4.2 Ecuaciones de variables separadas
Ecuaciones de la forma $$B(y)y' = A(x)$$
Una ecuación diferencial de primer orden es de variables separadas si puede escribirse en la forma
\(B(y) y' = A(x) \),
donde \(A \) depende solo de \(x \ \text{y}\ B \) depende solo de \(y \)
El nombre indica que cada variable aparece en un miembro distinto de la ecuación.
En forma diferencial también se escribe
La ecuación \(y' = xy \) es de variables separadas.
Dividiendo entre \(y \) se escribe $$\frac{1}{y}y' = x ,\ \text{con}\ A(x) = x \ \text{y}\ B(y) = \frac{1}{y} $$
El método: integrar los dos miembros
Sea \(G \) una primitiva de \(B \) como función de \(y \), es decir, una función que cumple \(G'(y) = B(y) \)
Dicha primitiva se obtiene integrando respecto de \(y \):
Por la regla de la cadena, la derivada de la función compuesta \(G(y(x)) \) es:
Pero la ecuación diferencial dice precisamente que \(B(y(x))y'(x) = A(x) \)
Por tanto \(G(y(x)) \) es una primitiva de \(A \), es decir,
Esta igualdad caracteriza las soluciones: una función \(y \) cumple la ecuación si e solo si cumple esta igualdad.
El último paso del método es despejar \(y \) cuando sea posible.
En \(y' = xy \) se toma \(B(y) = \frac{1}{y} \)
Una primitiva es \(G(y) = \ln|y| \)
El método da
Solución implícita e solución explícita
La relación
\(G(y(x)) = F(x) + C \),
donde \(F \) es una primitiva de \(A \), se llama solución general en forma implícita.
A veces es posible despejar \(y \) e obtener la solución en forma explícita \(y = y(x, C) \)
Cuando el despeje no es posible con funciones elementales, se dice que la solución está definida implícitamente.
Los puntos \((x, y) \) del plano que cumplen la relación forman una curva, que es la gráfica de la solución.
La ecuación \(x(1+y^2)y' = 1 \) conduce a
En este caso no es posible despejar \(y \), e la solución queda definida implícitamente.
Las soluciones que se pierden al dividir
Para escribir la ecuación en la forma \(B(y)y' = A(x) \) a veces es necesario dividir entre una expresión que depende de \(y \)
Si existe un valor \(y_0 \) con \(B(y_0) = 0 \), la función constante \(y(x) = y_0 \) puede ser solución de la ecuación original.
Estas soluciones constantes no aparecen en la familia obtenida por integración e se llaman soluciones singulares.
Por eso, después de integrar, hay que comprobar si los valores que anulan el divisor dan soluciones de la ecuación.
En \(y' = y^2 \) se divide entre \(y^2 \)
La función constante \(y(x) = 0 \) también es solución, e no está contenida en la familia general.
Problemas de valor inicial
Un problema de valor inicial consiste en la ecuación diferencial junto con la condición \(y(x_0) = y_0 \)
Para resolverlo, primero se halla la solución general con su constante \(C \)
Después se sustituyen \(x_0 \ \text{e}\ y_0 \) en la solución general e se despeja \(C \)
El valor obtenido selecciona la única curva solución que pasa por el punto \((x_0, y_0) \)
Bajo hipótesis razonables sobre \(A \ \text{y}\ B \), la solución del problema de valor inicial existe e es única.
La solución general de \(y' = xy \) es \(y = Ke^{x^2/2} \)
Con la condición \(y(0) = 1 \) se obtiene \(K = 1 \)
La solución del problema de valor inicial es \(y = e^{x^2/2} \)
Explicación: es una ecuación de variables separadas; se dividen los miembros entre \(y\), se integran los dos miembros e se impone la condición inicial para determinar la constante.
se separan las variables.
Para \(y \ne 0 \),
se integran los dos miembros.
\(\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C \),
de donde $$|y| = e^{x^2/2 + C} = Ke^{x^2/2} ,\ \text{con}\ K = e^C > 0 $$
la condición \(y(0) = 1 \) da \(1 = K \). Como la solución es positiva cerca de \(x = 0 \), se elimina el valor absoluto con el signo positivo.
Conclusión: la solución del problema de valor inicial es:
\(y = e^{x^2/2} \),
conocida como la campana de Gauss.
Explicación: se separan las variables dividiendo entre \(x\), se integran los dos miembros e se observa que la solución no puede despejarse en forma explícita.
se separan las variables.
Para \(x \ne 0 \),
se integran los dos miembros.
La primitiva de \(1+y^2 \) respecto de \(y \) es \(y + \frac{y^3}{3} \), e la de \(\frac{1}{x} \) es \(\ln|x| \). Se obtiene
Conclusión: la solución general está definida implícitamente por la relación anterior; no es posible despejar \(y \) en términos de funciones elementales.
Explicación: se separan las variables dividiendo entre \(y^2\), se integra, se impone la condición inicial e se comprueba por separado la función constante que anula el divisor.
se separan las variables.
Para \(y \ne 0 \),
se integran los dos miembros.
la condición \(y(0) = 1 \) da \(-1 = C \). Por tanto \(-\frac{1}{y} = x - 1 \), e
\(y = \frac{1}{1-x} \),
definida para \(x < 1 \)
la función constante \(y(x) = 0 \) anula el divisor e cumple \(0 = 0 \) en la ecuación, luego es una solución singular; no cumple la condición inicial.
Conclusión: la solución del problema de valor inicial es \(y = \frac{1}{1-x} \); además, \(y = 0 \) es una solución singular de la ecuación.