3.4 Desarrollos en serie de Taylor
Series de potencias
Una serie de potencias centrada en \(c \) es una expresión de la forma \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n \), donde los números \(a_n \) son los coeficientes y \(x \) es la variable.
Para cada valor fijo de \(x \) se obtiene una serie numérica, que puede converger o divergir.
El conjunto de valores de \(x \) para los que la serie converge se llama intervalo de convergencia.
Si \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n \) es una serie de potencias, entonces existe un número \(R ,\ \text{con}\\0 \le R \le \infty \), llamado radio de convergencia, tal que la serie converge absolutamente si \(|x - c| < R \) y diverge si \(|x - c| > R \)
En los extremos del intervalo, \(x = c - R \) y \(x = c + R \), la convergencia debe estudiarse caso por caso con los criterios de series numéricas.
En la práctica, \(R \) se calcula con el criterio del cociente:
si $$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| $$ existe, entonces \(R = \frac{1}{L} \), con los convenios \(\frac{1}{0} = \infty \) y \(\frac{1}{\infty} = 0 \)
La serie geométrica \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n \) tiene coeficientes \(a_n = 1 \), luego \(L = 1 \) y su radio de convergencia es \(R = 1 \)
Converge para \(|x| < 1 \) y su suma es \(\frac{1}{1 - x} \); diverge para \(|x| > 1 \)
Derivación e integración término a término
Si \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n \) para \(|x - c| < R ,\ \text{con}\ R > 0 \), entonces \(f \) es derivable en el intervalo \((c - R, c + R) \) y su derivada se obtiene derivando término a término: $$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x - c)^{n-1} $$, con el mismo radio de convergencia \(R \). Además, \(f \) se puede integrar término a término: $$\int f(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x - c)^{n+1} $$, también con radio \(R \)
Este teorema es la herramienta que permite obtener nuevos desarrollos a partir de otros ya conocidos, como se verá en el apartado 5.
Derivando término a término la serie geométrica \(\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \), válida para \(|x| < 1 \), se obtiene $$\frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n $$, también para \(|x| < 1 \)
La serie de Taylor de una función
Si una función \(f \) admite un desarrollo en serie de potencias \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n \) válido en un intervalo abierto que contiene a \(c \), entonces \(f \) es infinitamente derivable en \(c \) y los coeficientes quedan determinados por las derivadas de \(f \) en \(c \) mediante \(a_n = \frac{f^{(n)}(c)}{n!} \) para todo \(n \ge 0 \)
La demostración se obtiene derivando \(n \) veces término a término, gracias al teorema del apartado 2, y evaluando en \(x = c \): todos los sumandos con \(k \ne n \) contienen un factor \((x - c) \) y se anulan, de modo que queda \(f^{(n)}(c) = n! \, a_n \)
Definición (serie de Taylor).
Sea \(f \) infinitamente derivable en \(c \)
La serie de Taylor de \(f \) centrada en \(c \) es $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n!} (x - c)^n $$
Cuando \(c = 0 \) recibe el nombre de serie de Maclaurin.
Advertencia: que la serie de Taylor de \(f \) converja no garantiza que su suma sea \(f(x) \); la igualdad entre la función y su serie solo vale cuando el resto de Taylor tiende a cero, cuestión que se estudia en la sección 3.
5.
La función \(f(x) = e^x \) cumple \(f^{(n)}(x) = e^x \) para todo \(n \), luego \(f^{(n)}(0) = 1 \)
Su serie de Maclaurin es por tanto \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)
Los cinco desarrollos elementales de Maclaurin
Los siguientes desarrollos son la base de todo el cálculo con series: conviene conocerlos de memoria junto con su intervalo de validez.
Exponencial: $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $$, válida para todo \(x \in \mathbb{R} \)
Seno: $$\operatorname{sen} x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $$, válida para todo \(x \in \mathbb{R} \)
Coseno: $$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $$, válida para todo \(x \in \mathbb{R} \)
Para el seno y el coseno, las derivadas sucesivas se repiten con periodo cuatro, y en \(x = 0 \) solo sobreviven las de orden impar en el seno y las de orden par en el coseno, con signos alternados.
