5.4 Plano tangente y recta normal
El plano tangente a la gráfica de $$z = f(x, y)$$
Sea \(f \) diferenciable en \((a, b) \) y sea \(P_0 = (a, b, f(a, b)) \) el punto correspondiente de la gráfica.
La mejor aproximación lineal de \(f \) cerca de \((a, b) \) es $$L(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b) $$
La gráfica de esta aproximación lineal es el plano tangente a la superficie en \(P_0 \), de ecuación $$z = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b) $$
El plano tangente contiene a las rectas tangentes en \(P_0 \) a todas las curvas de la superficie que pasan por \(P_0 \)
Para \(f(x, y) = x^2 + y^2 \) en \((1, 2) \) se tiene \(f(1, 2) = 5 \), \(f_x(1, 2) = 2 \) y \(f_y(1, 2) = 4 \)
El plano tangente es \(z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) \), es decir, \(z = 2x + 4y - 5 \)
Plano tangente a una superficie $$F(x, y, z) = 0$$
Una superficie puede venir dada de forma implícita por \(F(x, y, z) = 0 ,\ \text{con}\ F \) de clase \(C^1 \)
Sea \(P_0 = (a, b, c) \) con \(F(a, b, c) = 0 \) y \(\nabla F(P_0) \ne \mathbf{0} \)
Entonces el vector \(\nabla F(P_0) \) es perpendicular a la superficie en \(P_0 \):
si \(\mathbf{c}(t) \) es una curva contenida en la superficie con \(\mathbf{c}(0) = P_0 \), al derivar la identidad \(F(\mathbf{c}(t)) = 0 \) se obtiene \(\nabla F(P_0) \cdot \mathbf{c}'(0) = 0 \) (esta derivación se justifica con la regla de la cadena, sección 5.5).
El plano tangente es el plano que pasa por \(P_0 \) con vector normal \(\nabla F(P_0) \), de ecuación $$F_x(P_0)(x - a) + F_y(P_0)(y - b) + F_z(P_0)(z - c) = 0 $$
El caso \(z = f(x, y) \) se recupera con \(F(x, y, z) = f(x, y) - z \), pues \(\nabla F = (f_x, f_y, -1) \)
Para la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 14 \) en \(P_0 = (1, 2, 3) \), \(\nabla F(P_0) = (2, 4, 6) \)
El plano tangente es \(2(x - 1) + 4(y - 2) + 6(z - 3) = 0 \), es decir, \(x + 2y + 3z = 14 \)
La recta normal
La recta normal a la superficie en \(P_0 \) es la recta que pasa por \(P_0 \) en la dirección del vector normal \(\nabla F(P_0) \)
Sus ecuaciones paramétricas son $$x = a + t F_x(P_0), \quad y = b + t F_y(P_0), \quad z = c + t F_z(P_0) ,\ \text{con}\ t \in \mathbb{R} $$
Para la gráfica \(z = f(x, y) \) se usa \(\nabla F = (f_x, f_y, -1) \)
La recta normal es perpendicular al plano tangente en el punto de contacto.
Para \(z = x^2 + y^2 \) en \((1, 2, 5) \), la recta normal es $$x = 1 + 2t, \quad y = 2 + 4t, \quad z = 5 - t $$
Aproximación lineal y significado geométrico
El plano tangente es la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función cerca del punto:
para \((x, y) \) próximo a \((a, b) \), $$f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b) $$, con un error que tiende a cero más deprisa que la distancia a \((a, b) \)
Si el plano tangente es horizontal, es decir, \(f_x(a, b) = f_y(a, b) = 0 \), el punto es candidato a extremo relativo (sección 5.7).
La aproximación lineal de \(f(x, y) = e^{x+y} \) cerca de \((0, 0) \) es \(L(x, y) = 1 + x + y \), pues \(f(0, 0) = 1 \) y \(f_x(0, 0) = f_y(0, 0) = 1 \)
Hallar el plano tangente y la recta normal a la superficie \(z = x^2 + y^2 \) en el punto \((1, 2, 5) \)
Explicación: se calculan las derivadas parciales en el punto y se aplican las fórmulas del plano tangente y de la recta normal para una gráfica.
\(f_x = 2x \) y \(f_y = 2y \), luego \(f_x(1, 2) = 2 \) y \(f_y(1, 2) = 4 \)
El plano tangente es \(z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) \), es decir, \(z = 2x + 4y - 5 \)
El vector normal es \((f_x, f_y, -1) = (2, 4, -1) \) en el punto.
La recta normal es $$x = 1 + 2t, \quad y = 2 + 4t, \quad z = 5 - t $$
Conclusión: el plano tangente es \(z = 2x + 4y - 5 \) y la recta normal es \((1 + 2t, 2 + 4t, 5 - t) \)
Hallar el plano tangente a la esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 14 \) en el punto \((1, 2, 3) \)
Explicación: se escribe la superficie como \(F(x, y, z) = 0 \), se calcula el gradiente en el punto y se escribe el plano con ese vector normal.
Sea \(F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 14 \); entonces \(\nabla F(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) \)
En el punto, \(\nabla F(1, 2, 3) = (2, 4, 6) \), que es distinto de cero.
El plano tangente es \(2(x - 1) + 4(y - 2) + 6(z - 3) = 0 \)
Simplificando, \(2x + 4y + 6z = 28 \), o sea, \(x + 2y + 3z = 14 \)
Conclusión: el plano tangente es \(x + 2y + 3z = 14 \)
Hallar los puntos de la superficie \(z = x^2 - 2x + y^2 + 1 \) donde el plano tangente es horizontal.
Explicación: el plano tangente es horizontal cuando sus coeficientes de \(x \ \text{e}\ y \) son cero, es decir, cuando se anulan las dos derivadas parciales.
\(f_x = 2x - 2 \) y \(f_y = 2y \)
El sistema \(2x - 2 = 0 \), \(2y = 0 \) tiene como única solución \((x, y) = (1, 0) \)
La altura correspondiente es \(z = 1 - 2 + 0 + 1 = 0 \)
El plano tangente en \((1, 0, 0) \) es \(z = 0 \)
Conclusión: el único punto con plano tangente horizontal es \((1, 0, 0) \), y dicho plano es \(z = 0 \)