3.5 Polinomio de Taylor y resto
El problema de la aproximación polinómica
Las funciones más sencillas de manejar son los polinomios: se evalúan con operaciones aritméticas y se derivan e integran sin dificultad.
Ante una función \(f \) derivable varias veces, es natural preguntarse si se puede sustituir por un polinomio \(P \) cuyos valores sean próximos a los de \(f \)
Hay varias formas de precisar qué significa «próximos»: coincidencia en varios puntos (interpolación), error máximo pequeño en todo un intervalo, o coincidencia de la función y sus derivadas en un punto.
En esta sección se estudia la última opción: se busca un polinomio que coincida con \(f \) y con sus derivadas hasta cierto orden en un punto fijado \(c \), lo que produce una buena aproximación en un entorno de \(c \)
Para \(f(x) = e^x \) en \(c = 0 \), el polinomio de grado uno que coincide con \(f \) en valor y en derivada es \(P(x) = 1 + x \), la recta tangente a la gráfica en \((0, 1) \)
Deducción del polinomio de Taylor
Sea \(f \) derivable \(n \) veces en un intervalo que contiene a \(c \)
Se busca un polinomio \(P(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k (x - c)^k \) de grado menor o igual que \(n \) tal que \(P(c) = f(c) \), \(P'(c) = f'(c) \), y así sucesivamente hasta \(P^{(n)}(c) = f^{(n)}(c) \)
Derivando \(k \) veces término a término se obtiene $$P^{(k)}(x) = \sum_{j=k}^{n} a_j \frac{j!}{(j-k)!}(x - c)^{j-k} $$
Al evaluar en \(x = c \), todos los sumandos con \(j > k \) se anulan por contener el factor \((x - c) \), y queda \(P^{(k)}(c) = a_k k! \)
La condición \(P^{(k)}(c) = f^{(k)}(c) \) determina entonces \(a_k = \frac{f^{(k)}(c)}{k!} \)
Hay, por tanto, un único polinomio de grado menor o igual que \(n \) con la propiedad de coincidencia requerida.
Para \(f(x) = \cos x \) en \(c = 0 \) con \(n = 2 \) se tiene \(f(0) = 1 \), \(f'(0) = 0 \) y \(f''(0) = -1 \), luego el polinomio buscado es \(P(x) = 1 - \frac{x^2}{2} \)
Definición y propiedades del polinomio de Taylor
Definición (polinomio de Taylor).
Sea \(f \) derivable \(n \) veces en \(c \)
El polinomio de Taylor de orden \(n \) de \(f \) centrado en \(c \) es $$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x - c)^k $$
Cuando \(c = 0 \) se llama polinomio de Maclaurin.
Es el único polinomio de grado menor o igual que \(n \) que coincide con \(f \) y con sus \(n \) primeras derivadas en \(c \)
El polinomio de Taylor de orden \(n \) es la suma parcial de orden \(n \) de la serie de Taylor de \(f \) estudiada en la sección 3.4: al aumentar \(n \) se añaden términos sin modificar los anteriores.
Para \(n = 1 \) se recupera la recta tangente: \(T_1(x) = f(c) + f'(c)(x - c) \)
Los polinomios de Maclaurin de \(f(x) = e^x \) son \(T_1(x) = 1 + x \), \(T_2(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} \) y $$T_3(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} $$
El resto de Taylor y su forma de Lagrange
Definición (resto).
El resto de Taylor de orden \(n \) es la diferencia \(R_n(x) = f(x) - T_n(x) \), es decir, el error que se comete al aproximar \(f(x) \) por \(T_n(x) \)
La fórmula de Taylor escribe la función como suma del polinomio y el resto: \(f(x) = T_n(x) + R_n(x) \)
Para controlar el error hace falta una expresión manejable del resto.
Si \(f \) es derivable \(n + 1 \) veces en un intervalo abierto que contiene a \(c \), entonces para cada \(x \) del intervalo existe un punto \(\xi \) estrictamente comprendido entre \(c \) y \(x \) tal que $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - c)^{n+1} $$
El resto tiene, por tanto, la misma forma que el siguiente término del desarrollo, pero con la derivada evaluada en un punto intermedio \(\xi \) desconocido en lugar de en \(c \)
La demostración aplica el teorema del valor medio de forma reiterada a la función auxiliar que mide la diferencia entre \(f \) y su polinomio de Taylor.
Para \(f(x) = e^x \) en \(c = 0 \), como \(f^{(n+1)}(x) = e^x \), el resto es \(R_n(x) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1} \) con \(\xi \) entre \(0 \) y \(x \)
Acotación del error
Del teorema anterior se deduce una cota práctica del error que no necesita conocer el punto \(\xi \)
Si \(|f^{(n+1)}(t)| \le M \) para todo \(t \) comprendido entre \(c \) y \(x \), entonces \(|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - c|^{n+1} \)
La demostración es inmediata tomando valores absolutos en la forma de Lagrange.