Logaritmo: $$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $$, válida para \(-1 < x \le 1 \)
Se obtiene integrando término a término la serie geométrica de \(\frac{1}{1 + x} \); en el extremo \(x = 1 \) la serie alternada converge por el criterio de Leibniz.
Binomio:
para \(\alpha \in \mathbb{R} \), $$(1 + x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots $$, donde $$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!} $$, válida para \(|x| < 1 \)
Si \(\alpha \) es un entero no negativo, la serie termina y se reduce al binomio de Newton.
Para \(\alpha = -1 \) se tiene \(\binom{-1}{n} = (-1)^n \), y el desarrollo del binomio da $$(1 + x)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n $$, que es la serie geométrica de razón \(-x \), válida para \(|x| < 1 \)
Obtención de nuevos desarrollos
A partir de los cinco desarrollos elementales se obtienen muchos otros por sustitución, por derivación o integración término a término y por operaciones algebraicas con series.
Sustitución:
si \(g(u) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n u^n \) para \(|u| < R \) y \(u(x) \) es una función con \(u(0) = 0 \), entonces \(g(u(x)) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (u(x))^n \) siempre que \(|u(x)| < R \)
Derivación e integración término a término: permiten pasar, por ejemplo, del desarrollo de \(\frac{1}{1 - x} \) al de \(-\ln(1 - x) \), o del desarrollo del seno al del coseno.
El producto de dos series se calcula con el producto de Cauchy:
si \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) y \(g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n \), entonces \(f(x)g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n \) con \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} \), y el radio de convergencia del producto es al menos el menor de los dos radios.
Por la unicidad de los coeficientes del apartado 3, cualquier desarrollo en serie de potencias obtenido por estos procedimientos es la serie de Taylor de la función.
Sustituyendo \(x^2 \) en el desarrollo de la exponencial se obtiene $$e^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \cdots $$, válida para todo \(x \in \mathbb{R} \)
Explicación: Partiremos del desarrollo del logaritmo del apartado 4 y sustituiremos \(x \) por \(x^2 \). Después determinaremos los valores de \(x \) para los que la sustitución respeta el intervalo de validez del desarrollo original.
Sustitución en el desarrollo del logaritmo.
El desarrollo $$\ln(1 + u) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{u^n}{n} $$ es válido para \(-1 < u \le 1 \)
Tomando \(u = x^2 \) se obtiene $$\ln(1 + x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n}}{n} = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \cdots $$
Intervalo de validez.
La sustitución es válida cuando \(-1 < x^2 \le 1 \), es decir, cuando \(-1 \le x \le 1 \)
En \(x = \pm 1 \) la serie es alternada con términos que tienden a cero, luego converge por el criterio de Leibniz.
Conclusión: $$\ln(1 + x^2) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^{2n}}{n} $$ para \(-1 \le x \le 1 \)
Explicación: La derivada del arco tangente es una función racional que admite desarrollo geométrico.
Integraremos término a término ese desarrollo y determinaremos la constante de integración evaluando en \(x = 0 \)
Desarrollo de la derivada.
Se tiene \((\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \), y sustituyendo \(-x^2 \) en la serie geométrica se obtiene $$\frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} $$ para \(|x| < 1 \)
Integración término a término.
Integrando se obtiene $$\arctan x = C + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $$
Como \(\arctan 0 = 0 \), la constante es \(C = 0 \)
La serie converge también en \(x = \pm 1 \) por el criterio de Leibniz, y por continuidad la igualdad se extiende a los extremos.
Conclusión: $$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots $$ para \(-1 \le x \le 1 \)
Explicación: Aplicaremos el desarrollo del binomio con \(\alpha = \frac{1}{2} \). Calcularemos los cuatro primeros coeficientes binomiales con la fórmula del apartado 4.
Coeficientes binomiales.
Se tiene \(\binom{1/2}{0} = 1 \), \(\binom{1/2}{1} = \frac{1}{2} \), $$\binom{1/2}{2} = \frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)}{2} = -\frac{1}{8} $$ y $$\binom{1/2}{3} = \frac{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{6} = \frac{1}{16} $$
Desarrollo.
Sustituyendo en la fórmula del binomio: $$\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots $$, válido para \(|x| < 1 \)
Conclusión: los cuatro primeros términos no nulos del desarrollo de Maclaurin de \(\sqrt{1 + x} \) son $$1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} $$