3.6 Aplicaciones del polinomio de Taylor
Aproximación numérica con control del error
La fórmula de Taylor con resto de Lagrange convierte la aproximación polinómica en un cálculo numérico con garantía de precisión.
El método consta de tres pasos.
Primero, se elige el centro \(c \) próximo al punto \(x \) donde se quiere evaluar, de modo que \(f \) y sus derivadas sean fáciles de calcular en \(c \) (normalmente \(c = 0 \)).
Segundo, se escribe \(f(x) = T_n(x) + R_n(x) \) y se calcula \(T_n(x) \)
Tercero, se acota \(|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - c|^{n+1} \), donde \(M \) es una cota de \(|f^{(n+1)}| \) entre \(c \) y \(x \);
si la cota supera la tolerancia deseada, se aumenta \(n \)
Este procedimiento es el que usan las calculadoras para evaluar las funciones elementales.
Para aproximar \(\ln(1,1) \) con \(T_2 \) centrado en \(0 \): \(T_2(0,1) = 0,1 - \frac{0,01}{2} = 0,095 \), y como \(f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3} \le 2 \) en \([0, 0,1] \), el error es menor que \(\frac{2 \cdot 0,1^3}{6} < 0,00034 \)
Aproximaciones locales: linealización y aproximación cuadrática
El polinomio de Taylor de orden uno es la linealización de \(f \) en \(c \): \(f(x) \approx f(c) + f'(c)(x - c) \), la recta tangente a la gráfica en el punto \((c, f(c)) \)
El error de la linealización es \(R_1(x) = \frac{f''(\xi)}{2}(x - c)^2 \): es del orden del cuadrado de la distancia, despreciable frente a \((x - c) \) cuando \(x \) está cerca de \(c \)
La aproximación cuadrática \(T_2 \) añade el término \(\frac{f''(c)}{2}(x - c)^2 \), que recoge la curvatura de la gráfica.
Estas aproximaciones locales son la base de muchos modelos: en física, para ángulos pequeños se usa \(\operatorname{sen} x \approx x \) y \(\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \), que son los polinomios de Taylor de órdenes uno y dos.
La linealización de \(f(x) = \sqrt{x} \) en \(c = 1 \) es \(T_1(x) = 1 + \frac{x - 1}{2} \), de modo que \(\sqrt{1,02} \approx 1,01 \)
Cálculo de límites indeterminados
La forma de Peano del resto permite calcular límites indeterminados sustituyendo cada función por su desarrollo de Taylor hasta el orden necesario.
El método es el siguiente.
Primero, se desarrollan el numerador y el denominador con la fórmula \(f(x) = T_n(x) + o\big((x - c)^n\big) \), eligiendo \(n \) igual al primer orden en el que aparece un término no nulo tras las cancelaciones.
Segundo, se simplifica la fracción dividiendo numerador y denominador por la potencia común de \((x - c) \)
Tercero, se toma el límite: los términos \(o\big((x - c)^n\big) \) desaparecen al dividir por \((x - c)^n \) y hacer \(x \to c \)
La clave está en desarrollar hasta un orden suficiente:
si tras cancelar queda \(0/0 \), hay que añadir más términos al desarrollo.
Este método resuelve límites donde la regla de L'Hôpital exigiría derivar muchas veces.
Aproximación de integrales sin primitiva elemental
Hay funciones continuas, como \(e^{-x^2} \), cuyas primitivas no se expresan con funciones elementales, de modo que sus integrales definidas no se pueden calcular con la regla de Barrow.
El desarrollo de Taylor permite aproximarlas: se sustituye el integrando por su polinomio de Taylor, que sí se integra término a término, y se acota el error integrando la cota del resto.
Concretamente, si \(|R_n(t)| \le \frac{M}{(n+1)!}|t - c|^{n+1} \) en el intervalo de integración \([a, b] \), entonces el error de la integral aproximada es menor o igual que \(\int_a^b \frac{M}{(n+1)!}|t - c|^{n+1}\,dt \)
Si la serie integrada es alternada con términos decrecientes, el error se acota más fácilmente por el primer término despreciado, gracias al criterio de Leibniz.
Para \(\int_0^{0,5} e^{-x^2}\,dx \), con la aproximación \(e^{-x^2} \approx 1 - x^2 \) se obtiene $$\int_0^{0,5} (1 - x^2)\,dx = 0,5 - \frac{0,125}{3} \approx 0,4583 $$
Explicación: Se trata de una indeterminación del tipo \(0/0 \). Desarrollaremos la exponencial con la fórmula de Taylor con resto de Peano hasta el orden 2, que es el primer orden que sobrevive en el numerador tras la cancelación.
Desarrollo del numerador.
Restando: \(e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2) \)
Cociente y límite.
Como \(\frac{o(x^2)}{x^2} \to 0 \) cuando \(x \to 0 \), el límite es \(\frac{1}{2} \)
Conclusión: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} $$
Explicación: El integrando no tiene primitiva elemental, así que lo sustituiremos por su desarrollo de Maclaurin e integraremos término a término.
Como la serie integrada es alternada con términos decrecientes, acotaremos el error con el criterio de Leibniz.
Desarrollo e integración término a término.
Integrando término a término en \([0, 1/2] \): $$I = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(1/2)^{2n+1}}{n!(2n+1)} $$
Los primeros términos son:
para \(n = 0 \), \(\frac{1}{2} = 0,5 \);
para \(n = 1 \), $$-\frac{(1/2)^3}{3} = -\frac{1}{24} \approx -0,0416667 $$;
para \(n = 2 \), $$\frac{(1/2)^5}{2 \cdot 5} = \frac{1}{320} = 0,003125 $$;
para \(n = 3 \), $$-\frac{(1/2)^7}{6 \cdot 7} = -\frac{1}{5376} \approx -0,000186012 $$
Suma y cota del error.
Sumando hasta \(n = 3 \): $$I \approx 0,5 - 0,0416667 + 0,003125 - 0,000186012 = 0,4612723 $$
Los términos decrecen en valor absoluto, luego por el criterio de Leibniz el error es menor que el primer término despreciado: $$\frac{(1/2)^9}{24 \cdot 9} = \frac{1}{110592} \approx 9,04 \cdot 10^{-6} < 10^{-4} $$
Conclusión: \(\int_0^{1/2} e^{-x^2}\,dx = 0,4612723 \) con un error menor que \(10^{-4} \)
Explicación: Es una indeterminación \(0/0 \) donde se cancelan los dos primeros términos del desarrollo del logaritmo.
Desarrollaremos hasta el orden 3 con resto de Peano.
Desarrollo del numerador.
Luego $$\ln(1 + x) - x + \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} + o(x^3) $$
Cociente y límite.
Conclusión: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - x + x^2/2}{x^3} = \frac{1}{3} $$