Esta cota permite decidir qué orden \(n \) hace falta para aproximar \(f(x) \) con un error menor que una tolerancia dada: basta elegir \(n \) tal que el segundo miembro sea menor que la tolerancia.
Obsérvese que la cota crece con la distancia \(|x - c| \), lo que confirma que el polinomio de Taylor aproxima bien cerca del centro \(c \) y peor lejos de él.
Para aproximar \(\cos(0,5) \) con \(T_4 \) centrado en \(0 \): la quinta derivada del coseno es $$-\operatorname{sen} x ,\ \text{con}\\|\operatorname{sen} t| \le 1 $$, luego \(|R_4(0,5)| \le \frac{0,5^5}{5!} < 0,00027 \)
La notación o pequeña y el resto de Peano
Cuando solo interesa el comportamiento del error cerca de \(c \), sin una cota explícita, se usa la notación o pequeña de Landau.
Definición: se escribe \(h(x) = o\big((x - c)^n\big) \) cuando \(x \to c \) si \(\lim_{x \to c} \frac{h(x)}{(x - c)^n} = 0 \)
En palabras: \(h(x) \) tiende a cero más deprisa que \((x - c)^n \)
Si \(f \) es derivable \(n \) veces en \(c \), entonces \(R_n(x) = o\big((x - c)^n\big) \) cuando \(x \to c \), es decir, \(f(x) = T_n(x) + o\big((x - c)^n\big) \)
Esta forma del resto es la herramienta adecuada para el cálculo de límites indeterminados, como se verá en la sección 3.6: dice que el error es despreciable frente a \((x - c)^n \)
Reglas de cálculo útiles: $$o\big((x-c)^n\big) + o\big((x-c)^n\big) = o\big((x-c)^n\big) $$;
si \(m < n \), entonces \(o\big((x-c)^n\big) = o\big((x-c)^m\big) \); y $$k \cdot o\big((x-c)^n\big) = o\big((x-c)^n\big) $$ para \(k \ne 0 \)
De \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \) cuando \(x \to 0 \) se deduce que el error de la aproximación cuadrática tiende a cero más deprisa que \(x^2 \)
Explicación: Tomaremos \(x = 1 \) en la fórmula de Taylor centrada en \(c = 0 \). Acotaremos el resto de Lagrange en el intervalo \([0, 1] \) y elegiremos el menor orden \(n \) cuya cota sea inferior a la tolerancia.
Cota del resto.
Para \(x = 1 \) el resto es \(R_n(1) = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!} \) con \(0 < \xi < 1 \)
Como \(e^{\xi} < e < 3 \), se tiene \(|R_n(1)| \le \frac{3}{(n+1)!} \)
Elección del orden y cálculo.
Se necesita \(\frac{3}{(n+1)!} < 10^{-4} \)
Para \(n = 6 \): $$\frac{3}{7!} = \frac{3}{5040} \approx 0,000595 $$, insuficiente.
Para \(n = 7 \): $$\frac{3}{8!} = \frac{3}{40320} \approx 0,0000744 < 10^{-4} $$, suficiente.
Por tanto $$e \approx T_7(1) = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040} \approx 2,718254 $$
Conclusión: \(e = 2,718254 \) con un error menor que \(10^{-4} \)
Explicación: Usaremos el polinomio de Maclaurin del seno.
Como solo aparecen potencias impares, el polinomio de orden 5 coincide con el de orden 6, y acotaremos el resto de Lagrange usando que todas las derivadas del seno están acotadas por 1 en valor absoluto.
Polinomio y cota del resto.
El resto de orden 5 es \(R_5(x) = \frac{f^{(6)}(\xi)}{6!}x^6 \) con \(f^{(6)}(x) = -\operatorname{sen} x \), luego $$|R_5(0,2)| \le \frac{0,2^6}{720} < 9 \cdot 10^{-8} < 10^{-6} $$
Cálculo.
Conclusión: \(\operatorname{sen}(0,2) = 0,198669333 \) con un error menor que \(10^{-6} \)
Explicación: Basta probar que el resto de Taylor tiende a cero cuando el orden tiende a infinito.
Acotaremos el resto de Lagrange y usaremos que el factorial crece más deprisa que cualquier potencia.
Acotación del resto.
Fijado \(x \), para todo \(n \) se tiene $$|R_n(x)| = \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}|x|^{n+1} \le e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} $$, pues \(\xi \) está entre \(0 \) y \(x \)
Paso al límite.
El factor \(e^{|x|} \) no depende de \(n \), y $$\lim_{n \to \infty} \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} = 0 $$ porque el factorial domina a cualquier potencia.
Por tanto \(\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 \)
Conclusión: \(\lim_{n \to \infty} T_n(x) = e^x \) para todo \(x \in \mathbb{R} \), es decir, la serie de Maclaurin de la exponencial converge a la función en toda la recta real.