cuando esto ocurre, se dice que la serie es condicionalmente convergente.
Gracias a este teorema, para estudiar una serie de signo cualquiera lo primero que se suele intentar es estudiar la convergencia absoluta de \(\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n| \) con los criterios de comparación, de la raíz o del cociente.
Si \(\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n| \) converge, ya se ha terminado: la serie converge absolutamente.
Si \(\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n| \) diverge, el teorema no dice nada sobre \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n \): hace falta un estudio adicional, por ejemplo con el criterio de Leibniz cuando la serie es alternada.
Una serie es alternada si sus términos van alternando de signo, es decir, si se puede escribir $$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} c_n = c_1 - c_2 + c_3 - c_4 + \cdots $$ o $$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n c_n = -c_1 + c_2 - c_3 + c_4 - \cdots ,\ \text{con}\ c_n > 0 $$ para todo \(n \)
Sea \(\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} c_n \) una serie alternada con \(c_n > 0 \) tal que la sucesión \(\{c_n\} \) es decreciente, es decir, \(c_{n+1} \le c_n \) para todo \(n \), e \(\lim_{n\to+\infty} c_n = 0 \)
Entonces la serie converge.
Además, si \(S \) denota su suma e \(S_n \) sus sumas parciales, se cumple la estimación del error \(|S - S_n| \le c_{n+1} \) para todo \(n \): el error cometido al aproximar la suma total por la suma parcial enésima es, como mucho, el primer término que se descarta.
La demostración agrupa las sumas parciales de índice par de dos en dos: $$S_{2m} = (c_1 - c_2) + (c_3 - c_4) + \cdots + (c_{2m-1} - c_{2m}) $$ es creciente e acotada superiormente por \(c_1 \), luego converge a un límite \(S \); como \(S_{2m+1} = S_{2m} + c_{2m+1} \) y \(c_{2m+1} \to 0 \), las sumas parciales de índice impar tienden al mismo límite.
El primer paso es comprobar la condición necesaria de convergencia: calcularemos el límite del término general.
Si no es cero, la serie diverge por el criterio del término general sin necesidad de ningún otro criterio.
Límite del término general.
Aplicación del criterio del término general.
Como el límite del término general es \(\frac{3}{2} \ne 0 \), la serie no puede converger.
La serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n^2+1}{2n^2+5} \) diverge por el criterio del término general.
El término general contiene un factorial, por lo que el criterio del cociente es el más adecuado: calcularemos el límite de \(\frac{a_{n+1}}{a_n} \) e lo compararemos con uno.
Expresión del cociente.
Sea \(a_n = \frac{n!}{n^n} \)
Límite e conclusión del criterio.
Como el límite del cociente es \(\frac{1}{e} < 1 \), la serie \(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n!}{n^n} \) converge por el criterio del cociente (d'Alembert).
Es una serie alternada.
Primero estudiaremos la convergencia absoluta con el criterio de las series p aplicado a la serie de valores absolutos;
si no es absolutamente convergente, aplicaremos el criterio de Leibniz.
Después usaremos la estimación del error de Leibniz para acotar el error de la aproximación.
Convergencia absoluta.
La serie de valores absolutos es $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{1/2}} $$, una serie p con \(p = \frac{1}{2} \le 1 \), luego diverge.
La serie no es absolutamente convergente.
Criterio de Leibniz e estimación del error.
Es alternada con \(c_n = \frac{1}{\sqrt{n}} > 0 \); la sucesión \(\{c_n\} \) es decreciente e \(\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \)
Por el criterio de Leibniz, la serie converge (condicionalmente).
La estimación del error da $$|S - S_{100}| \le c_{101} = \frac{1}{\sqrt{101}} $$, e \(\frac{1}{\sqrt{101}} < \frac{1}{10} = 0{,}1 \)
La serie $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} $$ converge condicionalmente, e aproximar su suma por \(S_{100} \) comete un error de como máximo \(\frac{1}{\sqrt{101}} \), inferior a una décima.